Гомология (математика)

Гомоло́гии — одно из основных понятий алгебраической топологии.

Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо), который является топологическим инвариантом пространства.

Замкнутая линия на поверхности гомологична нулю, если она является границей некоторого её участка. Пример: на сфере любая замкнутая линия гомологична нулю, группа <math>H_1(S^2) = 0.</math> На торе существуют замкнутые линии, не гомологичные нулю, группа <math>H_1(S^1 \times S^1)</math> не тривиальна.

Симплициальные гомологии

Симплициальные гомологии определяются для полиэдров путём построения симплициального комплекса.

Сингулярные гомологии

Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

Пусть <math>X</math> — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности <math>k</math> — это пара <math>(\Delta^k , f)</math> где <math>\Delta^k</math> — это стандартный симплекс <math>\langle a_0,a_1,...~a_k\rangle</math>, а <math>f</math> — его непрерывное отображение в <math>X</math>; <math>f : \Delta^k\to X</math>.

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

<math>c_k=\sum_i z_i(\Delta^k,f_i)</math> с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами <math>z_i</math>.

При этом для линейного отображения <math>s_\pi:\Delta^k\to\Delta_k</math> определяемого перестановкой <math>\pi</math> точек <math>(a_0,a_1,...~a_k)</math> полагают <math>(\Delta^k,f)=(-1)^\pi(\Delta^k,f\circ s_\pi)</math>.

Граничный оператор <math>\partial</math> определяется на сингулярном симплексе <math>(\Delta_k,f)</math> так:

<math>\partial(\Delta_k,f)=\sum_i (-1)^i(\Delta_{k-1},f_i),</math>

где <math>\Delta_{k-1}</math> стандартный <math>(k-1)</math>-мерный симплекс, а <math>f_i=f\circ\epsilon_i</math>, где <math>\epsilon_i</math> — это его отображение на <math>i</math>-ю грань стандартного симплекса <math>\Delta^k (\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle)</math>.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что <math>\partial\partial=0</math>.

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей <math>c_k</math>, что <math>\partial{c_k}=0</math>, и границ — цепей <math>c_k=\partial{c_{k+1}}</math> для некоторого <math>c_{k+1}</math>.

Факторгруппа группы циклов по группе границ <math>H_k=Z_k/B_k</math> называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки <math>X=*</math>.

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение <math>f^k:\Delta^k\to *</math>.

Граница симплекса <math>\partial_k(\Delta^k,f^k)=\sum(-1)^i(\Delta^{k-1},f^{k-1}_i)</math>, где все <math>f^{k-1}_i</math> равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим <math>f^{k-1}</math>).

Значит:

<math>\partial(\Delta^k,f^k)=0</math>, если <math>k</math> нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

<math>\partial(\Delta^k,f^k)=(\Delta^{k-1},f^{k-1})</math>, если <math>k\not=0</math> и четно;

<math>\partial(\Delta^k,f^k)=0</math>, если <math>k=0</math>.

Отсюда получаем для нулевой размерности: <math>Z_0=C_0=\mathbb{Z};\quad B_0=0;\quad H_0=\mathbb{Z}</math>.

Для нечётной размерности <math>k=2n-1: Z_k=C_k=\mathbb{Z};\quad B_k=\mathbb{Z};\quad H_k=0</math>.

Для чётной размерности <math>k=2n\not=0: Z_k=0;\quad B_k=0;\quad H_k=0</math>.

То есть группа гомологий равна <math>\mathbb{Z}</math> для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы <math>G</math>. То есть, вместо групп <math>C_k(X)</math> рассматривать группы <math>C_k(X) \otimes G </math>.

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства <math>X</math> с коэффициентами в группе <math>G</math> обозначаются <math>H_k(X;G)</math>. Обычно применяют группу действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, или циклическую группу вычетов по модулю <math>m</math> — <math>\mathbb{Z}_m</math>, причём обычно берётся <math>m=p</math> — простое число, тогда <math>\mathbb{Z}_p</math> является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу <math>C_{*}(X)</math>

<math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\xleftarrow{}C_{n}(X)\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\xleftarrow{}\ldots </math>

функтор <math>\cdot \otimes G </math>, мы получим комплекс

<math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\otimes G\xleftarrow{}\ldots </math>,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в <math>G</math>.

Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу <math>G</math>. То есть, пространство коцепей <math>C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G)</math>.

Граничный оператор <math>\delta^k:C^k\to C^{k+1}</math> определяется по формуле: <math>(\delta^k x)(c)=x(d_{k+1}c)</math> (где <math>x\in C^k,\; c\in C_{k+1}</math>). Для такого граничного оператора также выполняется

<math>\delta^{k+1}\delta^k=0</math>, а именно

<math>(\delta^{k+1}\delta^k(x))(c)=\delta^k x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0</math>.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов <math>Z^k(X,G)=Ker \delta^k</math>, кограниц <math>B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1}</math> и когомологий <math>H^k(X,G)=Z^k(X,G)/B^k(X,G)</math>.

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если <math>G</math> — кольцо, то в группе когомологий <math>H^*(X,G)</math> определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или <math>\cup</math>-npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда <math>X</math> — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий <math>H^*(X,\mathbb{R})</math> может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на <math>X</math> (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств <math>Y\sub X</math>. Группа цепей <math>C_k(Y)\sub C_k(X)</math> (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе <math>G</math>). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы <math>C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y)</math>. Так как граничный оператор <math>d</math> на группе гомологий подпространства <math>Y</math> переводит <math>d_k\colon C_k(Y)\to C_{k-1}(Y)</math>, то можно определить на факторгруппе <math>C_k(X,Y)</math> граничный оператор (мы его обозначим так же) <math>d_k\colon C_k(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)</math>.

Те относительные цепи, которые он переводит в <math>0</math> будут называться относительными циклами <math>Z_k(X,Y)</math>, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами <math>B_k(X,Y)</math>. Так как <math>dd=0</math> на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда <math>B_k(X,Y)\sub Z_k(X,Y)</math>. Факторгруппа <math>H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y)</math> называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в <math>H_k(X)</math> является также и относительным то имеем гомоморфизм <math>j_k:H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> По функториальному свойству вложение <math>i_k:Y\to X</math> приводит к гомоморфизму <math>i_*:H_k(Y)\to H_k(X)</math>.

В свою очередь можно построить гомоморфизм <math>d_{* k}:H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>, который мы определим следующим образом. Пусть <math>c_k\in C_k(X,Y)</math> — относительная цепь, которая определяет цикл из <math>H_k(X,Y)</math>. Рассмотрим её как абсолютную цепь в <math>C_k(X)</math> (с точностью до элементов <math>C_k(Y)</math>). Так как это относительный цикл, то <math>d_k c</math> будет равен нулю с точностью до некоторой цепи <math>c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)</math>. Положим <math>d_{* k}</math> равным классу гомологий цепи <math>c_{k-1}=d_k c \in Z_{k-1}(Y)</math>.

Если мы возьмём другую абсолютную цепь <math>c'_k\in C_k(X)</math>, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь <math>c=c'+u</math>, где <math>u\in C_k(Y)</math>. Имеем <math>d_k c=d_k c'+d_k u</math>, но так как <math>d_k u</math> является границей в <math>Z_{k-1}(Y)</math> то <math>d_k c</math> и <math>d_k c'</math> определяют один и тот же элемент в группе гомологий <math>H_{k-1}(Y)</math>. Если взять другой относительный цикл <math>c</math>, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий <math>c=c+b</math>, где <math>b</math> — относительная граница, то в силу того, что <math>b</math> граница для относительных гомологий <math>b=d_{k+1}x+v</math>, где <math>v\in C_k(Y)</math> , отсюда <math>d_k c=d_k c+d_k d_{k+1}x+d_k v</math>, но <math>dd=0</math>, а <math>d_k v</math> — граница в <math>Z_{k-1}(Y)</math>.

Поэтому класс гомологий <math>d_{* k}c_k</math> определен однозначно. Ясно по линейности оператора <math>d_{* k}</math>, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

<math>i_{* k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math>;

<math>j_{* k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> и

<math>d_{* k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>;

<math>...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to...</math>

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар <math>D</math> топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если <math>(X,Y)\in D,</math> то <math>(X,X)\in D,</math> <math>(X,\varnothing)\in D,</math> <math>(Y,Y)\in D</math> и <math>(Y,\varnothing)\in D.</math>
2. Если <math>(X,Y)\in D,</math>, то и <math>(X\times I,Y\times I)\in D,</math> где <math>I</math> — замкнутый интервал [0,1].
3. <math>(*,\varnothing)\in D,</math> где <math>*</math> — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа <math>H_k(X,Y)</math> и непрерывному отображению пар <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует гомоморфизм <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> (Пространство <math>X</math> отождествляется с парой <math>(X,\varnothing)</math>), а <math>H_k(X)</math> с <math>H_k(X,\varnothing)</math>), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары <math>id</math> соответствует тождественный гомоморфизм <math>id_{*k}.</math>
2. <math>(gf)_{*k} = g_{*k}f_{*k}</math> (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y),</math> причём если <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y'),</math> то для соответствующего гомоморфизма <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> верно <math>d_{*k}f_{*k} = f_{*k-1}d_{*k}</math> для любой размерности k.
4. Пусть <math>i\colon Y\to X</math> и <math>j\colon X\to (X,Y)</math> — вложения, <math>i_{*k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math> и <math>j_{*k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> — соответствующие гомоморфизмы, <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math> — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   <math>\ldots \to H_k(Y) \to H_k(X) \to H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) \to \ldots</math>
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения <math>f,g\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны <math>f_{*k}=g_{*k}</math> для любой размерности <math>k</math> (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть <math>U\sub X</math> — открытое подмножество <math>X</math>, причём его замыкание содержится во внутренности множества <math>Y,</math> тогда если пары <math>(X\setminus U, Y\setminus U)</math> и <math>(X,Y)</math> принадлежат допустимому классу, то для любой размерности <math>k</math> вложению <math>(X\setminus U, Y\setminus U) \hookrightarrow (X,Y)</math> соответствует изоморфизм <math>H_k(X\setminus U, Y\setminus U) \simeq H_k(X,Y)</math> (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства <math>H_k(*)=0</math> для всех размерностей <math>k > 0</math>. Абелева группа <math>G=H_0(*)</math> называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе <math>G</math> их отображения и граничный гомоморфизм <math>d_*</math> удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует <math>f^{*k}\colon H^k(X',Y') \to H^k(X,Y)</math> (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм <math>\delta^{*k}\colon H^{k-1}(Y) \to H^k(X,Y)</math> увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей k>0, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. также

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

Отрывок, характеризующий Гомология (математика)

– Вот это славно, – сказал он.
– Настоящэ й гусар, молодой человэк, – крикнул полковник, ударив опять по столу.
– О чем вы там шумите? – вдруг послышался через стол басистый голос Марьи Дмитриевны. – Что ты по столу стучишь? – обратилась она к гусару, – на кого ты горячишься? верно, думаешь, что тут французы перед тобой?
– Я правду говору, – улыбаясь сказал гусар.
– Всё о войне, – через стол прокричал граф. – Ведь у меня сын идет, Марья Дмитриевна, сын идет.
– А у меня четыре сына в армии, а я не тужу. На всё воля Божья: и на печи лежа умрешь, и в сражении Бог помилует, – прозвучал без всякого усилия, с того конца стола густой голос Марьи Дмитриевны.
– Это так.
И разговор опять сосредоточился – дамский на своем конце стола, мужской на своем.
– А вот не спросишь, – говорил маленький брат Наташе, – а вот не спросишь!
– Спрошу, – отвечала Наташа.
Лицо ее вдруг разгорелось, выражая отчаянную и веселую решимость. Она привстала, приглашая взглядом Пьера, сидевшего против нее, прислушаться, и обратилась к матери:
– Мама! – прозвучал по всему столу ее детски грудной голос.
– Что тебе? – спросила графиня испуганно, но, по лицу дочери увидев, что это была шалость, строго замахала ей рукой, делая угрожающий и отрицательный жест головой.
Разговор притих.
– Мама! какое пирожное будет? – еще решительнее, не срываясь, прозвучал голосок Наташи.
Графиня хотела хмуриться, но не могла. Марья Дмитриевна погрозила толстым пальцем.
– Казак, – проговорила она с угрозой.
Большинство гостей смотрели на старших, не зная, как следует принять эту выходку.
– Вот я тебя! – сказала графиня.
– Мама! что пирожное будет? – закричала Наташа уже смело и капризно весело, вперед уверенная, что выходка ее будет принята хорошо.
Соня и толстый Петя прятались от смеха.
– Вот и спросила, – прошептала Наташа маленькому брату и Пьеру, на которого она опять взглянула.
– Мороженое, только тебе не дадут, – сказала Марья Дмитриевна.
Наташа видела, что бояться нечего, и потому не побоялась и Марьи Дмитриевны.
– Марья Дмитриевна? какое мороженое! Я сливочное не люблю.
– Морковное.
– Нет, какое? Марья Дмитриевна, какое? – почти кричала она. – Я хочу знать!
Марья Дмитриевна и графиня засмеялись, и за ними все гости. Все смеялись не ответу Марьи Дмитриевны, но непостижимой смелости и ловкости этой девочки, умевшей и смевшей так обращаться с Марьей Дмитриевной.
Наташа отстала только тогда, когда ей сказали, что будет ананасное. Перед мороженым подали шампанское. Опять заиграла музыка, граф поцеловался с графинюшкою, и гости, вставая, поздравляли графиню, через стол чокались с графом, детьми и друг с другом. Опять забегали официанты, загремели стулья, и в том же порядке, но с более красными лицами, гости вернулись в гостиную и кабинет графа.


Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке.
Граф, распустив карты веером, с трудом удерживался от привычки послеобеденного сна и всему смеялся. Молодежь, подстрекаемая графиней, собралась около клавикорд и арфы. Жюли первая, по просьбе всех, сыграла на арфе пьеску с вариациями и вместе с другими девицами стала просить Наташу и Николая, известных своею музыкальностью, спеть что нибудь. Наташа, к которой обратились как к большой, была, видимо, этим очень горда, но вместе с тем и робела.
– Что будем петь? – спросила она.
– «Ключ», – отвечал Николай.
– Ну, давайте скорее. Борис, идите сюда, – сказала Наташа. – А где же Соня?
Она оглянулась и, увидав, что ее друга нет в комнате, побежала за ней.
Вбежав в Сонину комнату и не найдя там свою подругу, Наташа пробежала в детскую – и там не было Сони. Наташа поняла, что Соня была в коридоре на сундуке. Сундук в коридоре был место печалей женского молодого поколения дома Ростовых. Действительно, Соня в своем воздушном розовом платьице, приминая его, лежала ничком на грязной полосатой няниной перине, на сундуке и, закрыв лицо пальчиками, навзрыд плакала, подрагивая своими оголенными плечиками. Лицо Наташи, оживленное, целый день именинное, вдруг изменилось: глаза ее остановились, потом содрогнулась ее широкая шея, углы губ опустились.
– Соня! что ты?… Что, что с тобой? У у у!…
И Наташа, распустив свой большой рот и сделавшись совершенно дурною, заревела, как ребенок, не зная причины и только оттого, что Соня плакала. Соня хотела поднять голову, хотела отвечать, но не могла и еще больше спряталась. Наташа плакала, присев на синей перине и обнимая друга. Собравшись с силами, Соня приподнялась, начала утирать слезы и рассказывать.
– Николенька едет через неделю, его… бумага… вышла… он сам мне сказал… Да я бы всё не плакала… (она показала бумажку, которую держала в руке: то были стихи, написанные Николаем) я бы всё не плакала, но ты не можешь… никто не может понять… какая у него душа.
И она опять принялась плакать о том, что душа его была так хороша.
– Тебе хорошо… я не завидую… я тебя люблю, и Бориса тоже, – говорила она, собравшись немного с силами, – он милый… для вас нет препятствий. А Николай мне cousin… надобно… сам митрополит… и то нельзя. И потом, ежели маменьке… (Соня графиню и считала и называла матерью), она скажет, что я порчу карьеру Николая, у меня нет сердца, что я неблагодарная, а право… вот ей Богу… (она перекрестилась) я так люблю и ее, и всех вас, только Вера одна… За что? Что я ей сделала? Я так благодарна вам, что рада бы всем пожертвовать, да мне нечем…
Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга.
– Соня! – сказала она вдруг, как будто догадавшись о настоящей причине огорчения кузины. – Верно, Вера с тобой говорила после обеда? Да?
– Да, эти стихи сам Николай написал, а я списала еще другие; она и нашла их у меня на столе и сказала, что и покажет их маменьке, и еще говорила, что я неблагодарная, что маменька никогда не позволит ему жениться на мне, а он женится на Жюли. Ты видишь, как он с ней целый день… Наташа! За что?…
И опять она заплакала горьче прежнего. Наташа приподняла ее, обняла и, улыбаясь сквозь слезы, стала ее успокоивать.
– Соня, ты не верь ей, душенька, не верь. Помнишь, как мы все втроем говорили с Николенькой в диванной; помнишь, после ужина? Ведь мы всё решили, как будет. Я уже не помню как, но, помнишь, как было всё хорошо и всё можно. Вот дяденьки Шиншина брат женат же на двоюродной сестре, а мы ведь троюродные. И Борис говорил, что это очень можно. Ты знаешь, я ему всё сказала. А он такой умный и такой хороший, – говорила Наташа… – Ты, Соня, не плачь, голубчик милый, душенька, Соня. – И она целовала ее, смеясь. – Вера злая, Бог с ней! А всё будет хорошо, и маменьке она не скажет; Николенька сам скажет, и он и не думал об Жюли.
И она целовала ее в голову. Соня приподнялась, и котеночек оживился, глазки заблистали, и он готов был, казалось, вот вот взмахнуть хвостом, вспрыгнуть на мягкие лапки и опять заиграть с клубком, как ему и было прилично.
– Ты думаешь? Право? Ей Богу? – сказала она, быстро оправляя платье и прическу.
– Право, ей Богу! – отвечала Наташа, оправляя своему другу под косой выбившуюся прядь жестких волос.
И они обе засмеялись.
– Ну, пойдем петь «Ключ».
– Пойдем.
– А знаешь, этот толстый Пьер, что против меня сидел, такой смешной! – сказала вдруг Наташа, останавливаясь. – Мне очень весело!
И Наташа побежала по коридору.
Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню.
В приятну ночь, при лунном свете,
Представить счастливо себе,
Что некто есть еще на свете,
Кто думает и о тебе!
Что и она, рукой прекрасной,
По арфе золотой бродя,
Своей гармониею страстной
Зовет к себе, зовет тебя!
Еще день, два, и рай настанет…
Но ах! твой друг не доживет!
И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты.

Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала:
– Мама велела вас просить танцовать.
– Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем…
И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке.
Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим , с приехавшим из за границы . Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером.
– Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу.
Наташа покраснела и засмеялась.
– Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного?

В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке:
– Семен! Данилу Купора знаешь?
Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза .)
– Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале.
Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина.
– Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери.
Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками.