Математический анализ

Эта статья — о математическом анализе в классическом понимании — разделе, объединяющем дифференциальное и интегральное исчисления. Об исторических аспектах его возникновения см. Анализ бесконечно малых; о математическом анализе в широком смысле, как современном направлении в математике см. Анализ (раздел математики).

Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» (англ. Calculus).

История

См. также: Анализ бесконечно малых

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманной. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли (Якоб и Иоганн) и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если <math>M</math> — подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты <math>x</math> и <math>y</math>, именуемые абсциссой и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение <math>x</math> влечёт изменение <math>y</math>. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом <math>d</math>. … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается <math>x+dx=x</math>, далее

<math>dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx</math>

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку <math>M = (x,y)</math>, Лопиталь придаёт большое значение величине

<math>y\frac{dx}{dy}-x</math>,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же <math>dy</math> к <math>dx</math> не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении абсциссы <math>x</math> ордината <math>y</math> сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал <math>dy</math> сначала положителен по сравнению с <math>dx</math>, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, <math>y=x^2</math>, тогда в силу первого требования

<math>2xdx+ dx^2=2xdx</math>;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что <math>dy</math> можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума <math>dy=0</math>.. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что <math>dy</math> равен нулю в точке максимума, будучи разделён на <math>dx</math>.

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты <math>y</math> кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при <math>x=a</math>. Тогда точка кривой с <math>x=a</math> имеет ординату <math>y</math>, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при <math>x=a</math>.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница, однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа <math>\infty</math>. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

<math>e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty</math>,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты.

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

<math>(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{(x+y)},</math>

а отсюда

<math>2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n </math>

Полагая <math>n=\infty</math> и <math>z=nx</math>, он получает

<math>2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty}\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z} </math>,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

<math>e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}</math>.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа <math>\infty</math>.

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулы Ньютона — формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение <math>\frac{d^ky}{dx^k}</math>, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой <math>=Xdx</math>, называется его интегралом и обозначается знаком <math>S</math>, поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., <math>\Gamma</math>-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как <math>f(x)</math>, дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

<math>f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\dots</math>,

коэффициенты которого будут новыми функциями <math>x</math>. Остаётся назвать <math>p</math> производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как <math>f'(x)</math>. Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

<math>f'(x+h)=p+2qh+\dots</math>,

поэтому коэффициент <math>q</math> является удвоенной производной производной <math>f(x)</math>, то есть

<math>q=\frac{1}{2!}f(x)</math> и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

<math>f(x)=e^{-1/x^2},</math>

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению <math>f(x)</math>. Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при <math>x\not=0</math>. Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функции представляет выражение

<math>\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx)}}{k!}</math>.

Дальнейшее развитие

См. также: Анализ (раздел математики)#История

В XVIII веке были на основе классического анализа разработаны и практически применены такие новые ветви, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции. На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.

В XIX веке Коши первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через <math>(\varepsilon, \delta)</math>-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел. В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка Робинсоном нестандартного анализа — альтернативного подхода к обоснованию анализа; притом средствами нестандартного анализа обнаружены несколько новых результатов, которые не были известны в классическом анализе, но принципиально могли бы быть получены и классическими средствами.

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных функций. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Для заданной функции и точки из области её определения производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения этой функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке в области определения, можно определить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной от исходной функции. На математическом языке производная является линейным отображением, на входе которого одна функция, а на выходе другая. Это понятие является более абстрактным, чем большинство процессов, изучаемых в элементарной алгебре, где функции обычно имеют на входе одно число, а на выходе другое. Например, если для функции удвоения задать на входе три, на выходе будет шесть; если для квадратичной функции задать на входе три, на выходе будет девять. Производная же может иметь квадратичную функцию в качестве входа. Это означает, что производная берёт всю информацию о функции возведения в квадрат, то есть: при входе два, она даёт на выходе четыре, три преобразует в девять, четыре — в шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для получения другой функции. (Производной квадратичной функции является как раз функция удвоения.)

Наиболее распространенным символом для обозначения производной является апострофо-подобный знак, называемый штрихом. Таким образом, производная функции f есть f′, произносится «f штрих». Например, если f(x) = x² является функцией возведения в квадрат, то f′(x) = 2x является её производной, это функция удвоения.

Если входом функции является время, то производная представляет собой изменение по времени. Например, если f является функцией, зависящей от времени, и она даёт на выходе положение мяча во времени, то производная f определяет изменение положения мяча по времени, то есть скорость мяча.

Если функция является линейной (то есть, если графиком функции является прямая линия), то функцию можно записать в виде y = mx + b, где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, а b — это y-отсечка, при этом:

<math>m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>

Это выражение даёт точное значение угла наклона прямой линии. Если график функции не является прямой линией, то изменение y делённое на изменение x меняется от точки к точке. Производная даёт точный смысл понятия изменения выходного значения по отношению к изменению входа. Чтобы быть конкретным, пусть f есть функция, и мы фиксируем точку a в области определения f. (a, f(a)) является точкой на графике функции. Если h — близкое к нулю число, то a + h является числом, близким к a. Поэтому точка (a + h, f(a + h)) близка к точке (a, f(a)). Угол наклона между этими двумя точками равен:

<math>m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.</math>

Это выражение называется разностным соотношением. Линия, проходящая через две точки на кривой, называется секущей линией, поэтому m является углом наклона секущей линии между (a, f(a)) и (a + h, f(a + h)). Секущая является лишь приближением к поведению функции в точке, поскольку она не учитывает поведение функции между точками a и (a + h, f(a + h)). Определить это поведении, установив h равным нулю, невозможно, поскольку потребовалось бы делить на ноль, что исключено. Производная определяется путём перехода к пределу при h стремящемся к нулю, что означает, что он рассматривает поведение f для всех малых значениях h и выделяет приемлемое значение для случая, когда h равно нулю:

<math>\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.</math>

Геометрически производная равна углу наклона касательной к графику функции f в точке a. Касательная является пределом секущих линий, так же как производная является пределом разностных соотношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f.

Вот конкретный пример, производная функция возведения в квадрат в точке 3. Пусть f(x) = x² является квадратичной функцией.

<math>\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\

&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align} </math>

Наклон касательной к квадратичной функции в точке (3,9) равно 6, то есть она растёт вверх в шесть раз быстрее, чем отклоняется право. Вычисление предела, описанное выше, можно выполнить для любой точки в области определения квадратичной функции. Это определяет производную функцию или просто для краткости производную от функции возведения в квадрат. Проведённые расчёты показывают что производная квадратичной функции есть функция удвоения.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление — это изучение определения, свойств и применения двух взаимосвязанных понятий: неопределённого интеграла и определённого интеграла. Процесс поиска значения интеграла называется интегрированием. В технических терминах интегральное исчисление является исследованием двух связанных линейных операторов.

Неопределённый интеграл является первообразной, то есть операцией, обратной к производной. F является неопределённым интегралом от f в том случае, когда f является производной от F. (Это использование прописных и строчных букв для функции и её неопределённого интеграла распространено в исчислении).

Определенный интеграл входной функции и выходных значений есть число, которое равно площади поверхности, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя отрезками прямых линий от графика функции до оси абсцисс в точках выходных значений. В технических терминах определённый интеграл есть предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой Римана.

Примером из физики является вычисление пройденного расстояния при ходьбе в любой момент времени.

<math>\mathrm{Distance} = \mathrm{Speed} \cdot \mathrm{Time}</math>

Если скорость постоянна, достаточно операции умножения, но если скорость меняется, то мы должны применить более мощный метод вычисления расстояния. Одним из таких методов является приблизительное вычисление путём разбивки времени на отдельные короткие промежутки. Умножая затем время в каждом интервале на какую-либо одну из скоростей в этом интервале и затем суммируя все приблизительные расстояния (сумма Римана), пройденные в каждом интервале, мы получим полное пройденное расстояние. Основная идея состоит в том, что если использовать очень короткие интервалы, то скорость на каждом из них будет оставаться более или менее постоянной. Тем не менее, сумма Римана даёт только приблизительное расстояние. Чтобы найти точное расстояние, мы должны найти предел всех таких сумм Римана.

Если f(x) на диаграмме слева представляет изменение скорости с течением времени, то пройденное расстояние (между моментами a и b) есть площадь заштрихованной области s.

Для приближённой оценки этой площади возможен интуитивный метод, состоящий в разделении расстояния между a и b на некоторое число равных отрезков (сегментов) длиной Δx. Для каждого сегмента мы можем выбрать одно значение функции f(x). Назовём это значение h. Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h даёт расстояние (время Δx умноженной на скорость h), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связывается среднее значение функции на нём f(x)=h. Сумма всех таких прямоугольников даёт приближение площади под кривой, которая является оценкой общего пройденного расстояния. Уменьшение Δx даст большее количество прямоугольников и в большинстве случаев будет лучшим приближением, но для получения точного ответа мы должны вычислить предел при Δx стремящемся к нулю.

Символом интегрирования является <math>\int</math>, удлиненная буква S (S означает «сумма»). Определённый интеграл записывается в виде:

<math>\int_a^b f(x)\, dx.</math>

и читается: «интеграл от a до b функции f от x по x». Предложенное Лейбницем обозначение dx предназначено для разделения площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, таких, что их ширина Δx является бесконечно малой величиной dx. В формулировке исчисления, основанного на пределах, обозначение

<math>\int_a^b \ldots\, dx</math>

должно пониматься как оператор, который принимает на входе функцию и даёт на выходе число, равное площади. dx не является числом и не умножается на f(x).

Неопределённый интеграл, или первообразная, записывается в виде:

<math>\int f(x)\, dx.</math>

Функции, отличающиеся на константу, имеют те же производные, и, следовательно, первообразная данной функции на самом деле является семейством функций, отличающиеся только константой. Поскольку производная функции y = x² + C, где C — любая константа, равна y′ = 2x, то первообразная последней определяется по формуле:

<math>\int 2x\, dx = x^2 + C.</math>

Неопределённая константа типа C в первообразной известна как постоянная интегрирования.

Теорема Ньютона — Лейбница

Теорема Ньютона — Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определённых интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определённого интеграла, теорема даёт практический способ вычисления определённых интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования.

Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и если F есть функция, производная которой равна f на интервале (a, b), то:

<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>

Кроме того, для любого x из интервала (a, b)

<math>\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math>

Это понимание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем, которые основывали свои результаты на более ранних трудах Исаака Барроу, было ключом к быстрому распространению аналитических результатов после того, как их работы стали известны. Фундаментальная теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов без ограничения процессов, путём нахождения формулы первообразной. Кроме того, возник прототип для решения дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения связывают неизвестные функции с их производными, они применяются повсеместно во многих науках.

Приложения

Математический анализ широко применяется в физике, информатике, статистике, технике, экономике, бизнесе, финансах, медицине, демографии и других областях, в которых для решения проблемы может быть построена математическая модель, и необходимо найти её оптимальное решение.

В частности, практически все понятия в классической механике и электромагнетизме неразрывно связаны между собой именно средствами классичееского математического анализа. Например, при известном распределении плотности объекта его масса, моменты инерции, а также полная энергия в потенциальном поле могут быть найдены с помощью дифференциального исчисления. Другой яркий пример применения математического анализа в механике — второй закон Ньютона: исторически сложилось так, что в нём напрямую используется термин «скорость изменения» в формулировке «Сила = масса × ускорение», так как ускорение — производная по времени от скорости или вторая производная по времени от траектории или пространственного положения.

Теория электромагнетизма Максвелла и общая теория относительности Эйнштейна также выражаются языком дифференциального исчисления. В химии исчисление используется при определении скорости реакций и скорости радиоактивного распада. В биологии с помощью исчисления делается расчёт динамики популяций, учитывающей данные по воспроизводству и смертности вида.

Математический анализ может использоваться в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, оно может использоваться совместно с линейной алгеброй, чтобы найти «наилучшую» линейную аппроксимацию для множества точек в области определения. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения вероятности непрерывной случайной величины в зависимости от плотности распределения. В аналитической геометрии при изучении графиков функций исчисление используется для поиска точек максимума и минимума, наклона, кривизны и точек перегиба.

Теорема Грина, которая устанавливает соотношение между криволинейным интегралом по простой замкнутой кривой С и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной этой кривой С, применяется в инструменте, известном как планиметр, который используется для расчёта площади плоской поверхности на чертеже. Например, его можно использовать для расчёта площади фигуры неправильной формы: цветника или бассейна при проектировании своего участка.

Дискретная теорема Грина, устанавливающая соотношение между двойным интегралом функции по периметру прямоугольника и линейной комбинацией значений первообразной по угловым точкам прямоугольника, позволяет быстро вычислить сумму площадей прямоугольных областей. Например, она может использоваться для эффективного расчета суммы прямоугольных областей на изображениях, для того чтобы быстро находить свойства и идентифицировать объекты.

В области медицины математический анализ применяется для нахождения оптимального угла ветвления кровеносных сосудов, максимизирующего поток. Зная закон затухания применительно к выводу какого-либо препарата из тела, исчисление используется для оценки уровня дозирования этих препаратов. В ядерной медицине исчисление используется для разработки моделей переноса излучения в целевой терапии опухолей.

В экономике средства математического анализа позволяют определить максимальную прибыль с использованием понятий предельных издержек и предельного дохода.

Математический анализ используется также для нахождения приближённых решений уравнений. На практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и нахождение корней в большинстве приложений. Примерами являются метод Ньютона, метод простой итерации и метод линейной аппроксимации. Например, при расчётах траектории космических аппаратов используется вариант метода Эйлера для аппроксимации криволинейных курсов движения при отсутствии силы тяжести.

Библиография

Энциклопедические статьи

• Анализ // Энциклопедический лексикон: В 17 тт. — СПб.: Тип. А. Плюшара, 1835—1841.
• Анализ математический // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна, затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm 4-ое издание]) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ, МехМат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
• Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.

• МГУ, ВМК:

• В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — ISBN 5-482-00445-7.

• МГУ, физфак:

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1.
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах

• МГТУ им. Н. Э. Баумана:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• СПбГУ, физфак:

• Смирнов В. И. Курс высшей математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е издание), БХВ-Петербург, 2008 (24-е издание).

• НГУ, мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, 2003: [www.varsanofiev.com/inside/analiz1.pdf Часть 1. Функции одной переменной], [www.varsanofiev.com/inside/analiz2.pdf Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных].

• МФТИ, Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трех томах).

• БГУ, физфак:

• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). — Минск: БГУ, 1974.

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 — небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. [www.mccme.ru/free-books/djvu/polya/polia-sege-1.djvu Часть 1], [www.mccme.ru/free-books/djvu/polya/polia-sege-2.djvu Часть 2], 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // [www.archive.org/details/americana Internet Archiv]

Учебники для гуманитарных специальностей

• А. М. Ахтямов Математика для социологов и экономистов. — М. : Физматлит, 2004.
• Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. — М. : Юнити, 2010

Задачники

• Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. — 20-е изд. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 384 с.
• П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.
• Г. И. Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1966.
• И. А. Каплан. Практические занятия по высшей математике, в 5 частях.. — Харьков, Изд. Харьковского гос. ун-та, 1967, 1971, 1972.
• А. К. Боярчук, Г. П. Головач. Диференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва. Едиториал УРСС, 2001.
• А. В. Пантелеев, А. С. Якимова, А. В. Босов. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. «МАИ», 2000
• А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. ВШ, 1989.
• К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю.А Шевченко . Сборник задач по высшей математике. 1 курс. — 7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
• И. А. Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (Функции одной переменной). — М., Физматлит, 1970.
• В. Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т. — СПб.: Политехника, 2003.

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug/Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 — Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2

Сочинения по истории анализа

• Кестнер, Авраам Готтгельф. Geschichte der Mathematik. 4 тома, Геттинген, 1796—1800
• Кантор, Мориц. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, 1894—1908. [name.umdl.umich.edu/AAS8778.0001.001 Bd. 1], [name.umdl.umich.edu/AAS8778.0002.001 Bd. 2], [name.umdl.umich.edu/AAS8778.0003.001 Bd. 3], [name.umdl.umich.edu/AAS8778.0004.001 Bd. 4]
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960

Ссылки

• Анализ // Энциклопедический лексикон: В 17 тт. — СПб.: Тип. А. Плюшара, 1835—1841.
• Анализ математический // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Отрывок, характеризующий Математический анализ

– По обоий сторона, ротмистр, – послышался ему голос полкового командира, который, заехав вперед, стал верхом недалеко от моста с торжествующим и веселым лицом.
Ростов, обтирая испачканные руки о рейтузы, оглянулся на своего врага и хотел бежать дальше, полагая, что чем он дальше уйдет вперед, тем будет лучше. Но Богданыч, хотя и не глядел и не узнал Ростова, крикнул на него:
– Кто по средине моста бежит? На права сторона! Юнкер, назад! – сердито закричал он и обратился к Денисову, который, щеголяя храбростью, въехал верхом на доски моста.
– Зачем рисковайт, ротмистр! Вы бы слезали, – сказал полковник.
– Э! виноватого найдет, – отвечал Васька Денисов, поворачиваясь на седле.

Между тем Несвицкий, Жерков и свитский офицер стояли вместе вне выстрелов и смотрели то на эту небольшую кучку людей в желтых киверах, темнозеленых куртках, расшитых снурками, и синих рейтузах, копошившихся у моста, то на ту сторону, на приближавшиеся вдалеке синие капоты и группы с лошадьми, которые легко можно было признать за орудия.
«Зажгут или не зажгут мост? Кто прежде? Они добегут и зажгут мост, или французы подъедут на картечный выстрел и перебьют их?» Эти вопросы с замиранием сердца невольно задавал себе каждый из того большого количества войск, которые стояли над мостом и при ярком вечернем свете смотрели на мост и гусаров и на ту сторону, на подвигавшиеся синие капоты со штыками и орудиями.
– Ох! достанется гусарам! – говорил Несвицкий, – не дальше картечного выстрела теперь.
– Напрасно он так много людей повел, – сказал свитский офицер.
– И в самом деле, – сказал Несвицкий. – Тут бы двух молодцов послать, всё равно бы.
– Ах, ваше сиятельство, – вмешался Жерков, не спуская глаз с гусар, но всё с своею наивною манерой, из за которой нельзя было догадаться, серьезно ли, что он говорит, или нет. – Ах, ваше сиятельство! Как вы судите! Двух человек послать, а нам то кто же Владимира с бантом даст? А так то, хоть и поколотят, да можно эскадрон представить и самому бантик получить. Наш Богданыч порядки знает.
– Ну, – сказал свитский офицер, – это картечь!
Он показывал на французские орудия, которые снимались с передков и поспешно отъезжали.
На французской стороне, в тех группах, где были орудия, показался дымок, другой, третий, почти в одно время, и в ту минуту, как долетел звук первого выстрела, показался четвертый. Два звука, один за другим, и третий.
– О, ох! – охнул Несвицкий, как будто от жгучей боли, хватая за руку свитского офицера. – Посмотрите, упал один, упал, упал!
– Два, кажется?
– Был бы я царь, никогда бы не воевал, – сказал Несвицкий, отворачиваясь.
Французские орудия опять поспешно заряжали. Пехота в синих капотах бегом двинулась к мосту. Опять, но в разных промежутках, показались дымки, и защелкала и затрещала картечь по мосту. Но в этот раз Несвицкий не мог видеть того, что делалось на мосту. С моста поднялся густой дым. Гусары успели зажечь мост, и французские батареи стреляли по ним уже не для того, чтобы помешать, а для того, что орудия были наведены и было по ком стрелять.
– Французы успели сделать три картечные выстрела, прежде чем гусары вернулись к коноводам. Два залпа были сделаны неверно, и картечь всю перенесло, но зато последний выстрел попал в середину кучки гусар и повалил троих.
Ростов, озабоченный своими отношениями к Богданычу, остановился на мосту, не зная, что ему делать. Рубить (как он всегда воображал себе сражение) было некого, помогать в зажжении моста он тоже не мог, потому что не взял с собою, как другие солдаты, жгута соломы. Он стоял и оглядывался, как вдруг затрещало по мосту будто рассыпанные орехи, и один из гусар, ближе всех бывший от него, со стоном упал на перилы. Ростов побежал к нему вместе с другими. Опять закричал кто то: «Носилки!». Гусара подхватили четыре человека и стали поднимать.
– Оооо!… Бросьте, ради Христа, – закричал раненый; но его всё таки подняли и положили.
Николай Ростов отвернулся и, как будто отыскивая чего то, стал смотреть на даль, на воду Дуная, на небо, на солнце. Как хорошо показалось небо, как голубо, спокойно и глубоко! Как ярко и торжественно опускающееся солнце! Как ласково глянцовито блестела вода в далеком Дунае! И еще лучше были далекие, голубеющие за Дунаем горы, монастырь, таинственные ущелья, залитые до макуш туманом сосновые леса… там тихо, счастливо… «Ничего, ничего бы я не желал, ничего бы не желал, ежели бы я только был там, – думал Ростов. – Во мне одном и в этом солнце так много счастия, а тут… стоны, страдания, страх и эта неясность, эта поспешность… Вот опять кричат что то, и опять все побежали куда то назад, и я бегу с ними, и вот она, вот она, смерть, надо мной, вокруг меня… Мгновенье – и я никогда уже не увижу этого солнца, этой воды, этого ущелья»…
В эту минуту солнце стало скрываться за тучами; впереди Ростова показались другие носилки. И страх смерти и носилок, и любовь к солнцу и жизни – всё слилось в одно болезненно тревожное впечатление.
«Господи Боже! Тот, Кто там в этом небе, спаси, прости и защити меня!» прошептал про себя Ростов.
Гусары подбежали к коноводам, голоса стали громче и спокойнее, носилки скрылись из глаз.
– Что, бг'ат, понюхал пог'оху?… – прокричал ему над ухом голос Васьки Денисова.
«Всё кончилось; но я трус, да, я трус», подумал Ростов и, тяжело вздыхая, взял из рук коновода своего отставившего ногу Грачика и стал садиться.
– Что это было, картечь? – спросил он у Денисова.
– Да еще какая! – прокричал Денисов. – Молодцами г'аботали! А г'абота сквег'ная! Атака – любезное дело, г'убай в песи, а тут, чог'т знает что, бьют как в мишень.
И Денисов отъехал к остановившейся недалеко от Ростова группе: полкового командира, Несвицкого, Жеркова и свитского офицера.
«Однако, кажется, никто не заметил», думал про себя Ростов. И действительно, никто ничего не заметил, потому что каждому было знакомо то чувство, которое испытал в первый раз необстреленный юнкер.
– Вот вам реляция и будет, – сказал Жерков, – глядишь, и меня в подпоручики произведут.
– Доложите князу, что я мост зажигал, – сказал полковник торжественно и весело.
– А коли про потерю спросят?
– Пустячок! – пробасил полковник, – два гусара ранено, и один наповал , – сказал он с видимою радостью, не в силах удержаться от счастливой улыбки, звучно отрубая красивое слово наповал .


Преследуемая стотысячною французскою армией под начальством Бонапарта, встречаемая враждебно расположенными жителями, не доверяя более своим союзникам, испытывая недостаток продовольствия и принужденная действовать вне всех предвидимых условий войны, русская тридцатипятитысячная армия, под начальством Кутузова, поспешно отступала вниз по Дунаю, останавливаясь там, где она бывала настигнута неприятелем, и отбиваясь ариергардными делами, лишь насколько это было нужно для того, чтоб отступать, не теряя тяжестей. Были дела при Ламбахе, Амштетене и Мельке; но, несмотря на храбрость и стойкость, признаваемую самим неприятелем, с которою дрались русские, последствием этих дел было только еще быстрейшее отступление. Австрийские войска, избежавшие плена под Ульмом и присоединившиеся к Кутузову у Браунау, отделились теперь от русской армии, и Кутузов был предоставлен только своим слабым, истощенным силам. Защищать более Вену нельзя было и думать. Вместо наступательной, глубоко обдуманной, по законам новой науки – стратегии, войны, план которой был передан Кутузову в его бытность в Вене австрийским гофкригсратом, единственная, почти недостижимая цель, представлявшаяся теперь Кутузову, состояла в том, чтобы, не погубив армии подобно Маку под Ульмом, соединиться с войсками, шедшими из России.
28 го октября Кутузов с армией перешел на левый берег Дуная и в первый раз остановился, положив Дунай между собой и главными силами французов. 30 го он атаковал находившуюся на левом берегу Дуная дивизию Мортье и разбил ее. В этом деле в первый раз взяты трофеи: знамя, орудия и два неприятельские генерала. В первый раз после двухнедельного отступления русские войска остановились и после борьбы не только удержали поле сражения, но прогнали французов. Несмотря на то, что войска были раздеты, изнурены, на одну треть ослаблены отсталыми, ранеными, убитыми и больными; несмотря на то, что на той стороне Дуная были оставлены больные и раненые с письмом Кутузова, поручавшим их человеколюбию неприятеля; несмотря на то, что большие госпитали и дома в Кремсе, обращенные в лазареты, не могли уже вмещать в себе всех больных и раненых, – несмотря на всё это, остановка при Кремсе и победа над Мортье значительно подняли дух войска. Во всей армии и в главной квартире ходили самые радостные, хотя и несправедливые слухи о мнимом приближении колонн из России, о какой то победе, одержанной австрийцами, и об отступлении испуганного Бонапарта.
Князь Андрей находился во время сражения при убитом в этом деле австрийском генерале Шмите. Под ним была ранена лошадь, и сам он был слегка оцарапан в руку пулей. В знак особой милости главнокомандующего он был послан с известием об этой победе к австрийскому двору, находившемуся уже не в Вене, которой угрожали французские войска, а в Брюнне. В ночь сражения, взволнованный, но не усталый(несмотря на свое несильное на вид сложение, князь Андрей мог переносить физическую усталость гораздо лучше самых сильных людей), верхом приехав с донесением от Дохтурова в Кремс к Кутузову, князь Андрей был в ту же ночь отправлен курьером в Брюнн. Отправление курьером, кроме наград, означало важный шаг к повышению.
Ночь была темная, звездная; дорога чернелась между белевшим снегом, выпавшим накануне, в день сражения. То перебирая впечатления прошедшего сражения, то радостно воображая впечатление, которое он произведет известием о победе, вспоминая проводы главнокомандующего и товарищей, князь Андрей скакал в почтовой бричке, испытывая чувство человека, долго ждавшего и, наконец, достигшего начала желаемого счастия. Как скоро он закрывал глаза, в ушах его раздавалась пальба ружей и орудий, которая сливалась со стуком колес и впечатлением победы. То ему начинало представляться, что русские бегут, что он сам убит; но он поспешно просыпался, со счастием как будто вновь узнавал, что ничего этого не было, и что, напротив, французы бежали. Он снова вспоминал все подробности победы, свое спокойное мужество во время сражения и, успокоившись, задремывал… После темной звездной ночи наступило яркое, веселое утро. Снег таял на солнце, лошади быстро скакали, и безразлично вправе и влеве проходили новые разнообразные леса, поля, деревни.
На одной из станций он обогнал обоз русских раненых. Русский офицер, ведший транспорт, развалясь на передней телеге, что то кричал, ругая грубыми словами солдата. В длинных немецких форшпанах тряслось по каменистой дороге по шести и более бледных, перевязанных и грязных раненых. Некоторые из них говорили (он слышал русский говор), другие ели хлеб, самые тяжелые молча, с кротким и болезненным детским участием, смотрели на скачущего мимо их курьера.
Князь Андрей велел остановиться и спросил у солдата, в каком деле ранены. «Позавчера на Дунаю», отвечал солдат. Князь Андрей достал кошелек и дал солдату три золотых.
– На всех, – прибавил он, обращаясь к подошедшему офицеру. – Поправляйтесь, ребята, – обратился он к солдатам, – еще дела много.
– Что, г. адъютант, какие новости? – спросил офицер, видимо желая разговориться.
– Хорошие! Вперед, – крикнул он ямщику и поскакал далее.
Уже было совсем темно, когда князь Андрей въехал в Брюнн и увидал себя окруженным высокими домами, огнями лавок, окон домов и фонарей, шумящими по мостовой красивыми экипажами и всею тою атмосферой большого оживленного города, которая всегда так привлекательна для военного человека после лагеря. Князь Андрей, несмотря на быструю езду и бессонную ночь, подъезжая ко дворцу, чувствовал себя еще более оживленным, чем накануне. Только глаза блестели лихорадочным блеском, и мысли изменялись с чрезвычайною быстротой и ясностью. Живо представились ему опять все подробности сражения уже не смутно, но определенно, в сжатом изложении, которое он в воображении делал императору Францу. Живо представились ему случайные вопросы, которые могли быть ему сделаны,и те ответы,которые он сделает на них.Он полагал,что его сейчас же представят императору. Но у большого подъезда дворца к нему выбежал чиновник и, узнав в нем курьера, проводил его на другой подъезд.
– Из коридора направо; там, Euer Hochgeboren, [Ваше высокородие,] найдете дежурного флигель адъютанта, – сказал ему чиновник. – Он проводит к военному министру.
Дежурный флигель адъютант, встретивший князя Андрея, попросил его подождать и пошел к военному министру. Через пять минут флигель адъютант вернулся и, особенно учтиво наклонясь и пропуская князя Андрея вперед себя, провел его через коридор в кабинет, где занимался военный министр. Флигель адъютант своею изысканною учтивостью, казалось, хотел оградить себя от попыток фамильярности русского адъютанта. Радостное чувство князя Андрея значительно ослабело, когда он подходил к двери кабинета военного министра. Он почувствовал себя оскорбленным, и чувство оскорбления перешло в то же мгновенье незаметно для него самого в чувство презрения, ни на чем не основанного. Находчивый же ум в то же мгновение подсказал ему ту точку зрения, с которой он имел право презирать и адъютанта и военного министра. «Им, должно быть, очень легко покажется одерживать победы, не нюхая пороха!» подумал он. Глаза его презрительно прищурились; он особенно медленно вошел в кабинет военного министра. Чувство это еще более усилилось, когда он увидал военного министра, сидевшего над большим столом и первые две минуты не обращавшего внимания на вошедшего. Военный министр опустил свою лысую, с седыми висками, голову между двух восковых свечей и читал, отмечая карандашом, бумаги. Он дочитывал, не поднимая головы, в то время как отворилась дверь и послышались шаги.
– Возьмите это и передайте, – сказал военный министр своему адъютанту, подавая бумаги и не обращая еще внимания на курьера.
Князь Андрей почувствовал, что либо из всех дел, занимавших военного министра, действия кутузовской армии менее всего могли его интересовать, либо нужно было это дать почувствовать русскому курьеру. «Но мне это совершенно всё равно», подумал он. Военный министр сдвинул остальные бумаги, сровнял их края с краями и поднял голову. У него была умная и характерная голова. Но в то же мгновение, как он обратился к князю Андрею, умное и твердое выражение лица военного министра, видимо, привычно и сознательно изменилось: на лице его остановилась глупая, притворная, не скрывающая своего притворства, улыбка человека, принимающего одного за другим много просителей.
– От генерала фельдмаршала Кутузова? – спросил он. – Надеюсь, хорошие вести? Было столкновение с Мортье? Победа? Пора!
Он взял депешу, которая была на его имя, и стал читать ее с грустным выражением.
– Ах, Боже мой! Боже мой! Шмит! – сказал он по немецки. – Какое несчастие, какое несчастие!
Пробежав депешу, он положил ее на стол и взглянул на князя Андрея, видимо, что то соображая.
– Ах, какое несчастие! Дело, вы говорите, решительное? Мортье не взят, однако. (Он подумал.) Очень рад, что вы привезли хорошие вести, хотя смерть Шмита есть дорогая плата за победу. Его величество, верно, пожелает вас видеть, но не нынче. Благодарю вас, отдохните. Завтра будьте на выходе после парада. Впрочем, я вам дам знать.
Исчезнувшая во время разговора глупая улыбка опять явилась на лице военного министра.
– До свидания, очень благодарю вас. Государь император, вероятно, пожелает вас видеть, – повторил он и наклонил голову.
Когда князь Андрей вышел из дворца, он почувствовал, что весь интерес и счастие, доставленные ему победой, оставлены им теперь и переданы в равнодушные руки военного министра и учтивого адъютанта. Весь склад мыслей его мгновенно изменился: сражение представилось ему давнишним, далеким воспоминанием.


Князь Андрей остановился в Брюнне у своего знакомого, русского дипломата .Билибина.
– А, милый князь, нет приятнее гостя, – сказал Билибин, выходя навстречу князю Андрею. – Франц, в мою спальню вещи князя! – обратился он к слуге, провожавшему Болконского. – Что, вестником победы? Прекрасно. А я сижу больной, как видите.
Князь Андрей, умывшись и одевшись, вышел в роскошный кабинет дипломата и сел за приготовленный обед. Билибин покойно уселся у камина.
Князь Андрей не только после своего путешествия, но и после всего похода, во время которого он был лишен всех удобств чистоты и изящества жизни, испытывал приятное чувство отдыха среди тех роскошных условий жизни, к которым он привык с детства. Кроме того ему было приятно после австрийского приема поговорить хоть не по русски (они говорили по французски), но с русским человеком, который, он предполагал, разделял общее русское отвращение (теперь особенно живо испытываемое) к австрийцам.
Билибин был человек лет тридцати пяти, холостой, одного общества с князем Андреем. Они были знакомы еще в Петербурге, но еще ближе познакомились в последний приезд князя Андрея в Вену вместе с Кутузовым. Как князь Андрей был молодой человек, обещающий пойти далеко на военном поприще, так, и еще более, обещал Билибин на дипломатическом. Он был еще молодой человек, но уже немолодой дипломат, так как он начал служить с шестнадцати лет, был в Париже, в Копенгагене и теперь в Вене занимал довольно значительное место. И канцлер и наш посланник в Вене знали его и дорожили им. Он был не из того большого количества дипломатов, которые обязаны иметь только отрицательные достоинства, не делать известных вещей и говорить по французски для того, чтобы быть очень хорошими дипломатами; он был один из тех дипломатов, которые любят и умеют работать, и, несмотря на свою лень, он иногда проводил ночи за письменным столом. Он работал одинаково хорошо, в чем бы ни состояла сущность работы. Его интересовал не вопрос «зачем?», а вопрос «как?». В чем состояло дипломатическое дело, ему было всё равно; но составить искусно, метко и изящно циркуляр, меморандум или донесение – в этом он находил большое удовольствие. Заслуги Билибина ценились, кроме письменных работ, еще и по его искусству обращаться и говорить в высших сферах.
Билибин любил разговор так же, как он любил работу, только тогда, когда разговор мог быть изящно остроумен. В обществе он постоянно выжидал случая сказать что нибудь замечательное и вступал в разговор не иначе, как при этих условиях. Разговор Билибина постоянно пересыпался оригинально остроумными, законченными фразами, имеющими общий интерес.
Эти фразы изготовлялись во внутренней лаборатории Билибина, как будто нарочно, портативного свойства, для того, чтобы ничтожные светские люди удобно могли запоминать их и переносить из гостиных в гостиные. И действительно, les mots de Bilibine se colportaient dans les salons de Vienne, [Отзывы Билибина расходились по венским гостиным] и часто имели влияние на так называемые важные дела.
Худое, истощенное, желтоватое лицо его было всё покрыто крупными морщинами, которые всегда казались так чистоплотно и старательно промыты, как кончики пальцев после бани. Движения этих морщин составляли главную игру его физиономии. То у него морщился лоб широкими складками, брови поднимались кверху, то брови спускались книзу, и у щек образовывались крупные морщины. Глубоко поставленные, небольшие глаза всегда смотрели прямо и весело.
– Ну, теперь расскажите нам ваши подвиги, – сказал он.
Болконский самым скромным образом, ни разу не упоминая о себе, рассказал дело и прием военного министра.
– Ils m'ont recu avec ma nouvelle, comme un chien dans un jeu de quilles, [Они приняли меня с этою вестью, как принимают собаку, когда она мешает игре в кегли,] – заключил он.
Билибин усмехнулся и распустил складки кожи.
– Cependant, mon cher, – сказал он, рассматривая издалека свой ноготь и подбирая кожу над левым глазом, – malgre la haute estime que je professe pour le православное российское воинство, j'avoue que votre victoire n'est pas des plus victorieuses. [Однако, мой милый, при всем моем уважении к православному российскому воинству, я полагаю, что победа ваша не из самых блестящих.]
Он продолжал всё так же на французском языке, произнося по русски только те слова, которые он презрительно хотел подчеркнуть.
– Как же? Вы со всею массой своею обрушились на несчастного Мортье при одной дивизии, и этот Мортье уходит у вас между рук? Где же победа?
– Однако, серьезно говоря, – отвечал князь Андрей, – всё таки мы можем сказать без хвастовства, что это немного получше Ульма…
– Отчего вы не взяли нам одного, хоть одного маршала?
– Оттого, что не всё делается, как предполагается, и не так регулярно, как на параде. Мы полагали, как я вам говорил, зайти в тыл к семи часам утра, а не пришли и к пяти вечера.
– Отчего же вы не пришли к семи часам утра? Вам надо было притти в семь часов утра, – улыбаясь сказал Билибин, – надо было притти в семь часов утра.
– Отчего вы не внушили Бонапарту дипломатическим путем, что ему лучше оставить Геную? – тем же тоном сказал князь Андрей.
– Я знаю, – перебил Билибин, – вы думаете, что очень легко брать маршалов, сидя на диване перед камином. Это правда, а всё таки, зачем вы его не взяли? И не удивляйтесь, что не только военный министр, но и августейший император и король Франц не будут очень осчастливлены вашей победой; да и я, несчастный секретарь русского посольства, не чувствую никакой потребности в знак радости дать моему Францу талер и отпустить его с своей Liebchen [милой] на Пратер… Правда, здесь нет Пратера.
Он посмотрел прямо на князя Андрея и вдруг спустил собранную кожу со лба.
– Теперь мой черед спросить вас «отчего», мой милый, – сказал Болконский. – Я вам признаюсь, что не понимаю, может быть, тут есть дипломатические тонкости выше моего слабого ума, но я не понимаю: Мак теряет целую армию, эрцгерцог Фердинанд и эрцгерцог Карл не дают никаких признаков жизни и делают ошибки за ошибками, наконец, один Кутузов одерживает действительную победу, уничтожает charme [очарование] французов, и военный министр не интересуется даже знать подробности.
– Именно от этого, мой милый. Voyez vous, mon cher: [Видите ли, мой милый:] ура! за царя, за Русь, за веру! Tout ca est bel et bon, [все это прекрасно и хорошо,] но что нам, я говорю – австрийскому двору, за дело до ваших побед? Привезите вы нам свое хорошенькое известие о победе эрцгерцога Карла или Фердинанда – un archiduc vaut l'autre, [один эрцгерцог стоит другого,] как вам известно – хоть над ротой пожарной команды Бонапарте, это другое дело, мы прогремим в пушки. А то это, как нарочно, может только дразнить нас. Эрцгерцог Карл ничего не делает, эрцгерцог Фердинанд покрывается позором. Вену вы бросаете, не защищаете больше, comme si vous nous disiez: [как если бы вы нам сказали:] с нами Бог, а Бог с вами, с вашей столицей. Один генерал, которого мы все любили, Шмит: вы его подводите под пулю и поздравляете нас с победой!… Согласитесь, что раздразнительнее того известия, которое вы привозите, нельзя придумать. C'est comme un fait expres, comme un fait expres. [Это как нарочно, как нарочно.] Кроме того, ну, одержи вы точно блестящую победу, одержи победу даже эрцгерцог Карл, что ж бы это переменило в общем ходе дел? Теперь уж поздно, когда Вена занята французскими войсками.
– Как занята? Вена занята?
– Не только занята, но Бонапарте в Шенбрунне, а граф, наш милый граф Врбна отправляется к нему за приказаниями.
Болконский после усталости и впечатлений путешествия, приема и в особенности после обеда чувствовал, что он не понимает всего значения слов, которые он слышал.
– Нынче утром был здесь граф Лихтенфельс, – продолжал Билибин, – и показывал мне письмо, в котором подробно описан парад французов в Вене. Le prince Murat et tout le tremblement… [Принц Мюрат и все такое…] Вы видите, что ваша победа не очень то радостна, и что вы не можете быть приняты как спаситель…
– Право, для меня всё равно, совершенно всё равно! – сказал князь Андрей, начиная понимать,что известие его о сражении под Кремсом действительно имело мало важности ввиду таких событий, как занятие столицы Австрии. – Как же Вена взята? А мост и знаменитый tete de pont, [мостовое укрепление,] и князь Ауэрсперг? У нас были слухи, что князь Ауэрсперг защищает Вену, – сказал он.
– Князь Ауэрсперг стоит на этой, на нашей, стороне и защищает нас; я думаю, очень плохо защищает, но всё таки защищает. А Вена на той стороне. Нет, мост еще не взят и, надеюсь, не будет взят, потому что он минирован, и его велено взорвать. В противном случае мы были бы давно в горах Богемии, и вы с вашею армией провели бы дурную четверть часа между двух огней.
– Но это всё таки не значит, чтобы кампания была кончена, – сказал князь Андрей.
– А я думаю, что кончена. И так думают большие колпаки здесь, но не смеют сказать этого. Будет то, что я говорил в начале кампании, что не ваша echauffouree de Durenstein, [дюренштейнская стычка,] вообще не порох решит дело, а те, кто его выдумали, – сказал Билибин, повторяя одно из своих mots [словечек], распуская кожу на лбу и приостанавливаясь. – Вопрос только в том, что скажет берлинское свидание императора Александра с прусским королем. Ежели Пруссия вступит в союз, on forcera la main a l'Autriche, [принудят Австрию,] и будет война. Ежели же нет, то дело только в том, чтоб условиться, где составлять первоначальные статьи нового Саmро Formio. [Кампо Формио.]
– Но что за необычайная гениальность! – вдруг вскрикнул князь Андрей, сжимая свою маленькую руку и ударяя ею по столу. – И что за счастие этому человеку!
– Buonaparte? [Буонапарте?] – вопросительно сказал Билибин, морща лоб и этим давая чувствовать, что сейчас будет un mot [словечко]. – Bu onaparte? – сказал он, ударяя особенно на u . – Я думаю, однако, что теперь, когда он предписывает законы Австрии из Шенбрунна, il faut lui faire grace de l'u . [надо его избавить от и.] Я решительно делаю нововведение и называю его Bonaparte tout court [просто Бонапарт].
– Нет, без шуток, – сказал князь Андрей, – неужели вы думаете,что кампания кончена?
– Я вот что думаю. Австрия осталась в дурах, а она к этому не привыкла. И она отплатит. А в дурах она осталась оттого, что, во первых, провинции разорены (on dit, le православное est terrible pour le pillage), [говорят, что православное ужасно по части грабежей,] армия разбита, столица взята, и всё это pour les beaux yeux du [ради прекрасных глаз,] Сардинское величество. И потому – entre nous, mon cher [между нами, мой милый] – я чутьем слышу, что нас обманывают, я чутьем слышу сношения с Францией и проекты мира, тайного мира, отдельно заключенного.
– Это не может быть! – сказал князь Андрей, – это было бы слишком гадко.
– Qui vivra verra, [Поживем, увидим,] – сказал Билибин, распуская опять кожу в знак окончания разговора.
Когда князь Андрей пришел в приготовленную для него комнату и в чистом белье лег на пуховики и душистые гретые подушки, – он почувствовал, что то сражение, о котором он привез известие, было далеко, далеко от него. Прусский союз, измена Австрии, новое торжество Бонапарта, выход и парад, и прием императора Франца на завтра занимали его.
Он закрыл глаза, но в то же мгновение в ушах его затрещала канонада, пальба, стук колес экипажа, и вот опять спускаются с горы растянутые ниткой мушкатеры, и французы стреляют, и он чувствует, как содрогается его сердце, и он выезжает вперед рядом с Шмитом, и пули весело свистят вокруг него, и он испытывает то чувство удесятеренной радости жизни, какого он не испытывал с самого детства.
Он пробудился…
«Да, всё это было!…» сказал он, счастливо, детски улыбаясь сам себе, и заснул крепким, молодым сном.


На другой день он проснулся поздно. Возобновляя впечатления прошедшего, он вспомнил прежде всего то, что нынче надо представляться императору Францу, вспомнил военного министра, учтивого австрийского флигель адъютанта, Билибина и разговор вчерашнего вечера. Одевшись в полную парадную форму, которой он уже давно не надевал, для поездки во дворец, он, свежий, оживленный и красивый, с подвязанною рукой, вошел в кабинет Билибина. В кабинете находились четыре господина дипломатического корпуса. С князем Ипполитом Курагиным, который был секретарем посольства, Болконский был знаком; с другими его познакомил Билибин.
Господа, бывавшие у Билибина, светские, молодые, богатые и веселые люди, составляли и в Вене и здесь отдельный кружок, который Билибин, бывший главой этого кружка, называл наши, les nфtres. В кружке этом, состоявшем почти исключительно из дипломатов, видимо, были свои, не имеющие ничего общего с войной и политикой, интересы высшего света, отношений к некоторым женщинам и канцелярской стороны службы. Эти господа, повидимому, охотно, как своего (честь, которую они делали немногим), приняли в свой кружок князя Андрея. Из учтивости, и как предмет для вступления в разговор, ему сделали несколько вопросов об армии и сражении, и разговор опять рассыпался на непоследовательные, веселые шутки и пересуды.
– Но особенно хорошо, – говорил один, рассказывая неудачу товарища дипломата, – особенно хорошо то, что канцлер прямо сказал ему, что назначение его в Лондон есть повышение, и чтоб он так и смотрел на это. Видите вы его фигуру при этом?…
– Но что всего хуже, господа, я вам выдаю Курагина: человек в несчастии, и этим то пользуется этот Дон Жуан, этот ужасный человек!
Князь Ипполит лежал в вольтеровском кресле, положив ноги через ручку. Он засмеялся.
– Parlez moi de ca, [Ну ка, ну ка,] – сказал он.
– О, Дон Жуан! О, змея! – послышались голоса.
– Вы не знаете, Болконский, – обратился Билибин к князю Андрею, – что все ужасы французской армии (я чуть было не сказал – русской армии) – ничто в сравнении с тем, что наделал между женщинами этот человек.
– La femme est la compagne de l'homme, [Женщина – подруга мужчины,] – произнес князь Ипполит и стал смотреть в лорнет на свои поднятые ноги.
Билибин и наши расхохотались, глядя в глаза Ипполиту. Князь Андрей видел, что этот Ипполит, которого он (должно было признаться) почти ревновал к своей жене, был шутом в этом обществе.
– Нет, я должен вас угостить Курагиным, – сказал Билибин тихо Болконскому. – Он прелестен, когда рассуждает о политике, надо видеть эту важность.
Он подсел к Ипполиту и, собрав на лбу свои складки, завел с ним разговор о политике. Князь Андрей и другие обступили обоих.
– Le cabinet de Berlin ne peut pas exprimer un sentiment d'alliance, – начал Ипполит, значительно оглядывая всех, – sans exprimer… comme dans sa derieniere note… vous comprenez… vous comprenez… et puis si sa Majeste l'Empereur ne deroge pas au principe de notre alliance… [Берлинский кабинет не может выразить свое мнение о союзе, не выражая… как в своей последней ноте… вы понимаете… вы понимаете… впрочем, если его величество император не изменит сущности нашего союза…]
– Attendez, je n'ai pas fini… – сказал он князю Андрею, хватая его за руку. – Je suppose que l'intervention sera plus forte que la non intervention. Et… – Он помолчал. – On ne pourra pas imputer a la fin de non recevoir notre depeche du 28 novembre. Voila comment tout cela finira. [Подождите, я не кончил. Я думаю, что вмешательство будет прочнее чем невмешательство И… Невозможно считать дело оконченным непринятием нашей депеши от 28 ноября. Чем то всё это кончится.]
И он отпустил руку Болконского, показывая тем, что теперь он совсем кончил.
– Demosthenes, je te reconnais au caillou que tu as cache dans ta bouche d'or! [Демосфен, я узнаю тебя по камешку, который ты скрываешь в своих золотых устах!] – сказал Билибин, y которого шапка волос подвинулась на голове от удовольствия.
Все засмеялись. Ипполит смеялся громче всех. Он, видимо, страдал, задыхался, но не мог удержаться от дикого смеха, растягивающего его всегда неподвижное лицо.
– Ну вот что, господа, – сказал Билибин, – Болконский мой гость в доме и здесь в Брюнне, и я хочу его угостить, сколько могу, всеми радостями здешней жизни. Ежели бы мы были в Брюнне, это было бы легко; но здесь, dans ce vilain trou morave [в этой скверной моравской дыре], это труднее, и я прошу у всех вас помощи. Il faut lui faire les honneurs de Brunn. [Надо ему показать Брюнн.] Вы возьмите на себя театр, я – общество, вы, Ипполит, разумеется, – женщин.
– Надо ему показать Амели, прелесть! – сказал один из наших, целуя кончики пальцев.
– Вообще этого кровожадного солдата, – сказал Билибин, – надо обратить к более человеколюбивым взглядам.
– Едва ли я воспользуюсь вашим гостеприимством, господа, и теперь мне пора ехать, – взглядывая на часы, сказал Болконский.
– Куда?
– К императору.
– О! о! о!
– Ну, до свидания, Болконский! До свидания, князь; приезжайте же обедать раньше, – пocлшaлиcь голоса. – Мы беремся за вас.
– Старайтесь как можно более расхваливать порядок в доставлении провианта и маршрутов, когда будете говорить с императором, – сказал Билибин, провожая до передней Болконского.
– И желал бы хвалить, но не могу, сколько знаю, – улыбаясь отвечал Болконский.
– Ну, вообще как можно больше говорите. Его страсть – аудиенции; а говорить сам он не любит и не умеет, как увидите.


На выходе император Франц только пристально вгляделся в лицо князя Андрея, стоявшего в назначенном месте между австрийскими офицерами, и кивнул ему своей длинной головой. Но после выхода вчерашний флигель адъютант с учтивостью передал Болконскому желание императора дать ему аудиенцию.
Император Франц принял его, стоя посредине комнаты. Перед тем как начинать разговор, князя Андрея поразило то, что император как будто смешался, не зная, что сказать, и покраснел.
– Скажите, когда началось сражение? – спросил он поспешно.
Князь Андрей отвечал. После этого вопроса следовали другие, столь же простые вопросы: «здоров ли Кутузов? как давно выехал он из Кремса?» и т. п. Император говорил с таким выражением, как будто вся цель его состояла только в том, чтобы сделать известное количество вопросов. Ответы же на эти вопросы, как было слишком очевидно, не могли интересовать его.
– В котором часу началось сражение? – спросил император.
– Не могу донести вашему величеству, в котором часу началось сражение с фронта, но в Дюренштейне, где я находился, войско начало атаку в 6 часу вечера, – сказал Болконский, оживляясь и при этом случае предполагая, что ему удастся представить уже готовое в его голове правдивое описание всего того, что он знал и видел.
Но император улыбнулся и перебил его:
– Сколько миль?
– Откуда и докуда, ваше величество?
– От Дюренштейна до Кремса?
– Три с половиною мили, ваше величество.
– Французы оставили левый берег?
– Как доносили лазутчики, в ночь на плотах переправились последние.
– Достаточно ли фуража в Кремсе?
– Фураж не был доставлен в том количестве…
Император перебил его.
– В котором часу убит генерал Шмит?…
– В семь часов, кажется.
– В 7 часов. Очень печально! Очень печально!
Император сказал, что он благодарит, и поклонился. Князь Андрей вышел и тотчас же со всех сторон был окружен придворными. Со всех сторон глядели на него ласковые глаза и слышались ласковые слова. Вчерашний флигель адъютант делал ему упреки, зачем он не остановился во дворце, и предлагал ему свой дом. Военный министр подошел, поздравляя его с орденом Марии Терезии З й степени, которым жаловал его император. Камергер императрицы приглашал его к ее величеству. Эрцгерцогиня тоже желала его видеть. Он не знал, кому отвечать, и несколько секунд собирался с мыслями. Русский посланник взял его за плечо, отвел к окну и стал говорить с ним.
Вопреки словам Билибина, известие, привезенное им, было принято радостно. Назначено было благодарственное молебствие. Кутузов был награжден Марией Терезией большого креста, и вся армия получила награды. Болконский получал приглашения со всех сторон и всё утро должен был делать визиты главным сановникам Австрии. Окончив свои визиты в пятом часу вечера, мысленно сочиняя письмо отцу о сражении и о своей поездке в Брюнн, князь Андрей возвращался домой к Билибину. У крыльца дома, занимаемого Билибиным, стояла до половины уложенная вещами бричка, и Франц, слуга Билибина, с трудом таща чемодан, вышел из двери.
Прежде чем ехать к Билибину, князь Андрей поехал в книжную лавку запастись на поход книгами и засиделся в лавке.
– Что такое? – спросил Болконский.
– Ach, Erlaucht? – сказал Франц, с трудом взваливая чемодан в бричку. – Wir ziehen noch weiter. Der Bosewicht ist schon wieder hinter uns her! [Ах, ваше сиятельство! Мы отправляемся еще далее. Злодей уж опять за нами по пятам.]
– Что такое? Что? – спрашивал князь Андрей.
Билибин вышел навстречу Болконскому. На всегда спокойном лице Билибина было волнение.
– Non, non, avouez que c'est charmant, – говорил он, – cette histoire du pont de Thabor (мост в Вене). Ils l'ont passe sans coup ferir. [Нет, нет, признайтесь, что это прелесть, эта история с Таборским мостом. Они перешли его без сопротивления.]
Князь Андрей ничего не понимал.
– Да откуда же вы, что вы не знаете того, что уже знают все кучера в городе?
– Я от эрцгерцогини. Там я ничего не слыхал.
– И не видали, что везде укладываются?
– Не видал… Да в чем дело? – нетерпеливо спросил князь Андрей.
– В чем дело? Дело в том, что французы перешли мост, который защищает Ауэсперг, и мост не взорвали, так что Мюрат бежит теперь по дороге к Брюнну, и нынче завтра они будут здесь.
– Как здесь? Да как же не взорвали мост, когда он минирован?
– А это я у вас спрашиваю. Этого никто, и сам Бонапарте, не знает.
Болконский пожал плечами.
– Но ежели мост перейден, значит, и армия погибла: она будет отрезана, – сказал он.
– В этом то и штука, – отвечал Билибин. – Слушайте. Вступают французы в Вену, как я вам говорил. Всё очень хорошо. На другой день, то есть вчера, господа маршалы: Мюрат Ланн и Бельяр, садятся верхом и отправляются на мост. (Заметьте, все трое гасконцы.) Господа, – говорит один, – вы знаете, что Таборский мост минирован и контраминирован, и что перед ним грозный tete de pont и пятнадцать тысяч войска, которому велено взорвать мост и нас не пускать. Но нашему государю императору Наполеону будет приятно, ежели мы возьмем этот мост. Проедемте втроем и возьмем этот мост. – Поедемте, говорят другие; и они отправляются и берут мост, переходят его и теперь со всею армией по сю сторону Дуная направляются на нас, на вас и на ваши сообщения.
– Полноте шутить, – грустно и серьезно сказал князь Андрей.
Известие это было горестно и вместе с тем приятно князю Андрею.
Как только он узнал, что русская армия находится в таком безнадежном положении, ему пришло в голову, что ему то именно предназначено вывести русскую армию из этого положения, что вот он, тот Тулон, который выведет его из рядов неизвестных офицеров и откроет ему первый путь к славе! Слушая Билибина, он соображал уже, как, приехав к армии, он на военном совете подаст мнение, которое одно спасет армию, и как ему одному будет поручено исполнение этого плана.
– Полноте шутить, – сказал он.
– Не шучу, – продолжал Билибин, – ничего нет справедливее и печальнее. Господа эти приезжают на мост одни и поднимают белые платки; уверяют, что перемирие, и что они, маршалы, едут для переговоров с князем Ауэрспергом. Дежурный офицер пускает их в tete de pont. [мостовое укрепление.] Они рассказывают ему тысячу гасконских глупостей: говорят, что война кончена, что император Франц назначил свидание Бонапарту, что они желают видеть князя Ауэрсперга, и тысячу гасконад и проч. Офицер посылает за Ауэрспергом; господа эти обнимают офицеров, шутят, садятся на пушки, а между тем французский баталион незамеченный входит на мост, сбрасывает мешки с горючими веществами в воду и подходит к tete de pont. Наконец, является сам генерал лейтенант, наш милый князь Ауэрсперг фон Маутерн. «Милый неприятель! Цвет австрийского воинства, герой турецких войн! Вражда кончена, мы можем подать друг другу руку… император Наполеон сгорает желанием узнать князя Ауэрсперга». Одним словом, эти господа, не даром гасконцы, так забрасывают Ауэрсперга прекрасными словами, он так прельщен своею столь быстро установившеюся интимностью с французскими маршалами, так ослеплен видом мантии и страусовых перьев Мюрата, qu'il n'y voit que du feu, et oubl celui qu'il devait faire faire sur l'ennemi. [Что он видит только их огонь и забывает о своем, о том, который он обязан был открыть против неприятеля.] (Несмотря на живость своей речи, Билибин не забыл приостановиться после этого mot, чтобы дать время оценить его.) Французский баталион вбегает в tete de pont, заколачивают пушки, и мост взят. Нет, но что лучше всего, – продолжал он, успокоиваясь в своем волнении прелестью собственного рассказа, – это то, что сержант, приставленный к той пушке, по сигналу которой должно было зажигать мины и взрывать мост, сержант этот, увидав, что французские войска бегут на мост, хотел уже стрелять, но Ланн отвел его руку. Сержант, который, видно, был умнее своего генерала, подходит к Ауэрспергу и говорит: «Князь, вас обманывают, вот французы!» Мюрат видит, что дело проиграно, ежели дать говорить сержанту. Он с удивлением (настоящий гасконец) обращается к Ауэрспергу: «Я не узнаю столь хваленую в мире австрийскую дисциплину, – говорит он, – и вы позволяете так говорить с вами низшему чину!» C'est genial. Le prince d'Auersperg se pique d'honneur et fait mettre le sergent aux arrets. Non, mais avouez que c'est charmant toute cette histoire du pont de Thabor. Ce n'est ni betise, ni lachete… [Это гениально. Князь Ауэрсперг оскорбляется и приказывает арестовать сержанта. Нет, признайтесь, что это прелесть, вся эта история с мостом. Это не то что глупость, не то что подлость…]