Комплексное число

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Комплексные числа»)
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. мнимые числа[2]) — числа вида <math>x+iy</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> — вещественные числа, <math>i</math> — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: <math>i^2=-1</math>). Множество комплексных чисел обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math> (от лат. complex — тесно связанный).

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Относительно этих операций множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> является полем. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, два комплексных числа нельзя сравнивать на больше/меньше.

Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число[3]. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач в различных областях математики и физики.





Определения

При любом из способов определения арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Стандартная модель

Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Комплексное число <math>z</math> можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел <math>\left( x,\;y \right)</math>, записываемую обычно в виде <math>x+iy</math>.

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

  • <math>\left( x,\;y \right) + \left( x',\;y' \right) = \left( x+x',\;y+y' \right);</math>
  • <math>\left( x,\;y \right) \cdot \left( x',\;y' \right) = \left( xx'-yy',\;xy'+yx' \right).</math>

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида <math>\left( x,\;0 \right)</math>, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой <math>0=\left( 0,\;0 \right)</math>, единица — <math>1=\left( 1,\;0 \right)</math>. На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных.

Квадрат числа <math>i=\left( 0,\;1 \right)</math>, называемого мнимой единицей равен <math>\left( -1,\;0 \right)</math>, то есть <math>-1</math>. Запись x+yi получается введением краткого обозначения a для вещественного числа (a,0). Любое комплексное число можно записать в виде (x,y) = (x,0)(1,0 ) + (y,0) (0,1) = x (1,0 ) + y (0,1) = x + y i.

Сложная, на первый взгляд, формула для умножения, легко выводится из соотношения i2=-1

(x+iy)(x'+iy') = (x+iy)x'+(x+iy)iy' = xx' + iyx'+ xiy'+ iyiy' = (xx'-yy') + i (xy'+yx')

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

<math>\begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix}</math>

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

<math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>,

мнимой единице —

<math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>.

Множество комплексных чисел является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy является линейным оператором. В базисе e1=1, e2=i линейный оператор A умножения на x+iy представляется указанной выше матрицей, так как

(x+iy) 1 = x 1 + y i,
(x+iy) i = (-y) 1 + x i .

Определение с использованием многочленов

Определим отношение эквивалентности для многочленов с вещественными коэффициентами. Два многочлена будем считать эквивалентными, если их разность делится на многочлен X2+1.

Тогда многочлен X2 эквивалентен -1.

Многочлен X3 эквивалентен -X.

Многочлен X4 эквивалентен 1.

И т.д.

На множестве классов эквивалентности можно задать структуру кольца с единицей. Т.е. можно определить нулевой, единичный элементы и определить операции сложения, вычитания, умножения.

Такая конструкция называется факторкольцом кольца многочленов R[X] по идеалу, порождённому многочленом X2+1.

Так как многочлен X2+1 неприводим, то это факторкольцо является полем. Это поле изоморфно полю комплексных чисел.

Замечания

Заметим, что число <math>i</math> не является единственным числом, удовлетворяющим уравнению <math>x^2=-1</math>. Число <math>\left( -i \right)</math> также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение <math>\sqrt{-1}</math>, ранее часто использовавшееся вместо <math>i</math>, не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как <math>5+i\sqrt{3}</math>, а не <math>5+\sqrt{-3}</math>, несмотря на то, что вплоть до конца XIX века второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

<math>\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right)} = \sqrt{ \left( -3 \right)^2} = \sqrt{9}= 3</math>.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

<math>\left( i \sqrt{3} \right) \cdot \left( i \sqrt{3} \right) = \left( i \cdot \sqrt{3} \right)^2 = i^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 = -3</math>

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    <math>a+bi=c+di</math> означает, что <math>a=c</math> и <math>b=d</math> (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Сложение:
    <math>\left(a+bi\right) + \left(c+di\right) = \left(a+c\right) + \left(b+d\right)i</math>.
  • Вычитание:
    <math>\left(a+bi\right) - \left(c+di\right) = \left(a-c\right) + \left(b-d\right)i</math>.
  • Умножение:
    <math>\left(a+bi\right) \cdot \left(c+di\right) = ac+bci+adi+bdi^2 = \left(ac-bd\right) + \left(bc+ad\right)i</math>.
  • Деление:
    <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i</math>.
    • В частности,
      <math>\frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i</math>.

Геометрическая модель

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу <math>z=x+iy</math> сопоставим точку плоскости с координатами <math>\left\{ x, y \right\}</math> (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Пусть <math>z=x+iy</math> — комплексное число, где <math>x</math> и <math>y</math> — вещественные числа. Числа <math>x = \Re\left(z\right)</math> или <math>\operatorname{Re} z</math> и <math>y = \Im\left(z\right)</math> или <math>\operatorname{Im} z</math> называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями числа <math>z</math>.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа <math>z</math> обозначается <math>\left| z \right|</math> и определяется выражением <math>\left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}</math>. Часто обозначается буквами <math>r</math> или <math>\rho</math>. Если <math>z</math> является вещественным числом, то <math>\left| z \right|</math> совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> имеют место следующие свойства модуля:

1) <math>\left| z \right| \geqslant 0</math>, причём <math> \left| z \right| = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>z = 0</math>;
2) <math>\left| z_1 + z_2 \right| \leqslant \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|</math> (неравенство треугольника);
3) <math>\left| z_1 \cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right|</math>;
4) <math>\left| z_1 / z_2 \right| = \left| z_1 \right| / \left| z_2 \right|</math>.

Из третьего свойства следует <math>\left| a \cdot z \right| = \left| a \right| \cdot \left| z \right|</math>, где <math>a \in \mathbb{R}</math>. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем <math>\mathbb{R}</math>.

5) Для пары комплексных чисел <math>z_1</math> и <math>z_2</math> модуль их разности <math>\left| z_1-z_2 \right|</math> равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол <math>\varphi</math> (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу <math>z</math>, называется аргументом числа <math>z</math> и обозначается <math>\operatorname{Arg} \left(z\right)</math>.

  • Из этого определения следует, что <math>\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} </math>; <math>\cos \varphi = \frac {x} { \left| z \right|}</math>; <math>\sin \varphi = \frac {y} {\left| z \right|}</math>.
  • Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа <math>z</math> аргумент определяется с точностью до <math>2 k \pi</math>, где <math>k</math> — любое целое число.
  • Главным значением аргумента называется такое значение <math>\varphi</math>, что <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi</math>. Часто главное значение обозначается <math>\operatorname{arg} \left( z \right)</math>[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: <math>\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg} \left( z \right)</math>.

Сопряжённые числа

Если комплексное число <math>z=x+iy</math>, то число <math>\bar z=x-iy</math> называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к <math>z</math> (часто обозначается также <math>z^*</math>). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • <math>\bar{\bar{z}} = z</math> (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

  • <math>z \cdot \bar z = \left| z \right|^2</math>
  • <math>z + \bar z = 2 \operatorname{Re} \left( z \right)</math>

Другие соотношения:

  • <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2</math>
  • <math>\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2</math>

Обобщение: <math>\overline{p \left( z \right)} = p \left(\bar z \right)</math>, где <math>p \left( z \right)</math> — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. Из этого следует, что многочлен с вещественными коэффициентами имеет либо только действительные корни, либо, если он имеет корни с ненулевой мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых.

Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике: не имеющая физического смысла комплексная волновая функция, исчерпывающе описывающая систему микрочастиц, будучи умноженной на своё комплексное сопряжение даёт имеющую физический смысл плотность вероятности нахождения частицы в рассматриваемой точке.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

  • <math>\left| \bar{z} \right| = \left| z \right|</math>
  • <math>\operatorname{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\operatorname{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.</math>

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа <math>\mathrm{Gal} \left( \mathbb{C}/\mathbb{R} \right) \cong \mathbb{Z}/2</math>.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа <math>z</math> в виде <math>x+iy</math>, где <math>x</math> и <math>y\in\R</math>, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что <math>i^2=-1</math>):

<math>\left( a+ib \right) + \left( c+id \right) = \left( a+c \right) + i \left( b+d \right)</math>;
<math>\left( a+ib \right) \cdot \left( c+id \right) = ac+iad+ibc+i^2bd = ac+iad+ibc-bd = \left( ac-bd \right) + i \left( ad+bc \right)</math>.

Тригонометрическая форма

Если вещественную <math>x</math> и мнимую <math>y</math> части комплексного числа выразить через модуль <math>r = \left| z \right|</math> и аргумент <math>\varphi</math> (то есть <math>x=r\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\varphi</math>), то всякое комплексное число <math>z</math>, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

<math>z=r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right)</math>.

Показательная форма

Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

<math>z=re^{i\varphi}</math>,

где <math>e^{i\varphi}</math> — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

<math>\cos\varphi=\frac{ \left(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right)}{2};\quad\sin\varphi=\frac{\left(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}\right)}{2i}</math>

Свойства

Основная теорема алгебры

В отличие от вещественных чисел, всякий отличный от константы многочлен от одной переменной степени <math>n</math> с комплексными коэффициентами имеет (с учётом кратностей) <math>n</math> корней. То есть поле <math>\mathbb{C}</math> алгебраически замкнуто.

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

<math>z^n = \left[ r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) \right]^n = r^n \left( \cos n\varphi + i\sin n\varphi \right)</math>,

где <math>r</math> — модуль, а <math>\varphi</math> — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом <math>n</math>, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней <math>n</math>-ой степени из ненулевого комплексного числа:

<math>z^{1/n} = \left[ r \left( \cos \left( \varphi + 2\pi k \right) + i \sin \left( \varphi + 2\pi k \right) \right) \right]^{1/n}=</math>
<math>=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)</math>,

где <math>n > 1</math> и <math>k = 0,\;1,\;\ldots,\;n-1</math>.

Отметим, что корни <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно <math>n</math>. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного <math>n</math>-угольника, вписанного в окружность радиуса <math>\sqrt[n]{r}</math> с центром в начале координат (см. рисунок).

Другие свойства

Комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры над полем вещественных чисел.

Если функция комплексного переменного имеет производную в некоторой области, то она имеет производную любого порядка.

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его корни: <math>5+\sqrt{-15}</math> и <math>5-\sqrt{-15}</math>. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны» и «Арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утонченного, сколь и бесполезного»[3]. Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые описал Бомбелли (1572). Он же впервые описал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, однако всё равно считал их бесполезной и хитроумной «выдумкой»[3].

Выражения, представимые в виде <math>a+b\sqrt{-1}</math>, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность[3], и для многих других крупных ученых XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными, так же как сомнительными в то время считали и иррациональные числа, и даже отрицательные величины. Лейбниц, например, писал[когда?]: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на это, математики смело применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным, получали корректные вещественные результаты даже из промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать доверие.[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени <math>n</math> из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ <math>i</math> для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 4116 дней]

Существенно ранее, в 1685 году в работе «Алгебра» Валлис (Англия) показал, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами можно представить геометрически, точками на плоскости. Но это прошло незамеченным.[3] Следующий раз геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (1799). Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл[когда?] Коши. Таким образом было обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения чисто алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов на плоскости, что сильно изменило векторную алгебру.

В развитие этого подхода начались поиски способа аналогично представить и вектора в трёхмерном пространстве. В результате пятнадцатилетних поисков[3], в 1843 году Гамильтон предложил обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными; также ему пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

Позднее, в 1919 году, стало понятно, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как Процедура Кэли — Диксона[5]. Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

См. также

Напишите отзыв о статье "Комплексное число"

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    • Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: «ко́мплексный» и «компле́ксный (матем.)».
  2. «Математическая энциклопедия» / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Клайн Морис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14—15.
  5. Dickson, L. E. (1919), "[dx.doi.org/10.2307%2F1967865 On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem]", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN [worldcat.org/issn/0003-486X 0003-486X], DOI 10.2307/1967865 

Литература

  • Арнольд В. И. [www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов], МЦНМО, 2002
  • Кириллов А.А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с.
  • Понтрягин Л. [kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm Комплексные числа], Квант, № 3, 1982.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5..

Ссылки

  • [v.shumeyko.com/?p=4 Простой калькулятор комплексных чисел].(недоступная ссылка с 27-09-2015 (3212 дней))
  • [www.siarion.net/rus/free/carevoljet/ CaRevol Jet] — формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.
</math>) • ПериодыВычислимыеАрифметические |заголовок2=
Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • АльтернионыДуальныеГиперкомплексныеСупердействительныеГипервещественныеСюрреальные[en]

|заголовок3=
Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — ДиксонаТеорема ФробениусаТеорема Гурвица

|заголовок4=
Иерархия чисел
|список4=
<center>
<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа
<math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа
<math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа
<math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа
<math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы
<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> Седенионы
</center> |заголовок5=
Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

|заголовок6=
См. также

|список6=Двойные числаИррациональные числаТрансцендентные числаЧисловой лучБикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Комплексное число

– «C'est grand!» [Это величественно!] – говорят историки, и тогда уже нет ни хорошего, ни дурного, а есть «grand» и «не grand». Grand – хорошо, не grand – дурно. Grand есть свойство, по их понятиям, каких то особенных животных, называемых ими героями. И Наполеон, убираясь в теплой шубе домой от гибнущих не только товарищей, но (по его мнению) людей, им приведенных сюда, чувствует que c'est grand, и душа его покойна.
«Du sublime (он что то sublime видит в себе) au ridicule il n'y a qu'un pas», – говорит он. И весь мир пятьдесят лет повторяет: «Sublime! Grand! Napoleon le grand! Du sublime au ridicule il n'y a qu'un pas». [величественное… От величественного до смешного только один шаг… Величественное! Великое! Наполеон великий! От величественного до смешного только шаг.]
И никому в голову не придет, что признание величия, неизмеримого мерой хорошего и дурного, есть только признание своей ничтожности и неизмеримой малости.
Для нас, с данной нам Христом мерой хорошего и дурного, нет неизмеримого. И нет величия там, где нет простоты, добра и правды.


Кто из русских людей, читая описания последнего периода кампании 1812 года, не испытывал тяжелого чувства досады, неудовлетворенности и неясности. Кто не задавал себе вопросов: как не забрали, не уничтожили всех французов, когда все три армии окружали их в превосходящем числе, когда расстроенные французы, голодая и замерзая, сдавались толпами и когда (как нам рассказывает история) цель русских состояла именно в том, чтобы остановить, отрезать и забрать в плен всех французов.
Каким образом то русское войско, которое, слабее числом французов, дало Бородинское сражение, каким образом это войско, с трех сторон окружавшее французов и имевшее целью их забрать, не достигло своей цели? Неужели такое громадное преимущество перед нами имеют французы, что мы, с превосходными силами окружив, не могли побить их? Каким образом это могло случиться?
История (та, которая называется этим словом), отвечая на эти вопросы, говорит, что это случилось оттого, что Кутузов, и Тормасов, и Чичагов, и тот то, и тот то не сделали таких то и таких то маневров.
Но отчего они не сделали всех этих маневров? Отчего, ежели они были виноваты в том, что не достигнута была предназначавшаяся цель, – отчего их не судили и не казнили? Но, даже ежели и допустить, что виною неудачи русских были Кутузов и Чичагов и т. п., нельзя понять все таки, почему и в тех условиях, в которых находились русские войска под Красным и под Березиной (в обоих случаях русские были в превосходных силах), почему не взято в плен французское войско с маршалами, королями и императорами, когда в этом состояла цель русских?
Объяснение этого странного явления тем (как то делают русские военные историки), что Кутузов помешал нападению, неосновательно потому, что мы знаем, что воля Кутузова не могла удержать войска от нападения под Вязьмой и под Тарутиным.
Почему то русское войско, которое с слабейшими силами одержало победу под Бородиным над неприятелем во всей его силе, под Красным и под Березиной в превосходных силах было побеждено расстроенными толпами французов?
Если цель русских состояла в том, чтобы отрезать и взять в плен Наполеона и маршалов, и цель эта не только не была достигнута, и все попытки к достижению этой цели всякий раз были разрушены самым постыдным образом, то последний период кампании совершенно справедливо представляется французами рядом побед и совершенно несправедливо представляется русскими историками победоносным.
Русские военные историки, настолько, насколько для них обязательна логика, невольно приходят к этому заключению и, несмотря на лирические воззвания о мужестве и преданности и т. д., должны невольно признаться, что отступление французов из Москвы есть ряд побед Наполеона и поражений Кутузова.
Но, оставив совершенно в стороне народное самолюбие, чувствуется, что заключение это само в себе заключает противуречие, так как ряд побед французов привел их к совершенному уничтожению, а ряд поражений русских привел их к полному уничтожению врага и очищению своего отечества.
Источник этого противуречия лежит в том, что историками, изучающими события по письмам государей и генералов, по реляциям, рапортам, планам и т. п., предположена ложная, никогда не существовавшая цель последнего периода войны 1812 года, – цель, будто бы состоявшая в том, чтобы отрезать и поймать Наполеона с маршалами и армией.
Цели этой никогда не было и не могло быть, потому что она не имела смысла, и достижение ее было совершенно невозможно.
Цель эта не имела никакого смысла, во первых, потому, что расстроенная армия Наполеона со всей возможной быстротой бежала из России, то есть исполняла то самое, что мог желать всякий русский. Для чего же было делать различные операции над французами, которые бежали так быстро, как только они могли?
Во вторых, бессмысленно было становиться на дороге людей, всю свою энергию направивших на бегство.
В третьих, бессмысленно было терять свои войска для уничтожения французских армий, уничтожавшихся без внешних причин в такой прогрессии, что без всякого загораживания пути они не могли перевести через границу больше того, что они перевели в декабре месяце, то есть одну сотую всего войска.
В четвертых, бессмысленно было желание взять в плен императора, королей, герцогов – людей, плен которых в высшей степени затруднил бы действия русских, как то признавали самые искусные дипломаты того времени (J. Maistre и другие). Еще бессмысленнее было желание взять корпуса французов, когда свои войска растаяли наполовину до Красного, а к корпусам пленных надо было отделять дивизии конвоя, и когда свои солдаты не всегда получали полный провиант и забранные уже пленные мерли с голода.
Весь глубокомысленный план о том, чтобы отрезать и поймать Наполеона с армией, был подобен тому плану огородника, который, выгоняя из огорода потоптавшую его гряды скотину, забежал бы к воротам и стал бы по голове бить эту скотину. Одно, что можно бы было сказать в оправдание огородника, было бы то, что он очень рассердился. Но это нельзя было даже сказать про составителей проекта, потому что не они пострадали от потоптанных гряд.
Но, кроме того, что отрезывание Наполеона с армией было бессмысленно, оно было невозможно.
Невозможно это было, во первых, потому что, так как из опыта видно, что движение колонн на пяти верстах в одном сражении никогда не совпадает с планами, то вероятность того, чтобы Чичагов, Кутузов и Витгенштейн сошлись вовремя в назначенное место, была столь ничтожна, что она равнялась невозможности, как то и думал Кутузов, еще при получении плана сказавший, что диверсии на большие расстояния не приносят желаемых результатов.
Во вторых, невозможно было потому, что, для того чтобы парализировать ту силу инерции, с которой двигалось назад войско Наполеона, надо было без сравнения большие войска, чем те, которые имели русские.
В третьих, невозможно это было потому, что военное слово отрезать не имеет никакого смысла. Отрезать можно кусок хлеба, но не армию. Отрезать армию – перегородить ей дорогу – никак нельзя, ибо места кругом всегда много, где можно обойти, и есть ночь, во время которой ничего не видно, в чем могли бы убедиться военные ученые хоть из примеров Красного и Березины. Взять же в плен никак нельзя без того, чтобы тот, кого берут в плен, на это не согласился, как нельзя поймать ласточку, хотя и можно взять ее, когда она сядет на руку. Взять в плен можно того, кто сдается, как немцы, по правилам стратегии и тактики. Но французские войска совершенно справедливо не находили этого удобным, так как одинаковая голодная и холодная смерть ожидала их на бегстве и в плену.
В четвертых же, и главное, это было невозможно потому, что никогда, с тех пор как существует мир, не было войны при тех страшных условиях, при которых она происходила в 1812 году, и русские войска в преследовании французов напрягли все свои силы и не могли сделать большего, не уничтожившись сами.
В движении русской армии от Тарутина до Красного выбыло пятьдесят тысяч больными и отсталыми, то есть число, равное населению большого губернского города. Половина людей выбыла из армии без сражений.
И об этом то периоде кампании, когда войска без сапог и шуб, с неполным провиантом, без водки, по месяцам ночуют в снегу и при пятнадцати градусах мороза; когда дня только семь и восемь часов, а остальное ночь, во время которой не может быть влияния дисциплины; когда, не так как в сраженье, на несколько часов только люди вводятся в область смерти, где уже нет дисциплины, а когда люди по месяцам живут, всякую минуту борясь с смертью от голода и холода; когда в месяц погибает половина армии, – об этом то периоде кампании нам рассказывают историки, как Милорадович должен был сделать фланговый марш туда то, а Тормасов туда то и как Чичагов должен был передвинуться туда то (передвинуться выше колена в снегу), и как тот опрокинул и отрезал, и т. д., и т. д.
Русские, умиравшие наполовину, сделали все, что можно сделать и должно было сделать для достижения достойной народа цели, и не виноваты в том, что другие русские люди, сидевшие в теплых комнатах, предполагали сделать то, что было невозможно.
Все это странное, непонятное теперь противоречие факта с описанием истории происходит только оттого, что историки, писавшие об этом событии, писали историю прекрасных чувств и слов разных генералов, а не историю событий.
Для них кажутся очень занимательны слова Милорадовича, награды, которые получил тот и этот генерал, и их предположения; а вопрос о тех пятидесяти тысячах, которые остались по госпиталям и могилам, даже не интересует их, потому что не подлежит их изучению.
А между тем стоит только отвернуться от изучения рапортов и генеральных планов, а вникнуть в движение тех сотен тысяч людей, принимавших прямое, непосредственное участие в событии, и все, казавшиеся прежде неразрешимыми, вопросы вдруг с необыкновенной легкостью и простотой получают несомненное разрешение.
Цель отрезывания Наполеона с армией никогда не существовала, кроме как в воображении десятка людей. Она не могла существовать, потому что она была бессмысленна, и достижение ее было невозможно.
Цель народа была одна: очистить свою землю от нашествия. Цель эта достигалась, во первых, сама собою, так как французы бежали, и потому следовало только не останавливать это движение. Во вторых, цель эта достигалась действиями народной войны, уничтожавшей французов, и, в третьих, тем, что большая русская армия шла следом за французами, готовая употребить силу в случае остановки движения французов.
Русская армия должна была действовать, как кнут на бегущее животное. И опытный погонщик знал, что самое выгодное держать кнут поднятым, угрожая им, а не по голове стегать бегущее животное.



Когда человек видит умирающее животное, ужас охватывает его: то, что есть он сам, – сущность его, в его глазах очевидно уничтожается – перестает быть. Но когда умирающее есть человек, и человек любимый – ощущаемый, тогда, кроме ужаса перед уничтожением жизни, чувствуется разрыв и духовная рана, которая, так же как и рана физическая, иногда убивает, иногда залечивается, но всегда болит и боится внешнего раздражающего прикосновения.
После смерти князя Андрея Наташа и княжна Марья одинаково чувствовали это. Они, нравственно согнувшись и зажмурившись от грозного, нависшего над ними облака смерти, не смели взглянуть в лицо жизни. Они осторожно берегли свои открытые раны от оскорбительных, болезненных прикосновений. Все: быстро проехавший экипаж по улице, напоминание об обеде, вопрос девушки о платье, которое надо приготовить; еще хуже, слово неискреннего, слабого участия болезненно раздражало рану, казалось оскорблением и нарушало ту необходимую тишину, в которой они обе старались прислушиваться к незамолкшему еще в их воображении страшному, строгому хору, и мешало вглядываться в те таинственные бесконечные дали, которые на мгновение открылись перед ними.
Только вдвоем им было не оскорбительно и не больно. Они мало говорили между собой. Ежели они говорили, то о самых незначительных предметах. И та и другая одинаково избегали упоминания о чем нибудь, имеющем отношение к будущему.
Признавать возможность будущего казалось им оскорблением его памяти. Еще осторожнее они обходили в своих разговорах все то, что могло иметь отношение к умершему. Им казалось, что то, что они пережили и перечувствовали, не могло быть выражено словами. Им казалось, что всякое упоминание словами о подробностях его жизни нарушало величие и святыню совершившегося в их глазах таинства.
Беспрестанные воздержания речи, постоянное старательное обхождение всего того, что могло навести на слово о нем: эти остановки с разных сторон на границе того, чего нельзя было говорить, еще чище и яснее выставляли перед их воображением то, что они чувствовали.

Но чистая, полная печаль так же невозможна, как чистая и полная радость. Княжна Марья, по своему положению одной независимой хозяйки своей судьбы, опекунши и воспитательницы племянника, первая была вызвана жизнью из того мира печали, в котором она жила первые две недели. Она получила письма от родных, на которые надо было отвечать; комната, в которую поместили Николеньку, была сыра, и он стал кашлять. Алпатыч приехал в Ярославль с отчетами о делах и с предложениями и советами переехать в Москву в Вздвиженский дом, который остался цел и требовал только небольших починок. Жизнь не останавливалась, и надо было жить. Как ни тяжело было княжне Марье выйти из того мира уединенного созерцания, в котором она жила до сих пор, как ни жалко и как будто совестно было покинуть Наташу одну, – заботы жизни требовали ее участия, и она невольно отдалась им. Она поверяла счеты с Алпатычем, советовалась с Десалем о племяннике и делала распоряжения и приготовления для своего переезда в Москву.
Наташа оставалась одна и с тех пор, как княжна Марья стала заниматься приготовлениями к отъезду, избегала и ее.
Княжна Марья предложила графине отпустить с собой Наташу в Москву, и мать и отец радостно согласились на это предложение, с каждым днем замечая упадок физических сил дочери и полагая для нее полезным и перемену места, и помощь московских врачей.
– Я никуда не поеду, – отвечала Наташа, когда ей сделали это предложение, – только, пожалуйста, оставьте меня, – сказала она и выбежала из комнаты, с трудом удерживая слезы не столько горя, сколько досады и озлобления.
После того как она почувствовала себя покинутой княжной Марьей и одинокой в своем горе, Наташа большую часть времени, одна в своей комнате, сидела с ногами в углу дивана, и, что нибудь разрывая или переминая своими тонкими, напряженными пальцами, упорным, неподвижным взглядом смотрела на то, на чем останавливались глаза. Уединение это изнуряло, мучило ее; но оно было для нее необходимо. Как только кто нибудь входил к ней, она быстро вставала, изменяла положение и выражение взгляда и бралась за книгу или шитье, очевидно с нетерпением ожидая ухода того, кто помешал ей.
Ей все казалось, что она вот вот сейчас поймет, проникнет то, на что с страшным, непосильным ей вопросом устремлен был ее душевный взгляд.
В конце декабря, в черном шерстяном платье, с небрежно связанной пучком косой, худая и бледная, Наташа сидела с ногами в углу дивана, напряженно комкая и распуская концы пояса, и смотрела на угол двери.
Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».
Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.
«Я согласилась, – говорила себе теперь Наташа, – что было бы ужасно, если б он остался всегда страдающим. Я сказала это тогда так только потому, что для него это было бы ужасно, а он понял это иначе. Он подумал, что это для меня ужасно бы было. Он тогда еще хотел жить – боялся смерти. И я так грубо, глупо сказала ему. Я не думала этого. Я думала совсем другое. Если бы я сказала то, что думала, я бы сказала: пускай бы он умирал, все время умирал бы перед моими глазами, я была бы счастлива в сравнении с тем, что я теперь. Теперь… Ничего, никого нет. Знал ли он это? Нет. Не знал и никогда не узнает. И теперь никогда, никогда уже нельзя поправить этого». И опять он говорил ей те же слова, но теперь в воображении своем Наташа отвечала ему иначе. Она останавливала его и говорила: «Ужасно для вас, но не для меня. Вы знайте, что мне без вас нет ничего в жизни, и страдать с вами для меня лучшее счастие». И он брал ее руку и жал ее так, как он жал ее в тот страшный вечер, за четыре дня перед смертью. И в воображении своем она говорила ему еще другие нежные, любовные речи, которые она могла бы сказать тогда, которые она говорила теперь. «Я люблю тебя… тебя… люблю, люблю…» – говорила она, судорожно сжимая руки, стискивая зубы с ожесточенным усилием.
И сладкое горе охватывало ее, и слезы уже выступали в глаза, но вдруг она спрашивала себя: кому она говорит это? Где он и кто он теперь? И опять все застилалось сухим, жестким недоумением, и опять, напряженно сдвинув брови, она вглядывалась туда, где он был. И вот, вот, ей казалось, она проникает тайну… Но в ту минуту, как уж ей открывалось, казалось, непонятное, громкий стук ручки замка двери болезненно поразил ее слух. Быстро и неосторожно, с испуганным, незанятым ею выражением лица, в комнату вошла горничная Дуняша.
– Пожалуйте к папаше, скорее, – сказала Дуняша с особенным и оживленным выражением. – Несчастье, о Петре Ильиче… письмо, – всхлипнув, проговорила она.


Кроме общего чувства отчуждения от всех людей, Наташа в это время испытывала особенное чувство отчуждения от лиц своей семьи. Все свои: отец, мать, Соня, были ей так близки, привычны, так будничны, что все их слова, чувства казались ей оскорблением того мира, в котором она жила последнее время, и она не только была равнодушна, но враждебно смотрела на них. Она слышала слова Дуняши о Петре Ильиче, о несчастии, но не поняла их.
«Какое там у них несчастие, какое может быть несчастие? У них все свое старое, привычное и покойное», – мысленно сказала себе Наташа.
Когда она вошла в залу, отец быстро выходил из комнаты графини. Лицо его было сморщено и мокро от слез. Он, видимо, выбежал из той комнаты, чтобы дать волю давившим его рыданиям. Увидав Наташу, он отчаянно взмахнул руками и разразился болезненно судорожными всхлипываниями, исказившими его круглое, мягкое лицо.
– Пе… Петя… Поди, поди, она… она… зовет… – И он, рыдая, как дитя, быстро семеня ослабевшими ногами, подошел к стулу и упал почти на него, закрыв лицо руками.
Вдруг как электрический ток пробежал по всему существу Наташи. Что то страшно больно ударило ее в сердце. Она почувствовала страшную боль; ей показалось, что что то отрывается в ней и что она умирает. Но вслед за болью она почувствовала мгновенно освобождение от запрета жизни, лежавшего на ней. Увидав отца и услыхав из за двери страшный, грубый крик матери, она мгновенно забыла себя и свое горе. Она подбежала к отцу, но он, бессильно махая рукой, указывал на дверь матери. Княжна Марья, бледная, с дрожащей нижней челюстью, вышла из двери и взяла Наташу за руку, говоря ей что то. Наташа не видела, не слышала ее. Она быстрыми шагами вошла в дверь, остановилась на мгновение, как бы в борьбе с самой собой, и подбежала к матери.
Графиня лежала на кресле, странно неловко вытягиваясь, и билась головой об стену. Соня и девушки держали ее за руки.
– Наташу, Наташу!.. – кричала графиня. – Неправда, неправда… Он лжет… Наташу! – кричала она, отталкивая от себя окружающих. – Подите прочь все, неправда! Убили!.. ха ха ха ха!.. неправда!
Наташа стала коленом на кресло, нагнулась над матерью, обняла ее, с неожиданной силой подняла, повернула к себе ее лицо и прижалась к ней.
– Маменька!.. голубчик!.. Я тут, друг мой. Маменька, – шептала она ей, не замолкая ни на секунду.
Она не выпускала матери, нежно боролась с ней, требовала подушки, воды, расстегивала и разрывала платье на матери.
– Друг мой, голубушка… маменька, душенька, – не переставая шептала она, целуя ее голову, руки, лицо и чувствуя, как неудержимо, ручьями, щекоча ей нос и щеки, текли ее слезы.
Графиня сжала руку дочери, закрыла глаза и затихла на мгновение. Вдруг она с непривычной быстротой поднялась, бессмысленно оглянулась и, увидав Наташу, стала из всех сил сжимать ее голову. Потом она повернула к себе ее морщившееся от боли лицо и долго вглядывалась в него.
– Наташа, ты меня любишь, – сказала она тихим, доверчивым шепотом. – Наташа, ты не обманешь меня? Ты мне скажешь всю правду?
Наташа смотрела на нее налитыми слезами глазами, и в лице ее была только мольба о прощении и любви.
– Друг мой, маменька, – повторяла она, напрягая все силы своей любви на то, чтобы как нибудь снять с нее на себя излишек давившего ее горя.
И опять в бессильной борьбе с действительностью мать, отказываясь верить в то, что она могла жить, когда был убит цветущий жизнью ее любимый мальчик, спасалась от действительности в мире безумия.
Наташа не помнила, как прошел этот день, ночь, следующий день, следующая ночь. Она не спала и не отходила от матери. Любовь Наташи, упорная, терпеливая, не как объяснение, не как утешение, а как призыв к жизни, всякую секунду как будто со всех сторон обнимала графиню. На третью ночь графиня затихла на несколько минут, и Наташа закрыла глаза, облокотив голову на ручку кресла. Кровать скрипнула. Наташа открыла глаза. Графиня сидела на кровати и тихо говорила.