Комплексная амплитуда

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Определение

Пусть имеется гармонический сигнал:

<math> a(t) = A \cos \left( \omega t + \phi \right) </math>

Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал a(t) равен действительной части данного комплексного числа b(t):

<math> a(t) = \Re(b(t)) </math>,

где <math> b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t} </math>

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

<math> \hat A = A e^{i \phi} </math>

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем: <math> a(t) = \Re(\hat A) \cos (\omega t) - \Im(\hat A) \sin ( \omega t) </math>

где <math> \Re(\hat A) = A\cos (\phi), \quad \Im(\hat A) = A \sin (\phi) </math>

Тригонометрическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала <math>\cos {(\omega t)}</math>.

Операции над комплексной амплитудой

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

• умножение комплексной амплитуды на константу
• сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
• интегрирование комплексной амплитуды по времени
• дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

• принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
• меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

• Характеризует и амплитуду, и фазу
• Не содержит зависимости от времени
• Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексных амплитуд и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также

• Метод комплексных амплитуд
• Формула Эйлера

Отрывок, характеризующий Комплексная амплитуда

Но еще он не договорил, как почувствовал, что шутка его не принята и не вышла. Он смутился.
– Извольте отправляться, – сказал штаб офицер, стараясь удержать серьезность.
Князь Андрей еще раз взглянул на фигурку артиллериста. В ней было что то особенное, совершенно не военное, несколько комическое, но чрезвычайно привлекательное.
Штаб офицер и князь Андрей сели на лошадей и поехали дальше.
Выехав за деревню, беспрестанно обгоняя и встречая идущих солдат, офицеров разных команд, они увидали налево краснеющие свежею, вновь вскопанною глиною строящиеся укрепления. Несколько баталионов солдат в одних рубахах, несмотря на холодный ветер, как белые муравьи, копошились на этих укреплениях; из за вала невидимо кем беспрестанно выкидывались лопаты красной глины. Они подъехали к укреплению, осмотрели его и поехали дальше. За самым укреплением наткнулись они на несколько десятков солдат, беспрестанно переменяющихся, сбегающих с укрепления. Они должны были зажать нос и тронуть лошадей рысью, чтобы выехать из этой отравленной атмосферы.
– Voila l'agrement des camps, monsieur le prince, [Вот удовольствие лагеря, князь,] – сказал дежурный штаб офицер.
Они выехали на противоположную гору. С этой горы уже видны были французы. Князь Андрей остановился и начал рассматривать.
– Вот тут наша батарея стоит, – сказал штаб офицер, указывая на самый высокий пункт, – того самого чудака, что без сапог сидел; оттуда всё видно: поедемте, князь.
– Покорно благодарю, я теперь один проеду, – сказал князь Андрей, желая избавиться от штаб офицера, – не беспокойтесь, пожалуйста.
Штаб офицер отстал, и князь Андрей поехал один.
Чем далее подвигался он вперед, ближе к неприятелю, тем порядочнее и веселее становился вид войск. Самый сильный беспорядок и уныние были в том обозе перед Цнаймом, который объезжал утром князь Андрей и который был в десяти верстах от французов. В Грунте тоже чувствовалась некоторая тревога и страх чего то. Но чем ближе подъезжал князь Андрей к цепи французов, тем самоувереннее становился вид наших войск. Выстроенные в ряд, стояли в шинелях солдаты, и фельдфебель и ротный рассчитывали людей, тыкая пальцем в грудь крайнему по отделению солдату и приказывая ему поднимать руку; рассыпанные по всему пространству, солдаты тащили дрова и хворост и строили балаганчики, весело смеясь и переговариваясь; у костров сидели одетые и голые, суша рубахи, подвертки или починивая сапоги и шинели, толпились около котлов и кашеваров. В одной роте обед был готов, и солдаты с жадными лицами смотрели на дымившиеся котлы и ждали пробы, которую в деревянной чашке подносил каптенармус офицеру, сидевшему на бревне против своего балагана. В другой, более счастливой роте, так как не у всех была водка, солдаты, толпясь, стояли около рябого широкоплечего фельдфебеля, который, нагибая бочонок, лил в подставляемые поочередно крышки манерок. Солдаты с набожными лицами подносили ко рту манерки, опрокидывали их и, полоща рот и утираясь рукавами шинелей, с повеселевшими лицами отходили от фельдфебеля. Все лица были такие спокойные, как будто всё происходило не в виду неприятеля, перед делом, где должна была остаться на месте, по крайней мере, половина отряда, а как будто где нибудь на родине в ожидании спокойной стоянки. Проехав егерский полк, в рядах киевских гренадеров, молодцоватых людей, занятых теми же мирными делами, князь Андрей недалеко от высокого, отличавшегося от других балагана полкового командира, наехал на фронт взвода гренадер, перед которыми лежал обнаженный человек. Двое солдат держали его, а двое взмахивали гибкие прутья и мерно ударяли по обнаженной спине. Наказываемый неестественно кричал. Толстый майор ходил перед фронтом и, не переставая и не обращая внимания на крик, говорил: