Квантор

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности (обозначение: <math>\forall</math>, читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»).
• Квантор существования (обозначение: <math>\exists</math>, читается: «существует…» или «найдётся…»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).

Примеры

Обозначим <math>P(x)</math> предикат «x делится на 5». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

1. любое натуральное число кратно 5;
2. каждое натуральное число кратно 5;
3. все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

<math>(\forall x \in \mathbb{N}) P(x)</math>.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 5;
2. найдётся натуральное число, кратное 5;
3. хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

<math> (\exists x \in \mathbb{N}) P(x)</math>.

Введение в понятие

Пусть на множестве <math>X</math> простых чисел задан предикат <math>P(x)</math>: «Простое число <math>x</math> нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число <math>x</math> нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом <math>P(x)</math> слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число <math>x</math>, являющееся нечётным» (например, <math>x=3</math>).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

• Высказывание <math>\forall xP(x)</math> означает, что область значений переменной <math>x</math> включена в область истинности предиката <math>P(x)</math>.

(«При всех значениях <math>x</math> утверждение верно»).

• Высказывание <math>\exists xP(x)</math> означает, что область истинности предиката <math>P(x)</math> непуста.

(«Существует <math>x</math>, при котором утверждение верно»).

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

• Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

• Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

<math>\lnot (\forall x)P(x) = (\exists x) \lnot P(x)</math>
<math>\lnot (\exists x)P(x) = (\forall x) \lnot P(x)</math>

История появления

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имен.

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения <math>\exists</math> для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и <math>\forall</math> для квантора общности (нем. Alle — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

Литература

• Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. 240 с.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973, 400 с.
• Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ссылки

• [energy.bmstu.ru/gormath/mathan1s/logic/logic2.htm Кванторы].

Отрывок, характеризующий Квантор

– Ти кто? – спросил переводчик. – Ти должно отвечать начальство, – сказал он.
– Je ne vous dirai pas qui je suis. Je suis votre prisonnier. Emmenez moi, [Я не скажу вам, кто я. Я ваш пленный. Уводите меня,] – вдруг по французски сказал Пьер.
– Ah, Ah! – проговорил офицер, нахмурившись. – Marchons! [A! A! Ну, марш!]
Около улан собралась толпа. Ближе всех к Пьеру стояла рябая баба с девочкою; когда объезд тронулся, она подвинулась вперед.
– Куда же это ведут тебя, голубчик ты мой? – сказала она. – Девочку то, девочку то куда я дену, коли она не ихняя! – говорила баба.
– Qu'est ce qu'elle veut cette femme? [Чего ей нужно?] – спросил офицер.
Пьер был как пьяный. Восторженное состояние его еще усилилось при виде девочки, которую он спас.
– Ce qu'elle dit? – проговорил он. – Elle m'apporte ma fille que je viens de sauver des flammes, – проговорил он. – Adieu! [Чего ей нужно? Она несет дочь мою, которую я спас из огня. Прощай!] – и он, сам не зная, как вырвалась у него эта бесцельная ложь, решительным, торжественным шагом пошел между французами.
Разъезд французов был один из тех, которые были посланы по распоряжению Дюронеля по разным улицам Москвы для пресечения мародерства и в особенности для поимки поджигателей, которые, по общему, в тот день проявившемуся, мнению у французов высших чинов, были причиною пожаров. Объехав несколько улиц, разъезд забрал еще человек пять подозрительных русских, одного лавочника, двух семинаристов, мужика и дворового человека и нескольких мародеров. Но из всех подозрительных людей подозрительнее всех казался Пьер. Когда их всех привели на ночлег в большой дом на Зубовском валу, в котором была учреждена гауптвахта, то Пьера под строгим караулом поместили отдельно.


В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.
Все очень хорошо знали, что болезнь прелестной графини происходила от неудобства выходить замуж сразу за двух мужей и что лечение итальянца состояло в устранении этого неудобства; но в присутствии Анны Павловны не только никто не смел думать об этом, но как будто никто и не знал этого.