Ковариантная производная

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля <math>T</math> в направлении касательного вектора <math>{\mathbf v}</math> обычно обозначается <math>\nabla_{\mathbf v}T</math>.

Мотивация

Понятие ковариантной производной позволяет определить дифференцирование тензорных полей по направлению касательного вектора какого-либо многообразия. Подобно производной по направлению, ковариантная производная <math>\nabla_{\bold u}{\bold v}</math> в качестве аргументов принимает: (1) вектор <math>\mathbf{u}</math>, определенный в некоей точке <math>P</math>, и (2) векторное поле <math>\mathbf{v}</math>, определенное в окрестности <math>P</math>. Результатом является вектор <math>\nabla_{\bold u}{\bold v}\left(P\right)</math>, так же определенный в <math>P</math>. Основное отличие от производной по направлению заключается в том, что <math>\nabla_{\bold u}{\bold v}</math> должна не зависеть от выбора системы координат.

Любой вектор может быть представлен как набор чисел, который зависит от выбора базиса. Вектор как геометрический объект не меняется при смене базиса, в то время как компоненты его координатного представления меняются согласно ковариантному преобразованию, зависящему от преобразования базиса. Ковариантная производная должна подчинятся этому же ковариантному преобразованию.

В случае евклидова пространства производная векторного поля зачастую определяется как предел разности двух векторов, определенных в двух близлежащих точках. В этом случае один из векторов можно переместить в начало другого вектора при помощи параллельного переноса, и затем произвести вычитание. Таким образом, простейшим примером ковариантной производной является покомпонентное дифференцирование в ортонормированной системе координат.

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при параллельном переносе. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают "вращение" самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению, и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

В качестве примера, рассмотрим кривую <math>\gamma\left(t\right)</math>, определенную на евклидовой плоскости. В полярных координатах кривая может быть выражена через полярные угол и радиус <math>\gamma\left(t\right) = \big(r\left(t\right),\,\theta\left(t\right)\big)</math>. В произвольной момент времени <math>t</math> радиус-вектор может быть представлен через пару <math>({\mathbf e}_r, {\mathbf e}_{\theta})</math>, где <math>{\mathbf e}_r</math> и <math>{\mathbf e}_{\theta}</math> – единичные вектора, касательные к полярной системе координат, которые образуют базис, служащий для разложения вектора на радиальную и касательную компоненты. При изменении параметра <math>t</math> возникает новый базис, который есть ни что иное как старый базис подвергнутый вращению. Данное преобразование выражается как ковариантная производная базисных векторов, так же известное как Символы Кристоффеля.

В криволинейном пространстве, каковым является, к примеру, поверхность Земли, не определен параллельный перенос, а соответствующая операция параллельного перенесения вектора из одной точки в другую зависит от выбора траектории. Действительно, представим вектор <math>{\mathbf e}</math>, определенный в точке <math>Q</math> (которая лежит на экваторе), и направленный к северному полюсу. Используя параллельное перенесение, сперва переместим вектор вдоль экватора не меняя его направления, затем поднимем <math>{\mathbf e}</math> вдоль какого-либо меридиана к северному полюсу, и опустим обратно к экватору вдоль другого меридиана. Очевидно, что такое перемещение вектора вдоль замкнутого пути на сфере изменит его ориентацию. Подобный феномен вызван кривизной поверхности глобуса, и не наблюдается в евклидовом пространстве. Он возникает на многообразиях при перемещении вектора вдоль любого (включая бесконечно малого) замкнутого контура, включающего в себя движение вдоль как минимум двух различных направлений. В таком случае, предел инфинитезимального приращения вектора является мерой кривизны многообразия.

Замечания

• Определение ковариантной производной не использует понятие метрики. При этом, для любого выбора метрики пространства существует единственная свободная от кручения ковариантная производная, называемая связностью Леви–Чивиты. Она определяется через условие: ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.
• Свойства производной подразумевают, что <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> зависит от произвольно малой окрестности точки <math>P</math> так же, как, к примеру, производная скалярной функции вдоль кривой в данной точке <math>P</math> зависит от бесконечно малой окрестности этой точки.
• Информация, содержащаяся в окрестности точки <math>P</math> может быть использована для определения параллельного перенесения вектора. Так же, понятия кривизны, кручения, и геодезических линий могут быть введены используя только концепцию ковариантной производной и её общения, такие как линейная связность.

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции <math>f</math> ковариантная производная <math>{\nabla}_{\mathbf{v}} f</math> совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля <math>\mathbf{v}</math>.

Векторные поля

Ковариантная производная <math>\nabla</math> векторного поля <math>{\mathbf u}</math> по направлению векторного поля <math>{\mathbf v} </math>, обозначаемая <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> определяется по следующим свойствам, для любого вектора <math>\mathbf{v}</math>, векторных полей <math>\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{w}</math> и скалярных функций <math>f</math> и <math>g</math>:

1. <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> линейно по отношению к <math>{\mathbf v}</math>, то есть <math>\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}</math>
2. <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> аддитивно относительно <math>{\mathbf u}</math>, то есть <math>\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}</math>
3. <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> подчиняется правилу произведения, то есть <math>\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f</math>, где <math>\nabla_{\mathbf v}f</math> определено выше.

Замечание

Заметим, что <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}</math> в точке <math>p</math> зависит только от значения <math>\mathbf{v}</math> в точке <math>p</math> и от значений <math>\mathbf{u}</math> в её окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).

Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) <math>\alpha</math>, его ковариантная производная <math>\nabla_{\mathbf v}\alpha</math> может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей <math>\mathbf{u}</math>

<math>\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).</math>

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля <math>\mathbf{v}</math> — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, её легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (<math>\varphi</math> и <math>{\psi}</math> — произвольные тензоры):

<math>\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),</math>

Если <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

<math>\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.</math>

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа <math>(p,q)</math> задано своими компонентами <math>{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}(\mathbf{x})</math> в некоторой локальной системе координат <math>x^k</math>, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа <math>(p,q+1)</math>, который определяется по формуле:

<math>\nabla_\ell{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1\ldots k\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1\ldots m\ldots j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}</math>

где <math>\Gamma^{k} {}_{ij}</math> — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля <math>V^m\ </math> имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

<math>\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\ </math>

Ковариантная производная скалярного поля <math>\varphi\ </math> совпадает с частной производной,

<math>\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\ </math>

а ковариантная производная ковекторного поля <math>\omega_m\ </math> -

<math>\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\ </math>

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

<math>\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\ </math>

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа <math>(2,0)</math> <math>A^{ik}\ </math> равна

<math>\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \ </math>

то есть

<math> A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \ </math>

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

<math> A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \ </math>

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа <math>(0,2)</math>,

<math> A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \ </math>

См. также

• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Символы Кристоффеля
• Оператор набла в различных системах координат

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.

Отрывок, характеризующий Ковариантная производная

– До первого дела – эполеты, – сказал он ему.
Долохов оглянулся, ничего не сказал и не изменил выражения своего насмешливо улыбающегося рта.
– Ну, вот и хорошо, – продолжал полковой командир. – Людям по чарке водки от меня, – прибавил он, чтобы солдаты слышали. – Благодарю всех! Слава Богу! – И он, обогнав роту, подъехал к другой.
– Что ж, он, право, хороший человек; с ним служить можно, – сказал Тимохин субалтерн офицеру, шедшему подле него.
– Одно слово, червонный!… (полкового командира прозвали червонным королем) – смеясь, сказал субалтерн офицер.
Счастливое расположение духа начальства после смотра перешло и к солдатам. Рота шла весело. Со всех сторон переговаривались солдатские голоса.
– Как же сказывали, Кутузов кривой, об одном глазу?
– А то нет! Вовсе кривой.
– Не… брат, глазастее тебя. Сапоги и подвертки – всё оглядел…
– Как он, братец ты мой, глянет на ноги мне… ну! думаю…
– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.
– А чорт их знает, говорят.
– Я рад, – отвечал Долохов коротко и ясно, как того требовала песня.
– Что ж, приходи к нам когда вечерком, фараон заложишь, – сказал Жерков.
– Или у вас денег много завелось?
– Приходи.
– Нельзя. Зарок дал. Не пью и не играю, пока не произведут.
– Да что ж, до первого дела…
– Там видно будет.
Опять они помолчали.
– Ты заходи, коли что нужно, все в штабе помогут… – сказал Жерков.
Долохов усмехнулся.
– Ты лучше не беспокойся. Мне что нужно, я просить не стану, сам возьму.
– Да что ж, я так…
– Ну, и я так.
– Прощай.
– Будь здоров…
… и высоко, и далеко,
На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.


Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]