Компактное пространство

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.





История

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие.[1] Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Примеры компактных множеств

  • Замкнутые ограниченные множества в <math>\mathbb{R}^n</math>.
  • Конечные подмножества топологических пространств.
  • Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство <math>C(X)</math> вещественных функций на метрическом компактном пространстве <math>X</math> с нормой <math>\|f\|=\sup_x |f(x)|</math>. Тогда замыкание множества функций <math>F</math> в <math>C(X)</math> компактно тогда и только тогда, когда <math>F</math> равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • Пространство Стоуна булевых алгебр.
  • Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно.
  • Множество называется предкомпактным, если его пополнение компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Псевдокомпактное пространствотихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограниченна.
  • Счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
  • Слабо счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
  • H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве.[2][3]

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[4]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

  • Свойства, равносильные компактности:
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[5].
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • Топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в <math>X</math> .
  • Другие общие свойства:
  • Свойства компактных метрических пространств:
    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
    • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
    • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[7].
    • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия <math>\{V_\alpha\},\ \alpha\in A</math> существует положительное число <math>r</math> такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше <math>r</math>, содержится в одном из множеств <math>V_\alpha</math>. Такое число <math>r</math> называется числом Лебега.

Напишите отзыв о статье "Компактное пространство"

Примечания

  1. Бикомпактное пространство, математическая энциклопедия
  2. 1 2 3 Келли, с. 209
  3. 1 2 3 [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1735/H H-замкнутое пространство] - статья из математической энциклопедии. В.И.Пономарёв.
  4. Энгелькинг, с.208
  5. См. также Лемма о вложенных отрезках
  6. Энгелькинг, с.210
  7. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

См. также

Литература

  • О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. [www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf Задачный учебник по топологии]
  • Протасов В. Ю. [www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf Максимумы и минимумы в геометрии]. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
  • Л. Шварц, Анализ, т. I, М., Мир, 1972.
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Архангельский А.В. [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/476 Бикомпактное пространство] // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
  • Войцеховский М. И. [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2313 Компактное пространство] // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.


Отрывок, характеризующий Компактное пространство

После столкновения при Вязьме, где Кутузов не мог удержать свои войска от желания опрокинуть, отрезать и т. д., дальнейшее движение бежавших французов и за ними бежавших русских, до Красного, происходило без сражений. Бегство было так быстро, что бежавшая за французами русская армия не могла поспевать за ними, что лошади в кавалерии и артиллерии становились и что сведения о движении французов были всегда неверны.
Люди русского войска были так измучены этим непрерывным движением по сорок верст в сутки, что не могли двигаться быстрее.
Чтобы понять степень истощения русской армии, надо только ясно понять значение того факта, что, потеряв ранеными и убитыми во все время движения от Тарутина не более пяти тысяч человек, не потеряв сотни людей пленными, армия русская, вышедшая из Тарутина в числе ста тысяч, пришла к Красному в числе пятидесяти тысяч.
Быстрое движение русских за французами действовало на русскую армию точно так же разрушительно, как и бегство французов. Разница была только в том, что русская армия двигалась произвольно, без угрозы погибели, которая висела над французской армией, и в том, что отсталые больные у французов оставались в руках врага, отсталые русские оставались у себя дома. Главная причина уменьшения армии Наполеона была быстрота движения, и несомненным доказательством тому служит соответственное уменьшение русских войск.
Вся деятельность Кутузова, как это было под Тарутиным и под Вязьмой, была направлена только к тому, чтобы, – насколько то было в его власти, – не останавливать этого гибельного для французов движения (как хотели в Петербурге и в армии русские генералы), а содействовать ему и облегчить движение своих войск.
Но, кроме того, со времени выказавшихся в войсках утомления и огромной убыли, происходивших от быстроты движения, еще другая причина представлялась Кутузову для замедления движения войск и для выжидания. Цель русских войск была – следование за французами. Путь французов был неизвестен, и потому, чем ближе следовали наши войска по пятам французов, тем больше они проходили расстояния. Только следуя в некотором расстоянии, можно было по кратчайшему пути перерезывать зигзаги, которые делали французы. Все искусные маневры, которые предлагали генералы, выражались в передвижениях войск, в увеличении переходов, а единственно разумная цель состояла в том, чтобы уменьшить эти переходы. И к этой цели во всю кампанию, от Москвы до Вильны, была направлена деятельность Кутузова – не случайно, не временно, но так последовательно, что он ни разу не изменил ей.
Кутузов знал не умом или наукой, а всем русским существом своим знал и чувствовал то, что чувствовал каждый русский солдат, что французы побеждены, что враги бегут и надо выпроводить их; но вместе с тем он чувствовал, заодно с солдатами, всю тяжесть этого, неслыханного по быстроте и времени года, похода.
Но генералам, в особенности не русским, желавшим отличиться, удивить кого то, забрать в плен для чего то какого нибудь герцога или короля, – генералам этим казалось теперь, когда всякое сражение было и гадко и бессмысленно, им казалось, что теперь то самое время давать сражения и побеждать кого то. Кутузов только пожимал плечами, когда ему один за другим представляли проекты маневров с теми дурно обутыми, без полушубков, полуголодными солдатами, которые в один месяц, без сражений, растаяли до половины и с которыми, при наилучших условиях продолжающегося бегства, надо было пройти до границы пространство больше того, которое было пройдено.
В особенности это стремление отличиться и маневрировать, опрокидывать и отрезывать проявлялось тогда, когда русские войска наталкивались на войска французов.
Так это случилось под Красным, где думали найти одну из трех колонн французов и наткнулись на самого Наполеона с шестнадцатью тысячами. Несмотря на все средства, употребленные Кутузовым, для того чтобы избавиться от этого пагубного столкновения и чтобы сберечь свои войска, три дня у Красного продолжалось добивание разбитых сборищ французов измученными людьми русской армии.
Толь написал диспозицию: die erste Colonne marschiert [первая колонна направится туда то] и т. д. И, как всегда, сделалось все не по диспозиции. Принц Евгений Виртембергский расстреливал с горы мимо бегущие толпы французов и требовал подкрепления, которое не приходило. Французы, по ночам обегая русских, рассыпались, прятались в леса и пробирались, кто как мог, дальше.
Милорадович, который говорил, что он знать ничего не хочет о хозяйственных делах отряда, которого никогда нельзя было найти, когда его было нужно, «chevalier sans peur et sans reproche» [«рыцарь без страха и упрека»], как он сам называл себя, и охотник до разговоров с французами, посылал парламентеров, требуя сдачи, и терял время и делал не то, что ему приказывали.
– Дарю вам, ребята, эту колонну, – говорил он, подъезжая к войскам и указывая кавалеристам на французов. И кавалеристы на худых, ободранных, еле двигающихся лошадях, подгоняя их шпорами и саблями, рысцой, после сильных напряжений, подъезжали к подаренной колонне, то есть к толпе обмороженных, закоченевших и голодных французов; и подаренная колонна кидала оружие и сдавалась, чего ей уже давно хотелось.
Под Красным взяли двадцать шесть тысяч пленных, сотни пушек, какую то палку, которую называли маршальским жезлом, и спорили о том, кто там отличился, и были этим довольны, но очень сожалели о том, что не взяли Наполеона или хоть какого нибудь героя, маршала, и упрекали в этом друг друга и в особенности Кутузова.
Люди эти, увлекаемые своими страстями, были слепыми исполнителями только самого печального закона необходимости; но они считали себя героями и воображали, что то, что они делали, было самое достойное и благородное дело. Они обвиняли Кутузова и говорили, что он с самого начала кампании мешал им победить Наполеона, что он думает только об удовлетворении своих страстей и не хотел выходить из Полотняных Заводов, потому что ему там было покойно; что он под Красным остановил движенье только потому, что, узнав о присутствии Наполеона, он совершенно потерялся; что можно предполагать, что он находится в заговоре с Наполеоном, что он подкуплен им, [Записки Вильсона. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ] и т. д., и т. д.
Мало того, что современники, увлекаемые страстями, говорили так, – потомство и история признали Наполеона grand, a Кутузова: иностранцы – хитрым, развратным, слабым придворным стариком; русские – чем то неопределенным – какой то куклой, полезной только по своему русскому имени…


В 12 м и 13 м годах Кутузова прямо обвиняли за ошибки. Государь был недоволен им. И в истории, написанной недавно по высочайшему повелению, сказано, что Кутузов был хитрый придворный лжец, боявшийся имени Наполеона и своими ошибками под Красным и под Березиной лишивший русские войска славы – полной победы над французами. [История 1812 года Богдановича: характеристика Кутузова и рассуждение о неудовлетворительности результатов Красненских сражений. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ]
Такова судьба не великих людей, не grand homme, которых не признает русский ум, а судьба тех редких, всегда одиноких людей, которые, постигая волю провидения, подчиняют ей свою личную волю. Ненависть и презрение толпы наказывают этих людей за прозрение высших законов.
Для русских историков – странно и страшно сказать – Наполеон – это ничтожнейшее орудие истории – никогда и нигде, даже в изгнании, не выказавший человеческого достоинства, – Наполеон есть предмет восхищения и восторга; он grand. Кутузов же, тот человек, который от начала и до конца своей деятельности в 1812 году, от Бородина и до Вильны, ни разу ни одним действием, ни словом не изменяя себе, являет необычайный s истории пример самоотвержения и сознания в настоящем будущего значения события, – Кутузов представляется им чем то неопределенным и жалким, и, говоря о Кутузове и 12 м годе, им всегда как будто немножко стыдно.
А между тем трудно себе представить историческое лицо, деятельность которого так неизменно постоянно была бы направлена к одной и той же цели. Трудно вообразить себе цель, более достойную и более совпадающую с волею всего народа. Еще труднее найти другой пример в истории, где бы цель, которую поставило себе историческое лицо, была бы так совершенно достигнута, как та цель, к достижению которой была направлена вся деятельность Кутузова в 1812 году.