Квантовое неравенство Крамера — Рао

Квантовое неравенство Крамера — Рао — неравенство для нижней границы для среднеквадратической ошибки в квантовой теории оценивания, аналогичное неравенству Крамера-Рао в классической теории оценивания.

Формулировка

Рассмотрим квантовое оценивание оператора плотности <math>\rho(\theta)</math> при помощи вероятностно-операторной меры <math>d \Pi(\hat{\theta})</math>, дающее оценку <math>\hat{\theta}</math> Апостерирорную плотность распределения вероятностей квантовой оценки можно вычислить как <math>q(\hat{\theta} | \theta) = q(\hat{\theta} | \theta) d^{m}\theta = Tr[\rho(\theta)d\Pi(\hat{\theta})]</math>. Математические ожидания квантовых оценок получаются в виде <math>\bar{\theta}_{j} = E(\hat{\theta}_{j} | \theta) = \int_{\Theta} \hat{\theta}_{j} Tr[\rho(\theta)d\Pi(\hat{\theta})]</math>. Здесь <math>Tr</math> - след оператора в гильбертовом пространстве. Рассмотрим несмещенные оценки, то есть оценки, для которых справедливо тождество: <math>\bar{\theta}_{j} = E(\hat{\theta}_{j} | \theta) = \theta_{j}</math>. Ковариации несмещенных оценок <math>B_{ij}</math> даются выражением: <math>B_{ij}=E[(\hat{\theta}_{i} - \bar{\theta}_{i})(\hat{\theta}_{j} - \bar{\theta}_{j})|\theta] = \int_{\Theta} (\hat{\theta}_{i} - \bar{\theta}_{i})(\hat{\theta}_{j} - \bar{\theta}_{j}) Tr\rho(\theta)d\Pi(\hat{\theta})</math>. При квадратичной функции потерь средний риск равен <math>\bar{C} = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} g_{ij}B_{ij} = tr GB </math>. Здесь <math>tr</math> - след матрицы.

Первая форма квантового неравенства Крамера-Рао:

<math>\tilde{Y} BY \geqslant \tilde{Y} A^{-1}Y</math>.

Вторая форма квантового неравенства Крамера-Рао:

<math>\tilde{Z} B^{-1} Z \geqslant \tilde{Z} A Z</math>.

Здесь <math>A_{ij}=Tr(\frac{\partial \rho}{\partial \theta_{i}} L_{j})</math>, <math>L_{k}</math> определяются по формуле <math>\frac{\partial \rho}{\partial \theta_{k}} = \frac{1}{2}(\rho L_{k} + L_{k} \rho)</math>, <math>Y, Z</math> получаем из <math>Re Tr \int_{\Theta} T_{\theta} \rho T_{L}d \Pi (\hat{\theta}) = \tilde{Y}Z</math>, где <math>T_{\theta}= 1 \sum_{j=1}^{m} y_{j} (\hat{\theta}_{j}-\theta_{j})</math>, <math>T_{L}=\sum_{k=1}^{L} z_{k}L{k}</math>.

См. также

• Неравенство Крамера — Рао

Литература

• Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. — М.: Мир, 1979. — 344 с.

Отрывок, характеризующий Квантовое неравенство Крамера — Рао

– Покажу, покажу, это не секрет. А за лошадь благодарить будете.
– Так я велю привести лошадь, – сказал Ростов, желая избавиться от Телянина, и вышел, чтобы велеть привести лошадь.
В сенях Денисов, с трубкой, скорчившись на пороге, сидел перед вахмистром, который что то докладывал. Увидав Ростова, Денисов сморщился и, указывая через плечо большим пальцем в комнату, в которой сидел Телянин, поморщился и с отвращением тряхнулся.
– Ох, не люблю молодца, – сказал он, не стесняясь присутствием вахмистра.
Ростов пожал плечами, как будто говоря: «И я тоже, да что же делать!» и, распорядившись, вернулся к Телянину.
Телянин сидел всё в той же ленивой позе, в которой его оставил Ростов, потирая маленькие белые руки.
«Бывают же такие противные лица», подумал Ростов, входя в комнату.
– Что же, велели привести лошадь? – сказал Телянин, вставая и небрежно оглядываясь.
– Велел.
– Да пойдемте сами. Я ведь зашел только спросить Денисова о вчерашнем приказе. Получили, Денисов?
– Нет еще. А вы куда?
– Вот хочу молодого человека научить, как ковать лошадь, – сказал Телянин.
Они вышли на крыльцо и в конюшню. Поручик показал, как делать заклепку, и ушел к себе.
Когда Ростов вернулся, на столе стояла бутылка с водкой и лежала колбаса. Денисов сидел перед столом и трещал пером по бумаге. Он мрачно посмотрел в лицо Ростову.
– Ей пишу, – сказал он.
Он облокотился на стол с пером в руке, и, очевидно обрадованный случаю быстрее сказать словом всё, что он хотел написать, высказывал свое письмо Ростову.
– Ты видишь ли, дг'уг, – сказал он. – Мы спим, пока не любим. Мы дети пг`axa… а полюбил – и ты Бог, ты чист, как в пег'вый день создания… Это еще кто? Гони его к чог'ту. Некогда! – крикнул он на Лаврушку, который, нисколько не робея, подошел к нему.
– Да кому ж быть? Сами велели. Вахмистр за деньгами пришел.