Квазичастица

Квазичастица <tr valign=top> <th align=left>Состав:</th> <td>Квазичастица</td> </tr><tr valign=top> <th align=left>Классификация:</th> <td>Список квазичастиц</td> </tr>

Квазичастица — понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких как твердые тела и квантовые жидкости.

Например, чрезвычайно сложное описание движения электронов в полупроводниках может упроститься введением квазичастицы под названием электрон проводимости, отличающейся от электрона массой и движущейся в свободном пространстве. Для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решетки в теории конденсированного состояния вещества используют фононы, для описания распространения элементарных магнитных возбуждений в системе взаимодействующих спинов — магноны.

Введение

Идея использования квазичастиц была впервые предложена Л. Д. Ландау в теории ферми-жидкости для описания жидкого гелия-3, позже её стали использовать в теории конденсированного состояния вещества. Описывать состояния таких систем напрямую, решая уравнение Шрёдингера с порядка 10²³ взаимодействующими частицами, невозможно. Обойти эту трудность удается сведением задачи взаимодействия частиц к более простой задаче с невзаимодействующими квазичастицами.

Квазичастицы в ферми-жидкости

Введение квазичастиц для ферми-жидкости производится плавным переходом от возбужденного состояния идеальной системы (без взаимодействия между частицами), полученного из основного, с функцией распределения <math>n_{0}(\vec{p})</math>, путём добавления частицы с импульсом <math>\vec{p}</math>, адиабатическим включением взаимодействия между частицами. При таком включении возникает возбужденное состояние реальной ферми-жидкости с тем же импульсом, так как он сохраняется при столкновении частиц. По мере включения взаимодействия, добавленная частица вовлекает в движение окружающих её частиц, образуя возмущение. Такое возмущение называют квазичастицей. Полученное таким образом состояние системы соответствует реальному основному состоянию плюс квазичастица с импульсом <math>\vec{p}</math> и энергией, соответствующей данному возмущению. При таком переходе роль частиц газа (в случае отсутствия взаимодействия) переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом частиц и которые, как и частицы, подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Квазичастицы в твердых телах

Фонон как квазичастица

Описание состояния твердых тел, непосредственно решая уравнение Шредингера для всех частиц, практически невозможно из-за большого числа переменных и сложности учёта взаимодействия между частицами. Упростить такое описание удается введением квазичастиц — элементарных возбуждений относительно некого основного состояния. Часто учёт только низших энергетических возбуждений относительно этого состояния достаточен для описания системы, так как, согласно распределению Больцмана, состояния с большими значениями энергий даются с меньшей вероятностью. Рассмотрим пример применения квазичастиц для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решетки.

Примером возбуждений с низкими энергиями может служить кристаллическая решетка при абсолютном нуле температуры, когда к основному состоянию, при котором колебания в решетке отсутствуют, добавляется элементарное возмущение определенной частоты, то есть фонон. Бывает, что состояние системы характеризуется несколькими элементарными возбуждениями, а эти возбуждения, в свою очередь, могут существовать независимо друг от друга, в таком случае это состояние интерпретируется системой невзаимодействующих фононов. Однако не всегда удается описать состояние невзаимодействующими квазичастицами из-за ангармонического колебания в кристалле. Тем не менее, во многих случаях элементарные возбуждения могут рассматриваться как независимые. Таким образом, можно приближенно считать, что энергия кристалла, связанная с колебанием атомов в узлах решетки, равна сумме энергии некоторого основного состояния и энергий всех фононов.

Квантование колебаний на примере фонона

Рассмотрим скалярную модель кристаллической решетки, согласно которой атомы колеблются вдоль одного направления. Пользуясь базисом плоских волн, напишем выражение для смещений атомов в узле:

<math>u_{n}(t) = \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}(t) \phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n})</math>

<math>\phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n}) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{i \vec{k} \vec{r}_{n}}</math>

В такой форме <math>Q_{\vec{k}}</math> называют обобщенными координатами. Тогда лагранжиан системы:

<math>L = \sum_{n} \frac{m \dot{u}_{n}^{2}}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n,n^{'}} A(\vec{r}_{n} - \vec{r}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}</math>

выразится в терминах <math>Q_{\vec{k}}</math> в виде:

<math>L = \frac{m}{2} \sum{\vec{k}}(\dot{Q}_{\vec{k}}^{*}\dot{Q}_{\vec{k}} - \omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})</math>

Отсюда выражается канонический импульс и гамильтониан:

<math>P_{\vec{k}} = \frac{\delta L}{\delta \dot{Q}_{\vec{k}}} = m \dot{Q}_{\vec{k}}^{*}</math>

<math>H = \sum_{\vec{\vec{k}}} P_{\vec{k}} \dot{Q}_{\vec{k}} - L = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}}(P_{\vec{k}}P_{\vec{k}}^{*} + m^{2}\omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})</math>

Квантование действия производится требованием операторных правил коммутации для обобщенной координаты и импульса (<math>\hbar = 1</math>):

<math>[Q_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = i\delta_{\vec{k}, \vec{k}^{'}} </math>

<math>[Q_{\vec{k}},Q_{\vec{k}^{'}}] = [P_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = 0</math>

Для перехода к фононному представлению используют язык вторичного квантования, определив операторы рождения <math>a_{\vec{k}}^{+}</math> и уничтожения <math>a_{\vec{k}}</math> квантового фононного поля:

<math>[a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}^{+}] = i \delta_{\vec{k},\vec{k}^{'}} \, \, \, \, \, \, \, [a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}] = 0</math>

Прямым вычислением можно проверить, что требуемые правила коммутации выполняются для операторов:

<math>Q_{\vec{k}} = \frac{1}{\sqrt{2 m \omega_{\vec{k}}}}(a^{+}_{\vec{k}} e^{i \omega t} + a_{-\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})</math>

<math>P_{\vec{k}} = i \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}} m}{2}}(a^{+}_{-\vec{k}} e^{i \omega t} - a_{\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})</math>

Заменив знак комплексного сопряжения <math>Q_{\vec{k}}^{*}</math> на <math>Q_{\vec{k}}^{+}</math> и учтя, что энергия — чётная функция квазиимпульса, <math>\omega_{\vec{k}} = \omega_{-\vec{k}}</math> (из однородности), получим выражения для кинетической и потенциальной частей гамильтониана:

<math>K = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}} P_{\vec{k}}P_{-\vec{k}} = - \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})</math>

<math>H = \frac{m \omega_{\vec{k}}^{2}}{2} \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}Q_{-\vec{k}} = \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})</math>

Тогда гамильтониан примет вид:

<math>H = \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}} + \frac{1}{2})</math>

Иначе можно переписать:

<math>H = \sum_{\vec{k}} E_{\vec{k}}(n_{\vec{k}} + \frac{1}{2})</math>

Где

<math>n_{\vec{k}} = a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}}</math> — оператор количества частиц, фононов,

<math>E_{\vec{k}} = \omega_{\vec{k}}</math> — энергия фонона с импульсом <math>\vec{k}</math>

Такое описание колебаний в кристалле называется гармоническим приближением. Оно соответствует лишь рассмотрению квадратичных членов по смещениям в гамильтониане.

Квазичастицы в ферромагнетике, магноны

В случае ферромагнетика, при абсолютном нуле температуры, все спины выстраиваются вдоль одного направления. Такое расположение спинов соответствует основному состоянию. Если один из спинов отклонить от заданного направления и предоставить систему самой себе, начнёт распространяться волна. Энергия этой волны будет равна энергии возбуждения кристалла, связанной с изменением ориентации спина атома. Эту энергию можно рассматривать как энергию некоторой частицы, которую и называют магноном.

Если энергия ферромагнетика, связанная с отклонением спинов, невелика, то её можно представить в виде суммы энергий отдельных распространяющихся спиновых волн или, выражаясь иначе, в виде суммы энергий магнонов.

Магноны, как и фононы, подчиняются статистике Бозе — Эйнштена

Свойства

• Квазичастицы характеризуются вектором <math>\vec{p}</math>, свойства которого похожи на импульс, его называют квазиимпульсом.
• Энергия квазичастицы, в отличие от энергии обычной частицы, имеет иную зависимость от импульса.
• Квазичастицы могут взаимодействовать между собой, а также с обычными частицами
• Могут иметь заряд и/или спин.
• Квазичастицы с целым значением спина подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, с полуцелым — Ферми — Дирака.

Сравнение квазичастиц с обычными частицами

Между квазичастицами и обычными элементарными частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теориях поля (в частности, в конформной теории поля) не делают вообще никаких различий между частицами и квазичастицами.

Сходства

• Как и обычная частица, квазичастица может быть более-менее локализованной в пространстве и сохранять свою локализованность в процессе движения.
• Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодействовать иным образом. При столкновении низкоэнергетических квазичастиц выполняются механические законы сохранения квазиимпульса и энергии. Квазичастицы могут также взаимодействовать и с обычными частицами (например, с фотонами).
• Для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии (то есть энергия пропорциональна квадрату импульса) можно ввести понятие эффективной массы. Поведение такой квазичастицы будет очень похоже на поведение обычных частиц.

Различия

• В отличие от обычных частиц, которые существуют сами по себе, в том числе и в пустом пространстве, квазичастицы не могут существовать вне среды, колебаниями которой они и являются.
• При столкновениях, для многих квазичастиц закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до вектора обратной решётки.
• Закон дисперсии обычных частиц — это данность, которую никак не изменить. Закон дисперсии квазичастиц возникает динамически, и потому может иметь самый замысловатый вид.
• Квазичастицы могут иметь дробный электрический заряд или магнитный заряд.

Другие квазичастицы

• Электрон проводимости — имеет тот же заряд и спин, как у «нормального» электрона, но отличается массой.
• Дырка — незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, по абсолютной величине равный заряду электрона.
• Ротон — коллективное возбуждение, связанное с вихревым движением в жидкости.
• Полярон — квазичастица, соответствующая поляризации, связанной с движением электрона, обусловленной взаимодействием электрона с кристаллической решеткой.
• Плазмон — представляет собой коллективное колебание электронов в плазме.

Литература

• Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.

Ссылки

• [bigenc.ru/physics/text/2055503 Квазичастицы]

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Квазичастица

Одно время на площади было просторнее, но вдруг все головы открылись, все бросилось еще куда то вперед. Петю сдавили так, что он не мог дышать, и все закричало: «Ура! урра! ура!Петя поднимался на цыпочки, толкался, щипался, но ничего не мог видеть, кроме народа вокруг себя.
На всех лицах было одно общее выражение умиления и восторга. Одна купчиха, стоявшая подле Пети, рыдала, и слезы текли у нее из глаз.
– Отец, ангел, батюшка! – приговаривала она, отирая пальцем слезы.
– Ура! – кричали со всех сторон. С минуту толпа простояла на одном месте; но потом опять бросилась вперед.
Петя, сам себя не помня, стиснув зубы и зверски выкатив глаза, бросился вперед, работая локтями и крича «ура!», как будто он готов был и себя и всех убить в эту минуту, но с боков его лезли точно такие же зверские лица с такими же криками «ура!».
«Так вот что такое государь! – думал Петя. – Нет, нельзя мне самому подать ему прошение, это слишком смело!Несмотря на то, он все так же отчаянно пробивался вперед, и из за спин передних ему мелькнуло пустое пространство с устланным красным сукном ходом; но в это время толпа заколебалась назад (спереди полицейские отталкивали надвинувшихся слишком близко к шествию; государь проходил из дворца в Успенский собор), и Петя неожиданно получил в бок такой удар по ребрам и так был придавлен, что вдруг в глазах его все помутилось и он потерял сознание. Когда он пришел в себя, какое то духовное лицо, с пучком седевших волос назади, в потертой синей рясе, вероятно, дьячок, одной рукой держал его под мышку, другой охранял от напиравшей толпы.
– Барчонка задавили! – говорил дьячок. – Что ж так!.. легче… задавили, задавили!
Государь прошел в Успенский собор. Толпа опять разровнялась, и дьячок вывел Петю, бледного и не дышащего, к царь пушке. Несколько лиц пожалели Петю, и вдруг вся толпа обратилась к нему, и уже вокруг него произошла давка. Те, которые стояли ближе, услуживали ему, расстегивали его сюртучок, усаживали на возвышение пушки и укоряли кого то, – тех, кто раздавил его.
– Этак до смерти раздавить можно. Что же это! Душегубство делать! Вишь, сердечный, как скатерть белый стал, – говорили голоса.
Петя скоро опомнился, краска вернулась ему в лицо, боль прошла, и за эту временную неприятность он получил место на пушке, с которой он надеялся увидать долженствующего пройти назад государя. Петя уже не думал теперь о подаче прошения. Уже только ему бы увидать его – и то он бы считал себя счастливым!
Во время службы в Успенском соборе – соединенного молебствия по случаю приезда государя и благодарственной молитвы за заключение мира с турками – толпа пораспространилась; появились покрикивающие продавцы квасу, пряников, мака, до которого был особенно охотник Петя, и послышались обыкновенные разговоры. Одна купчиха показывала свою разорванную шаль и сообщала, как дорого она была куплена; другая говорила, что нынче все шелковые материи дороги стали. Дьячок, спаситель Пети, разговаривал с чиновником о том, кто и кто служит нынче с преосвященным. Дьячок несколько раз повторял слово соборне, которого не понимал Петя. Два молодые мещанина шутили с дворовыми девушками, грызущими орехи. Все эти разговоры, в особенности шуточки с девушками, для Пети в его возрасте имевшие особенную привлекательность, все эти разговоры теперь не занимали Петю; ou сидел на своем возвышении пушки, все так же волнуясь при мысли о государе и о своей любви к нему. Совпадение чувства боли и страха, когда его сдавили, с чувством восторга еще более усилило в нем сознание важности этой минуты.
Вдруг с набережной послышались пушечные выстрелы (это стреляли в ознаменование мира с турками), и толпа стремительно бросилась к набережной – смотреть, как стреляют. Петя тоже хотел бежать туда, но дьячок, взявший под свое покровительство барчонка, не пустил его. Еще продолжались выстрелы, когда из Успенского собора выбежали офицеры, генералы, камергеры, потом уже не так поспешно вышли еще другие, опять снялись шапки с голов, и те, которые убежали смотреть пушки, бежали назад. Наконец вышли еще четверо мужчин в мундирах и лентах из дверей собора. «Ура! Ура! – опять закричала толпа.
– Который? Который? – плачущим голосом спрашивал вокруг себя Петя, но никто не отвечал ему; все были слишком увлечены, и Петя, выбрав одного из этих четырех лиц, которого он из за слез, выступивших ему от радости на глаза, не мог ясно разглядеть, сосредоточил на него весь свой восторг, хотя это был не государь, закричал «ура!неистовым голосом и решил, что завтра же, чего бы это ему ни стоило, он будет военным.
Толпа побежала за государем, проводила его до дворца и стала расходиться. Было уже поздно, и Петя ничего не ел, и пот лил с него градом; но он не уходил домой и вместе с уменьшившейся, но еще довольно большой толпой стоял перед дворцом, во время обеда государя, глядя в окна дворца, ожидая еще чего то и завидуя одинаково и сановникам, подъезжавшим к крыльцу – к обеду государя, и камер лакеям, служившим за столом и мелькавшим в окнах.
За обедом государя Валуев сказал, оглянувшись в окно:
– Народ все еще надеется увидать ваше величество.
Обед уже кончился, государь встал и, доедая бисквит, вышел на балкон. Народ, с Петей в середине, бросился к балкону.
– Ангел, отец! Ура, батюшка!.. – кричали народ и Петя, и опять бабы и некоторые мужчины послабее, в том числе и Петя, заплакали от счастия. Довольно большой обломок бисквита, который держал в руке государь, отломившись, упал на перилы балкона, с перил на землю. Ближе всех стоявший кучер в поддевке бросился к этому кусочку бисквита и схватил его. Некоторые из толпы бросились к кучеру. Заметив это, государь велел подать себе тарелку бисквитов и стал кидать бисквиты с балкона. Глаза Пети налились кровью, опасность быть задавленным еще более возбуждала его, он бросился на бисквиты. Он не знал зачем, но нужно было взять один бисквит из рук царя, и нужно было не поддаться. Он бросился и сбил с ног старушку, ловившую бисквит. Но старушка не считала себя побежденною, хотя и лежала на земле (старушка ловила бисквиты и не попадала руками). Петя коленкой отбил ее руку, схватил бисквит и, как будто боясь опоздать, опять закричал «ура!», уже охриплым голосом.
Государь ушел, и после этого большая часть народа стала расходиться.
– Вот я говорил, что еще подождать – так и вышло, – с разных сторон радостно говорили в народе.
Как ни счастлив был Петя, но ему все таки грустно было идти домой и знать, что все наслаждение этого дня кончилось. Из Кремля Петя пошел не домой, а к своему товарищу Оболенскому, которому было пятнадцать лет и который тоже поступал в полк. Вернувшись домой, он решительно и твердо объявил, что ежели его не пустят, то он убежит. И на другой день, хотя и не совсем еще сдавшись, но граф Илья Андреич поехал узнавать, как бы пристроить Петю куда нибудь побезопаснее.


15 го числа утром, на третий день после этого, у Слободского дворца стояло бесчисленное количество экипажей.
Залы были полны. В первой были дворяне в мундирах, во второй купцы с медалями, в бородах и синих кафтанах. По зале Дворянского собрания шел гул и движение. У одного большого стола, под портретом государя, сидели на стульях с высокими спинками важнейшие вельможи; но большинство дворян ходило по зале.
Все дворяне, те самые, которых каждый день видал Пьер то в клубе, то в их домах, – все были в мундирах, кто в екатерининских, кто в павловских, кто в новых александровских, кто в общем дворянском, и этот общий характер мундира придавал что то странное и фантастическое этим старым и молодым, самым разнообразным и знакомым лицам. Особенно поразительны были старики, подслеповатые, беззубые, плешивые, оплывшие желтым жиром или сморщенные, худые. Они большей частью сидели на местах и молчали, и ежели ходили и говорили, то пристроивались к кому нибудь помоложе. Так же как на лицах толпы, которую на площади видел Петя, на всех этих лицах была поразительна черта противоположности: общего ожидания чего то торжественного и обыкновенного, вчерашнего – бостонной партии, Петрушки повара, здоровья Зинаиды Дмитриевны и т. п.
Пьер, с раннего утра стянутый в неловком, сделавшемся ему узким дворянском мундире, был в залах. Он был в волнении: необыкновенное собрание не только дворянства, но и купечества – сословий, etats generaux – вызвало в нем целый ряд давно оставленных, но глубоко врезавшихся в его душе мыслей о Contrat social [Общественный договор] и французской революции. Замеченные им в воззвании слова, что государь прибудет в столицу для совещания с своим народом, утверждали его в этом взгляде. И он, полагая, что в этом смысле приближается что то важное, то, чего он ждал давно, ходил, присматривался, прислушивался к говору, но нигде не находил выражения тех мыслей, которые занимали его.
Был прочтен манифест государя, вызвавший восторг, и потом все разбрелись, разговаривая. Кроме обычных интересов, Пьер слышал толки о том, где стоять предводителям в то время, как войдет государь, когда дать бал государю, разделиться ли по уездам или всей губернией… и т. д.; но как скоро дело касалось войны и того, для чего было собрано дворянство, толки были нерешительны и неопределенны. Все больше желали слушать, чем говорить.
Один мужчина средних лет, мужественный, красивый, в отставном морском мундире, говорил в одной из зал, и около него столпились. Пьер подошел к образовавшемуся кружку около говоруна и стал прислушиваться. Граф Илья Андреич в своем екатерининском, воеводском кафтане, ходивший с приятной улыбкой между толпой, со всеми знакомый, подошел тоже к этой группе и стал слушать с своей доброй улыбкой, как он всегда слушал, в знак согласия с говорившим одобрительно кивая головой. Отставной моряк говорил очень смело; это видно было по выражению лиц, его слушавших, и по тому, что известные Пьеру за самых покорных и тихих людей неодобрительно отходили от него или противоречили. Пьер протолкался в середину кружка, прислушался и убедился, что говоривший действительно был либерал, но совсем в другом смысле, чем думал Пьер. Моряк говорил тем особенно звучным, певучим, дворянским баритоном, с приятным грассированием и сокращением согласных, тем голосом, которым покрикивают: «Чеаек, трубку!», и тому подобное. Он говорил с привычкой разгула и власти в голосе.