Квантовая статистическая механика

Квантовая статистическая механика – статистическая механика, применяемая к квантовомеханическим системам.

Постулаты квантовой статистической механики

Обозначим через <math>\mid \Psi \mathcal {i}</math> вектор гильбертова пространства, описывающий состояние произвольной полностью изолированной квантовомеханической системы. Пусть число частиц в системе равно <math>N</math>, объём системы равен <math>V</math>, значение энергии системы находится между <math>E</math> и <math>E + \Delta</math> (<math>\Delta \ll E</math>), <math>H</math> - гамильтониан системы. Обозначим <math>\mathcal {f} \Phi _{n} \mathcal {g}</math> полную ортонормированную систему волновых функций, в которой каждая функция <math>\Phi_{n}</math> есть волновая функция <math>N</math> частиц, находящихся в объёме <math>V</math> и является собственной функцией оператора Гамильтона <math>H</math>, соответствующей собственному значению <math>E_{n}</math>: <math>H \Phi_{n} = E_{n} \Phi_{n}</math>. В любой момент времени волновая функция <math>\Psi</math> полностью изолированной системы может быть представлена как линейная суперпозиция стационарных волновых функций <math>\mathcal {f} \Phi _{n} \mathcal {g}</math>: <math>\Psi = \sum_{n} c_{n} \Phi_{n}</math>, где <math>c_{n}</math> - комплексные числа.

Постулат равной априорной вероятности

<math>\overline{(c_{n}, c_{n})} = \begin{cases}

 1,  & \mbox{(E} < E_n < E + \Delta) \\
 0,  & \mbox{in other cases}

\end{cases}</math>

Постулат случайных фаз

<math>\bar {(c_{n}, c_{m})} = 0 (n \neq m)</math>

Измеряемая величина

Опираясь на постулаты, можно представить волновую функцию системы в виде: <math>\Psi = \sum_{n} b_{n} \Phi_{n}</math>, где <math> |b_{n}|^{2} = \begin{cases}

 1,  & \mbox{(E} < E_n < E + \Delta) \\
 0,  & \mbox{in other cases}

\end{cases}</math> где фазы комплексных чисел <math>\mathcal {f} b_{n} \mathcal {g}</math> являются случайными величинами. Измеряемая величина, соответствующая оператору <math>X</math>, даётся формулой: <math>\mathcal{h} X \mathcal{i} = \frac{\sum_{n}|b_{n}|^{2}(\Phi_{n}, X\Phi_{n})}{\sum_{n}|b_{n}|^{2}}</math>.

См. также

• Статистическая механика
• Квантовая статистика

Литература

• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.
• Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984.

Отрывок, характеризующий Квантовая статистическая механика

Чем дольше жил император в Вильне, тем менее и менее готовились к войне, уставши ожидать ее. Все стремления людей, окружавших государя, казалось, были направлены только на то, чтобы заставлять государя, приятно проводя время, забыть о предстоящей войне.
После многих балов и праздников у польских магнатов, у придворных и у самого государя, в июне месяце одному из польских генерал адъютантов государя пришла мысль дать обед и бал государю от лица его генерал адъютантов. Мысль эта радостно была принята всеми. Государь изъявил согласие. Генерал адъютанты собрали по подписке деньги. Особа, которая наиболее могла быть приятна государю, была приглашена быть хозяйкой бала. Граф Бенигсен, помещик Виленской губернии, предложил свой загородный дом для этого праздника, и 13 июня был назначен обед, бал, катанье на лодках и фейерверк в Закрете, загородном доме графа Бенигсена.
В тот самый день, в который Наполеоном был отдан приказ о переходе через Неман и передовые войска его, оттеснив казаков, перешли через русскую границу, Александр проводил вечер на даче Бенигсена – на бале, даваемом генерал адъютантами.
Был веселый, блестящий праздник; знатоки дела говорили, что редко собиралось в одном месте столько красавиц. Графиня Безухова в числе других русских дам, приехавших за государем из Петербурга в Вильну, была на этом бале, затемняя своей тяжелой, так называемой русской красотой утонченных польских дам. Она была замечена, и государь удостоил ее танца.
Борис Друбецкой, en garcon (холостяком), как он говорил, оставив свою жену в Москве, был также на этом бале и, хотя не генерал адъютант, был участником на большую сумму в подписке для бала. Борис теперь был богатый человек, далеко ушедший в почестях, уже не искавший покровительства, а на ровной ноге стоявший с высшими из своих сверстников.
В двенадцать часов ночи еще танцевали. Элен, не имевшая достойного кавалера, сама предложила мазурку Борису. Они сидели в третьей паре. Борис, хладнокровно поглядывая на блестящие обнаженные плечи Элен, выступавшие из темного газового с золотом платья, рассказывал про старых знакомых и вместе с тем, незаметно для самого себя и для других, ни на секунду не переставал наблюдать государя, находившегося в той же зале. Государь не танцевал; он стоял в дверях и останавливал то тех, то других теми ласковыми словами, которые он один только умел говорить.