Коммутативная операция

Коммутативная операция — бинарная операция «<math>\circ</math>», обладающая свойством коммутативности (позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть свойством переместительности:

<math>x\circ y=y\circ x</math> для любых элементов <math>x,\;y</math>.

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

История

Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа.

Примеры

• Сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

<math>a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in\R.</math>

• Конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

<math>a \land b \equiv b \land a; \quad a \lor b \equiv b \lor a.</math>

• объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

<math>A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.</math>

• Возведение в степень действительных чисел некоммутативно (<math>a^b \ne b^a</math>):

<math>2^4 = 4^2 = 16</math>, но <math>2^5 = 32 \ne 5^2 = 25</math>.

• Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

<math>\tbinom{5\ 4}{8\ 0} \tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72} </math>, но <math>\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} = \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24} </math>

См. также

• Антикоммутативность
• Ассоциативная операция
• Дистрибутивность
• Аддитивность
• Идемпотентность

Ссылки

• Коммутативность — статья из Большой советской энциклопедии.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Commutativity "Commutativity"] // Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4  (англ.)

Отрывок, характеризующий Коммутативная операция

– Не нужно ли чего?
– Нет, merci, mon pere. [благодарю, батюшка.]
– Ну, хорошо, хорошо.
Он вышел и дошел до официантской. Алпатыч, нагнув голову, стоял в официантской.
– Закидана дорога?
– Закидана, ваше сиятельство; простите, ради Бога, по одной глупости.
Князь перебил его и засмеялся своим неестественным смехом.
– Ну, хорошо, хорошо.
Он протянул руку, которую поцеловал Алпатыч, и прошел в кабинет.
Вечером приехал князь Василий. Его встретили на прешпекте (так назывался проспект) кучера и официанты, с криком провезли его возки и сани к флигелю по нарочно засыпанной снегом дороге.
Князю Василью и Анатолю были отведены отдельные комнаты.
Анатоль сидел, сняв камзол и подпершись руками в бока, перед столом, на угол которого он, улыбаясь, пристально и рассеянно устремил свои прекрасные большие глаза. На всю жизнь свою он смотрел как на непрерывное увеселение, которое кто то такой почему то обязался устроить для него. Так же и теперь он смотрел на свою поездку к злому старику и к богатой уродливой наследнице. Всё это могло выйти, по его предположению, очень хорошо и забавно. А отчего же не жениться, коли она очень богата? Это никогда не мешает, думал Анатоль.
Он выбрился, надушился с тщательностью и щегольством, сделавшимися его привычкою, и с прирожденным ему добродушно победительным выражением, высоко неся красивую голову, вошел в комнату к отцу. Около князя Василья хлопотали его два камердинера, одевая его; он сам оживленно оглядывался вокруг себя и весело кивнул входившему сыну, как будто он говорил: «Так, таким мне тебя и надо!»
– Нет, без шуток, батюшка, она очень уродлива? А? – спросил он, как бы продолжая разговор, не раз веденный во время путешествия.
– Полно. Глупости! Главное дело – старайся быть почтителен и благоразумен с старым князем.