Колебание функции

Колебание функции на множестве <math>E</math> — верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек <math>x_1</math>, <math>x_2</math> <math>\in</math> <math>E</math>.

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина <math>\omega(f,E)=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)|</math> называется колебанием функции <math>f</math> на множестве <math>E</math>.

Если теперь фиксировать <math>\delta>0</math>, то можно определить колебание функции <math>f</math> на множестве <math>U_{E}^{\delta}(a)</math>; функция <math>\omega(f,a,\delta)=\omega\left(f,U_{E}^{\delta}(a)\right)</math> является невозрастающей функцией при <math>\delta\to+0</math> и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при <math>\delta\to+0</math>,
• либо для любого <math>\delta>0</math> будет <math>\omega(f,a)=+\infty</math>.

Величина <math>\omega(f,a)\colon =\lim_{\delta\to0+}\omega(f,U_{E}^{\delta}(a))</math> называется колебанием функции функции <math>f</math> в точке <math>a</math>.

Свойства

• Функция <math>f\colon E\to\mathbb{R}</math> непрерывна в точке <math>a\in E</math>, предельной для множества <math>E</math> тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

<math>f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \omega(f,a)=0</math>.

• Функция <math>f\colon E\to\mathbb{R}</math> непрерывна на множестве <math>E</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует элемент базы <math>\mathbb{B}</math>, колебание на котором будет меньше чем заданное <math>\varepsilon</math>:

<math>f\in C(E) \Leftrightarrow \exists B\in\mathbb{B}\colon\omega(f,B)<\varepsilon</math>.

См. также

• Модуль непрерывности

Отрывок, характеризующий Колебание функции

Лицо Николушки, похожее на отца, в минуту душевного размягчения, в котором Пьер теперь находился, так на него подействовало, что он, поцеловав Николушку, поспешно встал и, достав платок, отошел к окну. Он хотел проститься с княжной Марьей, но она удержала его.
– Нет, мы с Наташей не спим иногда до третьего часа; пожалуйста, посидите. Я велю дать ужинать. Подите вниз; мы сейчас придем.
Прежде чем Пьер вышел, княжна сказала ему:
– Это в первый раз она так говорила о нем.


Пьера провели в освещенную большую столовую; через несколько минут послышались шаги, и княжна с Наташей вошли в комнату. Наташа была спокойна, хотя строгое, без улыбки, выражение теперь опять установилось на ее лице. Княжна Марья, Наташа и Пьер одинаково испытывали то чувство неловкости, которое следует обыкновенно за оконченным серьезным и задушевным разговором. Продолжать прежний разговор невозможно; говорить о пустяках – совестно, а молчать неприятно, потому что хочется говорить, а этим молчанием как будто притворяешься. Они молча подошли к столу. Официанты отодвинули и пододвинули стулья. Пьер развернул холодную салфетку и, решившись прервать молчание, взглянул на Наташу и княжну Марью. Обе, очевидно, в то же время решились на то же: у обеих в глазах светилось довольство жизнью и признание того, что, кроме горя, есть и радости.
– Вы пьете водку, граф? – сказала княжна Марья, и эти слова вдруг разогнали тени прошедшего.