Комплексный анализ

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (или ко́мпле́ксной переме́нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Общие понятия

Каждая комплексная функция <math>w = f(z) = f(x+iy)</math> может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: <math>f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math>, определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции <math>u</math>, <math>v</math> называются компонентами комплексной функции <math>f(z)</math>.

Далее всюду, где говорится об ограниченности комплексной функции, имеется в виду ограниченность её модуля (из чего следует ограниченность в обычном смысле обеих компонент).

Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если <math>\lim_{z\to a+bi}f(z)=A+Bi</math>, то <math>\lim_{x\to a,\;y \to b}u(x,\;y)=A</math> и <math>\lim_{x\to a,\;y\to b}v(x,\;y)=B</math>. Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, отсутствует прямой аналог теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.

<math>\varepsilon</math>-окрестность числа <math>z_0</math> определяется как множество точек <math>z</math>, удалённых от <math>z_0</math> менее чем на <math>\varepsilon</math>:

<math>|z-z_0|<\varepsilon</math>

На комплексной плоскости <math>\varepsilon</math>-окрестность представляет собой внутренность круга радиуса <math>\varepsilon</math> с центром в <math>z_0</math>.

Бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: <math>z=\infty</math>. При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• <math>\frac{z}{\infty}=0; z+\infty=\infty (z \ne \infty)</math>
• <math>z \cdot \infty=\infty; \frac{z}{0}=\infty (z \ne 0)</math>

<math>\varepsilon</math>-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек <math>z</math>, модуль которых больше, чем <math>\dfrac{1}{\varepsilon}</math>, то есть внешняя часть <math>\dfrac{1}{\varepsilon}</math>-окрестностей начала координат.

Дифференцирование

Определение

Производная для комплексной функции одного аргумента <math>w=f(z)</math> определяется так же, как и для вещественной:

<math>f^\prime(z)=\frac{df}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math>

(здесь <math>h</math> — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

<math>f(z+h)-f(z)=\frac{df}{dz}\cdot h+o(h).</math>

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к <math>z</math> с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент <math>u,\;v</math> и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана, они же условия Эйлера — Даламбера):

<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.</math>

Отсюда следует, что дифференцируемости компонент <math>u</math> и <math>v</math> недостаточно для дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки <math>z</math> комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используются также его синонимы «голоморфная функция», «регулярная функция»).
• (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
• Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0;\qquad\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.</math>

• Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида <math>u+iv</math>, где <math>u,\;v</math> — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Другие свойства

Пусть функции <math>f(z)</math> и <math>g(z)</math> дифференцируемы в области <math>G\subset\mathbb C</math>. Тогда <math>f(z)\pm g(z)</math> и <math>f(z)\cdot g(z)</math> также дифференцируемы в этой области. Если <math>g(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>\frac{f(z)}{g(z)}</math> будет дифференцируема в <math>G</math>. Композиция функций <math>f(g(z))</math> дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции <math>w=f(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция <math>z=\varphi(w)</math>, и она будет дифференцируема.

Производная для суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.

Геометрический смысл производной

Каждая комплексная функция <math>w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math> определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами <math>(x,\;y)</math> на другую комплексную плоскость с координатами <math>(u,\;v)</math>. При этом выражение:

<math>\left|\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\right| = k(h)</math>

при малом <math>h</math> геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки <math>z</math> к точке <math>z+h</math>. Существование предела <math>\lim_{h \to 0} k(h)</math>, то есть модуля производной <math>|f^\prime(z)|=k</math>, означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки <math>z</math>, то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

Если коэффициент масштабирования <math>k>1</math>, то в окрестности точки <math>z</math> расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования <math>k<1</math>, то в окрестности точки <math>z</math> расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия. Пример для функции <math>f(z)=z^2+2z-1:</math> в точке <math>z=1</math> производная равна 4, поэтому все длины увеличиваются в четыре раза.

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через данную точку <math>z</math>. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Интегрирование

Интегрирование комплексных функций

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от <math>a</math> до <math>b</math> на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.

Пусть уравнение <math>z=z(t),\;a\leqslant t\leqslant b</math> определяет некоторую кусочно-гладкую кривую <math>\gamma</math> в комплексной плоскости, а функция <math>f(z)</math> определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на <math>n</math> равных частей: <math>a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b</math> и рассмотрим интегральную сумму:

<math>\sum_{1\leqslant k\leqslant n}f(z(t_k))(z(t_k)-z(t_{k-1})).</math>

Предел этой суммы при неограниченном возрастании <math>n</math> называется (комплексным) интегралом по кривой <math>\gamma</math> от данной функции <math>f(z)</math>; он обозначается:

<math>\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz.</math>

Для любой функции <math>f(z)</math>, непрерывной вдоль <math>\gamma</math>, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

<math>\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int\limits_\gamma\!(u\,dx-v\,dy)+i\int\limits_\gamma\!(v\,dx+u\,dy).</math>

Здесь <math>u,\;v</math> — компоненты <math>f(z)</math>. Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.

Контурный интеграл

Особый практический интерес представляют интегралы по (замкнутому) контуру, то есть по кусочно-гладкой кривой без точек самопересечения, у которой начальная точка совпадает с конечной. Контур можно обходить в двух направлениях; положительным считается направление, при котором ограниченная контуром область располагается слева по ходу движения.

Если кривая <math>\gamma</math> образует замкнутый контур, употребляется особое обозначение интеграла:

<math>\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz.</math>

Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции <math>f(z)</math>, аналитической в односвязной области <math>A\subset\C</math> и для любого замкнутого контура <math>\gamma\subset A</math> интеграл по нему равен нулю:

<math>\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz=0</math>.

Следствие: пусть функция <math>f(z)</math>, аналитична в односвязной области <math>A\subset\C</math>, а точки <math>z_1, z_2</math> из области <math>A</math> соединены некоторой кривой <math>\gamma</math>. Тогда интеграл <math>\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz</math> зависит только от точек <math>z_1, z_2</math>, но не от выбора соединяющей их кривой <math>\gamma</math>, так что можно обозначить его <math>\int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\,dz}</math>, и имеет место теорема Ньютона — Лейбница:

<math>\int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\,dz} = F(z_2) - F(z_1),</math>

где <math>F(z)</math> — первообразная для <math>f(z)</math>.

Существует обобщение интегральной теоремы Коши для многосвязной области: если функция аналитична в замкнутой многосвязной области, то интеграл от неё по внешнему контуру области равен сумме интегралов по всем внутренним контурам (в том же направлении, что и по внешнему). Это обобщение удобно применять, если область содержит особую точку функции (см. ниже), где функция не аналитична или не определена.

Другие мощные инструменты для исследования комплексных и вещественных интегралов:

• Интегральная формула Коши и её следствия: принцип максимума модуля, теоремы о среднем
• Основная теорема о вычетах

Теоремы единственности и аналитическое продолжение

Нулём функции <math>f(z)</math> называется точка <math>z_0</math>, в которой функция обращается в ноль: <math>f(z_0)=0</math>.

Теорема о нулях аналитической функции. Если нули функции <math>f(z)</math>, аналитической в области <math>D</math>, имеют предельную точку внутри <math>D</math>, то функция <math>f(z)</math> всюду в <math>D</math> равна нулю.

Следствие: если функция <math>f(z)</math> аналитическая в области <math>D</math> и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти <math>C \subset D</math> у неё может быть лишь конечное число нулей.

Теорема единственности аналитической функции. Пусть <math>\{z_n\}</math> — сходящаяся последовательность различных точек области <math>D</math>. Если две аналитические функции <math>f(z), g(z)</math> совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в <math>D</math>.

В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в <math>D</math>, то они совпадают всюду в <math>D</math>. Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением исходной функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

<math>\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}</math>

Разложение в ряд

Степенной ряд

Определение суммы числового ряда и признаки сходимости в комплексном анализе практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

Всякая дифференцируемая в точке <math>z_0</math> функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора:

<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>

Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции <math>f(z)</math> в некотором круге радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>z_0</math>, который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

1. Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.
2. Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть <math>R=\infty</math>. Такие функции называются целыми.
3. Ряд сходится только в точке <math>z_0</math>. Пример: <math>\sum_{n=0}^\infty n! (z-z_0)^n</math>. Такие точки <math>z_0</math> называются особыми для функции <math>f(z).</math> Неособые точки называются правильными. Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.

Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке <math>z_0</math> равен расстоянию от <math>z_0</math> до ближайшей к ней особой точки.

Теорема Абеля: если <math>R</math> — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно.

Ряд Лорана

Представляет большой практический интерес исследование поведения функции вблизи изолированной особой точки, то есть точки, в окрестности которой функция аналитична, но в самой точке либо не аналитична, либо не определена. Степенной ряд здесь бесполезен, поэтому вводится более общий ряд Лорана:

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {c_{-n}} {(z-z_0)^n}</math>

Если область сходимости ряда Лорана не пуста, она представляет собой круговое кольцо: <math>r<|z-z_0|<R</math>.

Основная теорема: если функция <math>f(z)</math> аналитична в круговом кольце, то она может быть представлена в этом кольце сходящимся рядом Лорана, причём однозначно.

Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки <math>z_0</math>.

1. Устранимая особая точка: если ряд Лорана не содержит элементов с отрицательными степенями <math>z-z_0</math>. Тогда это просто степенной ряд, определяющий функцию в некотором круге, окружающем <math>z_0</math>. Сумма ряда в этом круге конечна и может отличаться от <math>f(z)</math> только в точке <math>z_0</math>, так что достаточно переопределить <math>f(z_0)</math>, чтобы функция стала аналитичной во всём круге. Имеет место следующий признак: если функция вблизи <math>z_0</math> аналитична и ограничена, то <math>z_0</math> — устранимая особая точка.
2. Полюс: если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями <math>z-z_0</math>. В этом случае функция в точке <math>z_0</math> бесконечна (по модулю).
3. Существенно особая точка: если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями <math>z-z_0</math>. В этом случае функция в точке <math>z_0</math> не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.

Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

<math>f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

<math>\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots</math>

Этот ряд сходится только в интервале <math>(-1;\;1)</math>, хотя точки <math>\pm 1</math> не являются какими-то особенными для <math>f(x)</math>.

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math>, у которой обнаруживаются две особые точки: <math>\pm i</math>. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге <math>\Delta=\{z\colon|z|<1\}</math>.

История

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Эйлера, Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся применениям в инженерном деле, методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.

См. также

• Аналитическая функция
• Вычет (комплексный анализ)
• Голоморфная функция
• Кватернионный анализ
• Комплексные числа
• Многомерный комплексный анализ
• Моногенная функция

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия] // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — М.: Наука, 1981. — 304 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0155-2.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный анализ

– Передай, видно… – Он не договорил и улыбнулся болезненно фальшивой улыбкой.


Вернувшись в полк и передав командиру, в каком положении находилось дело Денисова, Ростов с письмом к государю поехал в Тильзит.
13 го июня, французский и русский императоры съехались в Тильзите. Борис Друбецкой просил важное лицо, при котором он состоял, о том, чтобы быть причислену к свите, назначенной состоять в Тильзите.
– Je voudrais voir le grand homme, [Я желал бы видеть великого человека,] – сказал он, говоря про Наполеона, которого он до сих пор всегда, как и все, называл Буонапарте.
– Vous parlez de Buonaparte? [Вы говорите про Буонапарта?] – сказал ему улыбаясь генерал.
Борис вопросительно посмотрел на своего генерала и тотчас же понял, что это было шуточное испытание.
– Mon prince, je parle de l'empereur Napoleon, [Князь, я говорю об императоре Наполеоне,] – отвечал он. Генерал с улыбкой потрепал его по плечу.
– Ты далеко пойдешь, – сказал он ему и взял с собою.
Борис в числе немногих был на Немане в день свидания императоров; он видел плоты с вензелями, проезд Наполеона по тому берегу мимо французской гвардии, видел задумчивое лицо императора Александра, в то время как он молча сидел в корчме на берегу Немана, ожидая прибытия Наполеона; видел, как оба императора сели в лодки и как Наполеон, приставши прежде к плоту, быстрыми шагами пошел вперед и, встречая Александра, подал ему руку, и как оба скрылись в павильоне. Со времени своего вступления в высшие миры, Борис сделал себе привычку внимательно наблюдать то, что происходило вокруг него и записывать. Во время свидания в Тильзите он расспрашивал об именах тех лиц, которые приехали с Наполеоном, о мундирах, которые были на них надеты, и внимательно прислушивался к словам, которые были сказаны важными лицами. В то самое время, как императоры вошли в павильон, он посмотрел на часы и не забыл посмотреть опять в то время, когда Александр вышел из павильона. Свидание продолжалось час и пятьдесят три минуты: он так и записал это в тот вечер в числе других фактов, которые, он полагал, имели историческое значение. Так как свита императора была очень небольшая, то для человека, дорожащего успехом по службе, находиться в Тильзите во время свидания императоров было делом очень важным, и Борис, попав в Тильзит, чувствовал, что с этого времени положение его совершенно утвердилось. Его не только знали, но к нему пригляделись и привыкли. Два раза он исполнял поручения к самому государю, так что государь знал его в лицо, и все приближенные не только не дичились его, как прежде, считая за новое лицо, но удивились бы, ежели бы его не было.
Борис жил с другим адъютантом, польским графом Жилинским. Жилинский, воспитанный в Париже поляк, был богат, страстно любил французов, и почти каждый день во время пребывания в Тильзите, к Жилинскому и Борису собирались на обеды и завтраки французские офицеры из гвардии и главного французского штаба.
24 го июня вечером, граф Жилинский, сожитель Бориса, устроил для своих знакомых французов ужин. На ужине этом был почетный гость, один адъютант Наполеона, несколько офицеров французской гвардии и молодой мальчик старой аристократической французской фамилии, паж Наполеона. В этот самый день Ростов, пользуясь темнотой, чтобы не быть узнанным, в статском платье, приехал в Тильзит и вошел в квартиру Жилинского и Бориса.
В Ростове, также как и во всей армии, из которой он приехал, еще далеко не совершился в отношении Наполеона и французов, из врагов сделавшихся друзьями, тот переворот, который произошел в главной квартире и в Борисе. Все еще продолжали в армии испытывать прежнее смешанное чувство злобы, презрения и страха к Бонапарте и французам. Еще недавно Ростов, разговаривая с Платовским казачьим офицером, спорил о том, что ежели бы Наполеон был взят в плен, с ним обратились бы не как с государем, а как с преступником. Еще недавно на дороге, встретившись с французским раненым полковником, Ростов разгорячился, доказывая ему, что не может быть мира между законным государем и преступником Бонапарте. Поэтому Ростова странно поразил в квартире Бориса вид французских офицеров в тех самых мундирах, на которые он привык совсем иначе смотреть из фланкерской цепи. Как только он увидал высунувшегося из двери французского офицера, это чувство войны, враждебности, которое он всегда испытывал при виде неприятеля, вдруг обхватило его. Он остановился на пороге и по русски спросил, тут ли живет Друбецкой. Борис, заслышав чужой голос в передней, вышел к нему навстречу. Лицо его в первую минуту, когда он узнал Ростова, выразило досаду.
– Ах это ты, очень рад, очень рад тебя видеть, – сказал он однако, улыбаясь и подвигаясь к нему. Но Ростов заметил первое его движение.
– Я не во время кажется, – сказал он, – я бы не приехал, но мне дело есть, – сказал он холодно…
– Нет, я только удивляюсь, как ты из полка приехал. – «Dans un moment je suis a vous», [Сию минуту я к твоим услугам,] – обратился он на голос звавшего его.
– Я вижу, что я не во время, – повторил Ростов.
Выражение досады уже исчезло на лице Бориса; видимо обдумав и решив, что ему делать, он с особенным спокойствием взял его за обе руки и повел в соседнюю комнату. Глаза Бориса, спокойно и твердо глядевшие на Ростова, были как будто застланы чем то, как будто какая то заслонка – синие очки общежития – были надеты на них. Так казалось Ростову.
– Ах полно, пожалуйста, можешь ли ты быть не во время, – сказал Борис. – Борис ввел его в комнату, где был накрыт ужин, познакомил с гостями, назвав его и объяснив, что он был не статский, но гусарский офицер, его старый приятель. – Граф Жилинский, le comte N.N., le capitaine S.S., [граф Н.Н., капитан С.С.] – называл он гостей. Ростов нахмуренно глядел на французов, неохотно раскланивался и молчал.
Жилинский, видимо, не радостно принял это новое русское лицо в свой кружок и ничего не сказал Ростову. Борис, казалось, не замечал происшедшего стеснения от нового лица и с тем же приятным спокойствием и застланностью в глазах, с которыми он встретил Ростова, старался оживить разговор. Один из французов обратился с обыкновенной французской учтивостью к упорно молчавшему Ростову и сказал ему, что вероятно для того, чтобы увидать императора, он приехал в Тильзит.
– Нет, у меня есть дело, – коротко ответил Ростов.
Ростов сделался не в духе тотчас же после того, как он заметил неудовольствие на лице Бориса, и, как всегда бывает с людьми, которые не в духе, ему казалось, что все неприязненно смотрят на него и что всем он мешает. И действительно он мешал всем и один оставался вне вновь завязавшегося общего разговора. «И зачем он сидит тут?» говорили взгляды, которые бросали на него гости. Он встал и подошел к Борису.
– Однако я тебя стесняю, – сказал он ему тихо, – пойдем, поговорим о деле, и я уйду.
– Да нет, нисколько, сказал Борис. А ежели ты устал, пойдем в мою комнатку и ложись отдохни.
– И в самом деле…
Они вошли в маленькую комнатку, где спал Борис. Ростов, не садясь, тотчас же с раздраженьем – как будто Борис был в чем нибудь виноват перед ним – начал ему рассказывать дело Денисова, спрашивая, хочет ли и может ли он просить о Денисове через своего генерала у государя и через него передать письмо. Когда они остались вдвоем, Ростов в первый раз убедился, что ему неловко было смотреть в глаза Борису. Борис заложив ногу на ногу и поглаживая левой рукой тонкие пальцы правой руки, слушал Ростова, как слушает генерал доклад подчиненного, то глядя в сторону, то с тою же застланностию во взгляде прямо глядя в глаза Ростову. Ростову всякий раз при этом становилось неловко и он опускал глаза.
– Я слыхал про такого рода дела и знаю, что Государь очень строг в этих случаях. Я думаю, надо бы не доводить до Его Величества. По моему, лучше бы прямо просить корпусного командира… Но вообще я думаю…
– Так ты ничего не хочешь сделать, так и скажи! – закричал почти Ростов, не глядя в глаза Борису.
Борис улыбнулся: – Напротив, я сделаю, что могу, только я думал…
В это время в двери послышался голос Жилинского, звавший Бориса.
– Ну иди, иди, иди… – сказал Ростов и отказавшись от ужина, и оставшись один в маленькой комнатке, он долго ходил в ней взад и вперед, и слушал веселый французский говор из соседней комнаты.


Ростов приехал в Тильзит в день, менее всего удобный для ходатайства за Денисова. Самому ему нельзя было итти к дежурному генералу, так как он был во фраке и без разрешения начальства приехал в Тильзит, а Борис, ежели даже и хотел, не мог сделать этого на другой день после приезда Ростова. В этот день, 27 го июня, были подписаны первые условия мира. Императоры поменялись орденами: Александр получил Почетного легиона, а Наполеон Андрея 1 й степени, и в этот день был назначен обед Преображенскому батальону, который давал ему батальон французской гвардии. Государи должны были присутствовать на этом банкете.
Ростову было так неловко и неприятно с Борисом, что, когда после ужина Борис заглянул к нему, он притворился спящим и на другой день рано утром, стараясь не видеть его, ушел из дома. Во фраке и круглой шляпе Николай бродил по городу, разглядывая французов и их мундиры, разглядывая улицы и дома, где жили русский и французский императоры. На площади он видел расставляемые столы и приготовления к обеду, на улицах видел перекинутые драпировки с знаменами русских и французских цветов и огромные вензеля А. и N. В окнах домов были тоже знамена и вензеля.
«Борис не хочет помочь мне, да и я не хочу обращаться к нему. Это дело решенное – думал Николай – между нами всё кончено, но я не уеду отсюда, не сделав всё, что могу для Денисова и главное не передав письма государю. Государю?!… Он тут!» думал Ростов, подходя невольно опять к дому, занимаемому Александром.
У дома этого стояли верховые лошади и съезжалась свита, видимо приготовляясь к выезду государя.
«Всякую минуту я могу увидать его, – думал Ростов. Если бы только я мог прямо передать ему письмо и сказать всё, неужели меня бы арестовали за фрак? Не может быть! Он бы понял, на чьей стороне справедливость. Он всё понимает, всё знает. Кто же может быть справедливее и великодушнее его? Ну, да ежели бы меня и арестовали бы за то, что я здесь, что ж за беда?» думал он, глядя на офицера, всходившего в дом, занимаемый государем. «Ведь вот всходят же. – Э! всё вздор. Пойду и подам сам письмо государю: тем хуже будет для Друбецкого, который довел меня до этого». И вдруг, с решительностью, которой он сам не ждал от себя, Ростов, ощупав письмо в кармане, пошел прямо к дому, занимаемому государем.
«Нет, теперь уже не упущу случая, как после Аустерлица, думал он, ожидая всякую секунду встретить государя и чувствуя прилив крови к сердцу при этой мысли. Упаду в ноги и буду просить его. Он поднимет, выслушает и еще поблагодарит меня». «Я счастлив, когда могу сделать добро, но исправить несправедливость есть величайшее счастье», воображал Ростов слова, которые скажет ему государь. И он пошел мимо любопытно смотревших на него, на крыльцо занимаемого государем дома.
С крыльца широкая лестница вела прямо наверх; направо видна была затворенная дверь. Внизу под лестницей была дверь в нижний этаж.
– Кого вам? – спросил кто то.
– Подать письмо, просьбу его величеству, – сказал Николай с дрожанием голоса.
– Просьба – к дежурному, пожалуйте сюда (ему указали на дверь внизу). Только не примут.
Услыхав этот равнодушный голос, Ростов испугался того, что он делал; мысль встретить всякую минуту государя так соблазнительна и оттого так страшна была для него, что он готов был бежать, но камер фурьер, встретивший его, отворил ему дверь в дежурную и Ростов вошел.
Невысокий полный человек лет 30, в белых панталонах, ботфортах и в одной, видно только что надетой, батистовой рубашке, стоял в этой комнате; камердинер застегивал ему сзади шитые шелком прекрасные новые помочи, которые почему то заметил Ростов. Человек этот разговаривал с кем то бывшим в другой комнате.
– Bien faite et la beaute du diable, [Хорошо сложена и красота молодости,] – говорил этот человек и увидав Ростова перестал говорить и нахмурился.
– Что вам угодно? Просьба?…
– Qu'est ce que c'est? [Что это?] – спросил кто то из другой комнаты.
– Encore un petitionnaire, [Еще один проситель,] – отвечал человек в помочах.
– Скажите ему, что после. Сейчас выйдет, надо ехать.
– После, после, завтра. Поздно…
Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его.
– От кого? Вы кто?
– От майора Денисова, – отвечал Ростов.
– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.


На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.