Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции <math>f(x)</math>:

<math>f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,</math>

где <math>x_k = x_0 + hk,\ h=\mathrm{const}.</math>

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями <math>f</math> в узлах интерполяции, то есть

<math>\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k),\ k=\overline{0,n-1}.</math>

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

<math>\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}),\ k=\overline{0,n-2}.</math>

Конечной разностью порядка <math>m</math> (для <math>m \leq n</math>) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка <math>m-1</math>, то есть

<math>\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k,\ k=\overline{0,n-m}.</math>

Если ввести оператор смещения <math>\operatorname{E}</math> такой, что <math>\operatorname{E}y_k=y_{k+1}</math>, то оператор восходящей конечной разности <math>\Delta=\operatorname{E}-1</math> и

<math>\Delta^k=(\operatorname{E}-1)^k</math>,

который можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления <math>\Delta</math> заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: <math>\Delta^m_h (f, x)</math> — конечная разность порядка <math>m</math> от функции <math>f</math> c шагом <math>h</math>, взятая в точке <math>x</math>. Например, <math>\Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x)</math>.

Пример

Рассмотрим пример для функции <math>y = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 1</math>. См. на изображение.

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также

• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.

Отрывок, характеризующий Конечные разности

– Посмотрите, князь, – сказал другой, которому очень хотелось взять еще пирожок, но совестно было, и который поэтому притворялся, что он оглядывает местность, – посмотрите ка, уж забрались туда наши пехотные. Вон там, на лужку, за деревней, трое тащут что то. .Они проберут этот дворец, – сказал он с видимым одобрением.
– И то, и то, – сказал Несвицкий. – Нет, а чего бы я желал, – прибавил он, прожевывая пирожок в своем красивом влажном рте, – так это вон туда забраться.
Он указывал на монастырь с башнями, видневшийся на горе. Он улыбнулся, глаза его сузились и засветились.
– А ведь хорошо бы, господа!
Офицеры засмеялись.
– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.