Коллинеарность
Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.
Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Обозначения
- Коллинеарные векторы: <math>\vec{a}\parallel\vec{b}</math>
- Сонаправленные векторы: <math>\vec{a}\upuparrows\vec{b}</math>
- Противоположно направленные векторы: <math>\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}</math>
Свойства коллинеарности
Пусть <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> — векторы пространства <math>\mathbb{R}^n</math>. Тогда верны следующие утверждения:
- Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:
- рефлексивно: <math>\vec{a}||\vec{a}</math>
- симметрично: <math>\vec{a}||\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}||\vec{a}</math>
- транзитивно: <math>\left(\vec{a}||\vec{b}\right)\land\left(\vec{b}||\vec{c}\right)\Rightarrow \left(\vec{a}||\vec{c}\right)</math>
- Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: <math>\vec{a}||\vec{0}</math>
- Скалярное произведение коллинеарных векторов <math>\vec{a}\cdot\vec{b} = \pm a b</math> равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
- Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
- Коллинеарные векторы линейно зависимы.
- Существует действительное число <math>\;\lambda</math> такое, что <math>\vec{a} = \lambda\vec{b}</math> для коллинеарных <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>, за исключением особого случая <math>\vec{b}=\vec{0}</math>. Это определения и также критерий коллинеарности.
- На плоскости 2 неколлинеарных вектора <math>\vec{a},\vec{b}</math> образуют базис. Это значит, что любой вектор <math>\vec{c}</math> можно представить в виде: <math>\vec{c}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}</math>. Тогда <math>\;\{x_1, x_2\}</math> будут координатами <math>\vec{c}</math> в данном базисе.
Обобщения
Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.
Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.
См. также
Напишите отзыв о статье "Коллинеарность"
Ссылки
- На Викискладе есть медиафайлы по теме Коллинеарность
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
|
Отрывок, характеризующий Коллинеарность
– А, подозрил, кажется, – сказал небрежно Илагин. – Что же, потравим, граф!– Да, подъехать надо… да – что ж, вместе? – отвечал Николай, вглядываясь в Ерзу и в красного Ругая дядюшки, в двух своих соперников, с которыми еще ни разу ему не удалось поровнять своих собак. «Ну что как с ушей оборвут мою Милку!» думал он, рядом с дядюшкой и Илагиным подвигаясь к зайцу.
– Матёрый? – спрашивал Илагин, подвигаясь к подозрившему охотнику, и не без волнения оглядываясь и подсвистывая Ерзу…
– А вы, Михаил Никанорыч? – обратился он к дядюшке.
Дядюшка ехал насупившись.
– Что мне соваться, ведь ваши – чистое дело марш! – по деревне за собаку плачены, ваши тысячные. Вы померяйте своих, а я посмотрю!
– Ругай! На, на, – крикнул он. – Ругаюшка! – прибавил он, невольно этим уменьшительным выражая свою нежность и надежду, возлагаемую на этого красного кобеля. Наташа видела и чувствовала скрываемое этими двумя стариками и ее братом волнение и сама волновалась.
Охотник на полугорке стоял с поднятым арапником, господа шагом подъезжали к нему; гончие, шедшие на самом горизонте, заворачивали прочь от зайца; охотники, не господа, тоже отъезжали. Всё двигалось медленно и степенно.
– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.