Конструктивные способы определения вещественного числа

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Теория фундаментальных последовательностей Кантора

Излагаемый ниже подход к определению вещественных чисел был предложен Г. Кантором в статье, опубликованной в 1872 году. Сходные идеи высказывались Э. Гейне и Ш. Мере.

Критерий сходимости Коши и его использование Кантором

Исходным пунктом теории Кантора была следующая идея. Всякое вещественное число может быть задано с помощью последовательности рациональных чисел

<math>

a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots

</math>

представляющих приближения к этому вещественному числу с возрастающей степенью точности, то есть сходящейся к этому числу.

Давайте теперь понимать под вещественным числом некоторый объект <math>\alpha</math>, определяемый сходящейся последовательностью рациональных чисел <math>a_1, a_2, \ldots</math>.

Однако здесь скрывается порочный круг. В определении сходящейся последовательности участвует вещественное число, являющееся её пределом — то самое понятие, которое мы хотим определить при помощи сходящихся последовательностей:

<math>\{a_n\}</math> сходится <math>\Longleftrightarrow</math> существует <math>\alpha \in \R</math>, такое что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha</math>

Чтобы не получился порочный круг, необходимо иметь некоторый признак, который позволяет выразить условие сходимости последовательности в терминах её членов, то есть без того чтобы говорить о самом значении предела последовательности.

Ко времени Кантора такой критерий уже был найден. Его в общей форме установил французский математик О. Коши . Согласно критерию Коши последовательность <math>a_1, a_2, \ldots</math> сходится тогда и только тогда, когда

<math>

\forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \; \forall n > N(\varepsilon) \; \forall m > 0 \; | a_{n+m} - a_n | < \varepsilon

</math>

Образно говоря, условие сходимости последовательности в критерии Коши заключается в том, что её члены, начиная с некоторого номера, будут лежать сколь угодно близко друг от друга.

Разумеется, Коши был не в состоянии дать сколько-нибудь строгое обоснование этого критерия вследствие отсутствия теории вещественного числа.

Кантор в определённом смысле поставил все с ног на голову. Он обратил внимание на то, что этот признак сам по себе характеризует внутренние свойства сходящейся последовательности: он может быть сформулирован и проверяем без того чтобы говорить о самом вещественном числе, являющимся пределом этой последовательности. И поэтому этот признак может быть использован для выделения класса последовательностей, при помощи которых можно определять вещественные числа.

Таким образом, основной шаг, который делает Кантор в построении теории вещественного числа заключается в том, что он рассматривает всякую последовательность рациональных чисел <math>a_1, a_2, \ldots</math>, удовлетворяющую условию Коши как определяющую некоторое (рациональное или иррациональное) вещественное число.

Когда я говорю о числовой величине в обобщённом смысле, это происходит прежде всего в том случае, когда предложена бесконечая последовательность рациональных чисел <math> a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots </math> заданная при помощи некоторого закона и обладающая тем свойством, что разность <math>a_{n+m}-a_n</math> становится бесконечно малой при возрастании <math>n</math>, каково бы ни было целое положительное <math>m</math>, или, другими словами, что для произвольно выбранного (положительного рационального) <math>\varepsilon</math> существует такое целое число <math>n</math>, что <math> a_{n+m}-a_n < \varepsilon</math>, и <math>m</math> — любое положительное целое число. Г. Кантор

В современной терминологии последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется последовательностью Коши, или фундаментальной последовательностью.

Построение теории вещественных чисел по Кантору

Две фундаментальные последовательности <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math> могут определять одно и то же вещественное число. Это имеет место при условии

<math>

\forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \; \forall n > N(\varepsilon) \; | a_n - b_n | < \varepsilon

</math>

Таким образом, на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел устанавливается отношение эквивалентности, и в соответствии с общим принципом все фундаментальные последовательности разбиваются на классы эквивалентности. Смысл этого разбиения таков, что последовательности из одного класса определяют одно и то же вещественное число, а последовательности из разных — разные. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, и классам фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Теперь мы можем сформулировать основное определение теории вещественных чисел Кантора.

Определение. Вещественное число есть класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Вещественное число (класс эквивалентности), определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел <math>\{ a_n\}</math> обозначим <math>[a_n]</math>.

Арифметические действия с вещественными числами вводятся следующим образом. Если даны два вещественных <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, определённые фундаментальными последовательностями <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>, так что

<math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>

то суммой <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется вещественное число, определяемое последовательностью <math>\{a_n + b_n\}</math>, то есть класс эквивалентости, содержащий эту последовательность:

<math>

\alpha + \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n + b_n]

</math>

Нетрудно проверить, что это определение корректно, то есть не зависит от выбора конкретных последовательностей <math>\{a_n\}</math> из класса <math>\alpha</math> и <math>\{b_n\}</math> из класса <math>\beta</math>.

Аналогично определяются разность, произведение и частное вещественных чисел.

Вещественное число <math>\alpha=[a_n]</math> по определению больше числа <math>\beta=[b_n]</math>, то есть <math>\alpha > \beta</math>, если

<math>

\exists \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon

</math>

Это определение не зависит от выбора последовательностей <math>\{a_n\}</math> из класса <math>\alpha</math> и <math>\{b_n\}</math> из класса <math>\beta</math>.

Система рациональных чисел включается в систему вещественных чисел посредством дополнительного соглашения, согласно которому последовательность

<math>

a, a, \ldots a, \ldots

</math>

все члены которой равны одному и тому же рациональному числу <math>a</math> определяет это само число, так что <math>[a]\overset{\text{def}}{=}a</math>. Иначе говоря, всякий класс <math>[a]</math>, содержащий стационарную последовательность <math>a, a, \ldots a, \ldots</math> отождествляется c числом <math>a</math>. Таким образом, сконструированное множество вещественных чисел является расширением множества рациональных.

На этом построение множества вещественных чисел завершено. Далее, на основе введенных определений можно доказать известные свойства вещественных чисел.

Полнота множества вещественных чисел

Из определения вытекает, что всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому вещественному числу. Этот принцип лежал в основе определения вещественного числа. Благодаря ему, множество рациональных чисел пополнилось новыми элементами — иррациональными числами — пределами фундаментальных последовательностей рациональных чисел, которые в старом множестве рациональных чисел предела не имели.

Возникает закономерный вопрос, нельзя ли провести аналогичную процедуру пополнения ещё раз, уже для построенного множества вещественных чисел: образовать фундаментальные последовательности вещественных чисел и пополнить множество вещественных чисел пределами тех из них, которые до этого предела не имели.

Оказывается, это сделать не получится. Всякая фундаментальная последовательность вещественных чисел имеет предел во множестве вещественных чисел. Другими словами, множество вещественных чисел содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов. Это свойство множества вещественных чисел называется полнотой. А само утверждение о сходимости всякой фундаментальной последовательности вещественных чисел составляет основное содержание критерия сходимости Коши, который в теории Кантора является центральной теоремой.

Идея пополнения множества рациональных чисел пределами фундаментальных последовательностей, использованная Кантором для «создания» иррациональных чисел, была позже использована Ф. Хаусдорфом при доказательстве знаменитой теоремы о пополнении метрического пространства.

Теория бесконечных десятичных дробей

Теория бесконечных десятичных дробей восходит к К. Вейерштрассу. Около 1863 г. он разработал теорию вещественных чисел, которая была опубликована по записям его лекций в 1872 г.. Впрочем, оригинальная версия теории Вейерштрасса несколько отличается от теории бесконечных десятичных дробей, излагаемой в современных учебниках математического анализа (см. ниже Исторический комментарий).

Рациональные числа и десятичные дроби

См. также: Десятичная дробь

Как и в случае теории Кантора, мы предполагаем заданным множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Известно, что всякое рациональное число <math>p/q \in \mathbb{Q}</math> может быть разложено в десятичную дробь, что мы будем записывать в виде:

<math>

p/q \sim \pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

</math>

В случае если процесс разложения остановится после конечного числа шагов, десятичная дробь будет конечной, в противном случае — бесконечной.

Всякую десятичную дробь, конечную или бесконечную, можно рассматривать как формальный ряд вида

<math>

\pm \sum_{k} a_k \cdot 10^{-k}

</math>

где индекс <math>k</math> пробегает либо начальный отрезок натурального ряда <math>0, 1, \ldots, n</math>, либо весь натуральный ряд <math>0, 1, 2, \ldots</math> соответственно. Можно показать, что ряд, полученный при разложении рационального числа <math>p/q</math> в десятичную дробь всегда сходится, и его сумма равна данному рациональному числу.

Важным для дальнейшего изложения является тот факт, что если при разложении рационального числа получается бесконечная десятичная дробь, то эта дробь всегда будет периодической.

Таким образом, между рациональными числами и десятичными дробями существует соответствие, при котором каждому рациональному числу соответствует единственная десятичная дробь, но при этом для некоторых дробей (а именно, бесконечных непериодических) нет соответствующего им рационального числа. Естественно предположить, что этим дробям также соответствуют некоторые гипотетические числа, не являющиеся рациональными. Вводя в рассмотрение эти гипотетические числа, которые мы назовем иррациональными, мы как бы заполняем бреши в совокупности всех десятичных дробей.

Таким образом, в основу теории вещественного числа мы кладем предположение (идею), что всякая десятичная дробь является разложением некоторого, рационального или иррационального, вещественного числа <math>\alpha</math>:

<math>

\alpha \sim \pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

</math>

При этом мы интерпретируем это разложение также как и в случае рациональных чисел, то есть считаем что вещественное число <math>\alpha</math> есть сумма ряда

<math>

\pm \sum_{k} a_k \cdot 10^{-k}

</math>

Построение теории бесконечных десятичных дробей

Определение. Вещественное число есть бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида

<math>

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

</math>

где <math>\pm</math> есть один из символов <math>+</math> или <math>-</math>, называемый знаком числа, <math>a_0</math> — целое неотрицательное число, <math>a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots</math> — последовательность десятичных знаков (то есть элементов числового множества <math>\{0, 1, \ldots 9\}</math>).

При этом мы считаем по определению, что дроби <math>+0,00\ldots</math> и <math>-0,00\ldots</math> представляют одно и то же число, а также одно и то же число представляют дроби вида <math>\pm a_0, a_1 \ldots a_n 999 \ldots</math> и <math>\pm a_0, a_1 \ldots (a_n+1) 000 \ldots, \;(a_n \neq 9)</math>. Смысл этого соглашения очевиден, поскольку рациональные числа, соответствующие этим дробям совпадают.

Естественно сразу условиться, что периодические бесконечные десятичные дроби представляют соответствующие им рациональные числа. Другими словами, мы отождествляем периодические дроби с рациональными числами. При таком соглашении, множество рациональных чисел является подмножество совокупности всех вещественных чисел.

Ниже приведен набросок построения теории бесконечных десятичных дробей.

Вначале определяется порядок на множестве всех бесконечных десятичных дробей. Делается это на основе последовательного сравнения разрядов чисел от старших к младшим. Например, пусть даны два неотрицательных числа

<math>

\begin{matrix} \alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\ \beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots \end{matrix}

</math>

Пусть <math>a_n</math> и <math>b_n</math> — первые несовпадающие знаки в десятичной записи <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Тогда если <math>a_n < b_n</math>, то по определению <math>\alpha < \beta</math>, а если <math>a_n > b_n</math>, то <math>\alpha > \beta</math>. На основе сравнения двух неотрицательных чисел определяется сравнимость любых двух вещественных чисел.

Можно показать, что введенное отношение сравнения <math><</math> задаёт на множестве бесконечных десятичных дробей структуру линейно упорядоченного множества. Также можно показать, что для периодических дробей установленное отношение порядка совпадает с уже существующим отношением сравнимости рациональных чисел.

После введения отношение порядка на множестве бесконечных десятичных дробей доказывается принципиальная для построения теории вещественного числа теорема о точной верхней грани. Эта теорема выражает собой тот факт, что упорядоченная совокупность вещественных чисел обладает свойством непрерывности (полноты) по Дедекинду.

Теперь арифметические операции, уже введенные на подмножестве рациональных чисел, распространяются на все множество вещественных чисел по непрерывности.

Именно, пусть <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два вещественных числа. Их суммой называется вещественное число <math>\alpha + \beta</math>, удовлетворяющее следующему условию:

<math>

\forall a', a, b', b \in \mathbb{Q} \; (a' \leqslant \alpha \leqslant a) \and (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a + b)

</math>

Можно показать, что вещественное число, удовлетворяющее этому условию существует и единственно.

Аналогично определяется умножение чисел. Произведением двух положительных вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется вещественное число <math>\alpha \cdot \beta</math>, удовлетворяющее следующему условию:

<math>

\forall a', a, b', b \in \mathbb{Q} \; (a' > 0) \and (b' > 0) \and (a' \leqslant \alpha \leqslant a) \and (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a' \cdot b' \leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a \cdot b)

</math>

Как и в случае сложения, число удовлетворяющее этому условию существует и единственно. После этого легко определить умножению двух вещественных чисел с произвольными знаками.

Можно проверить, что введенные на множестве вещественных чисел операции сложения и умножения совпадают с операциями сложения и умножения рациональных чисел.

На этом построение теории бесконечных десятичных дробей завершено. Далее используя введенные определения можно доказать известные свойства вещественных чисел, связанные с арифметическими операциями и отношением сравнения.

В заключение отметим, что определив понятие предела последовательности и суммы ряда вещественных чисел, можно доказать предложение, которое анонсировалось при введении понятия вещественного числа. А именно: всякое вещественное число является суммой ряда своего десятичного разложения. То есть если

<math>

\alpha \sim \pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

</math>

то

<math>\alpha = \pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

Исторический комментарий

Как уже было отмечено выше, сам Вейерштрасс рассматривал несколько другую конструкцию.

Изложенная выше теория вещественных чисел может быть кратко определена как теория формальных рядов вида

<math>\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

где <math>a_0</math> — целое неотрицательное, а <math>a_k, k=1, 2, \ldots</math> — десятичные знаки

Вейерштрасс же рассматривал формальные ряды более общего вида:

<math>\pm \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot 1/n</math>

где <math>a_n, n=1, 2, \ldots</math> — произвольные целые неотрицательные числа.

Очевидно, что в такой конструкции вещественное число может быть представлено бесконечно многими способами. Кроме того, ясно что далеко не всем таким рядам можно приписать числовое значение. Например, ряд

<math>\sum_{n=1}^{\infty} 1/n</math>

расходится.

Поэтому Вейерштрасс, во-первых, рассматривает только сходящиеся ряды — он определяет такие ряды как ряды с ограниченными частичными суммами (см. признак сходимости ряда с неотрицательными членами) и, во-вторых, вводит на этом множестве отношение эквивалентности. Вещественное число определяется как класс эквивалентных сходящихся рядов.

Разумеется, способ определения вещественных чисел с помощью десятичных дробей, то есть с помощью разложения не по всем аликвотным дробям (то есть дробям вида <math>1/n</math>), а только по степеням десятки <math>1/10^k</math> удобнее, поскольку этим достигается единственность представления вещественного числа в виде ряда. Однако, если мы вернемся к общему способу Вейерштрасса, то станет очевидна аналогия между подходом Вейерштрасса и подходом Кантора. Кантор определял вещественное число как класс эквивалентности сходящихся последовательностей рациональных чисел, причем для определения сходимости последовательности он использовал критерий Коши. Вейерштрасс сделал то же самое, только вместо сходящихся последовательностей он рассматривал сходящиеся ряды, а вместо критерия Коши сходимости последовательности использовал признак сходимости ряда с неотрицательными членами (кстати, эквивалентная теорема о пределе монотонной последовательности носит имя Вейерштрасса).

Теория сечений в области рациональных чисел

Теория Дедекинда является наиболее простой и исторически первой строгой теорией вещественного числа. В отличие от аналитических подходов Кантора и Вейерштрасса, в основе теории Дедекинда лежат геометрические соображения; отсюда — её наглядность.

Ценность теории Дедекинда заключается в том, что помимо построения вещественных чисел, в ней впервые была выявлена математическая сущность понятия непрерывности — понятия, которое лежит в основе математического анализа и которое до этого веками использовали, ссылаясь на очевидность, либо на соображения геометрического характера.

Теория Дедекинда, построенная в 1858 году, была опубликована в 1872 году в небольшой брошюре [www.mathesis.ru/book/dedekind4 «Непрерывность и иррациональные числа»] (нем. «Stetigkeit und irrationale Zahlen»). По сей день эта книжка остается одним из лучших по ясности и доступности изложений предмета. Ниже в этой статье мы будем следовать, в основном, за ходом мысли самого Дедекинда.

Постановка вопроса

Чтобы понять проблему, поставленную Дедекиндом, в общих чертах опишем положение вещей в математическом анализе, имевшее место в то время.

При изложении курса дифференциального исчисления, которое по большей части велось строгими методами, для доказательства некоторых предложений все же приходилось прибегать к геометрической наглядности.

Например, для доказательства теоремы о пределе монотонной последовательности чертили прямую линию, на которой отмечали точки <math>A_n</math>, изображавшие члены последовательности <math>a_n</math>. Далее произносились фразы следующего рода: «очевидно», существует точка <math>A</math>, к которой точки <math>A_n</math> неграничено приближаются, или «должна» существовать такая точка, поскольку числовая прямая «непрерывно заполнена точками». Далее, поскольку всякой точке на прямой соответствует некоторое рациональное или иррациональное число, то для соответствующего точке <math>A</math> числа <math>a</math> имеем: <math>\lim a_n = a</math>.

Говорят часто, что дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами, однако же нигде не дают определения этой непрерывности, и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности, а апеллируют, более или менее сознательно, либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут своё начало в геометрии, либо, наконец, основывают доказательство на положениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путём. Р. Дедекинд, [www.mathesis.ru/book/dedekind4 «Непрерывность и иррациональные числа»]

Необходимость для доказательства чисто арифметического (о числах) предложения привлекать соображения геометрического характера, вызывает определённое чувство неудовлетворения и свидетельствует о «недостатке обоснования арифметики», то есть об отсутствии строгой и полной теории числа. Но даже если допустить возможность геометрической аргументации, возникает другой вопрос: о непрерывности по отношению к точкам самой прямой линии. И, как оказывается, понятие непрерывности прямой линии лишено здесь логического определения.

Исходя из этого анализа, Дедекинд поставил следующие две задачи:

1. Найти логическую формулировку основного свойства прямой линии, которое заключено в наших наглядных представлениях о «непрерывной заполненности прямой точками»

2. Построить строгую чисто арифметическую теорию числа, так чтобы те свойства системы чисел, для обоснования которых ранее прибегали к наглядным геометрическим представлениям, теперь вытекали из общего определения числа

Сравнение рациональных чисел с точками прямой линии

Дедекинд исходит из множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, свойства которого предполагаются известными. Систему рациональных чисел он сопоставляет с совокупностью точек прямой линии <math>\mathbb{L}</math>, с тем чтобы выявить свойства последней.

Рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math> образуют совокупность, на которой заданы арифметические операции сложения и умножения, обладающие определёнными свойствами. Но для дальнейшего изложения крайне важным является тот факт, что совокупность <math>\mathbb{Q}</math> линейно упорядочена: для любых двух различных чисел <math>a</math> и <math>b</math> можно сказать, что одно из них меньше другого.

Совокупность точек прямой линии <math>\mathbb{L}</math> также является линейно упорядоченным множеством. Отношение порядка между двумя точками <math>p</math> и <math>q</math> здесь выражается в том, что одна точка <math>p</math> лежит левее другой <math>q</math>.

Это сходство между рациональными числами и точками прямой можно развить, установив соответствие между ними. Как известно, для этого на прямой выбирают определённую начальную точку, определённую единицу длины для измерения отрезков, а также положительное направление. Для каждого <math>a \in \mathbb{Q}</math> можно построить соответствующую длину, и, отложив её от начальной точки вправо или влево, смотря по тому, положительно число <math>a</math>, или нет, мы получим определённую точку <math>p \in \mathbb{L}</math>, соответствующую рациональному числу <math>a</math>.

Таким образом, каждому рациональному числу <math>a \in \mathbb{Q}</math> можно поставить в соответствие определённую точку <math>p \in \mathbb{L}</math>. При этом разным числам будут соответствовать разные точки. Более того, если число <math>a</math> меньше <math>b</math>, то точка <math>p</math>, соответствующая <math>a</math>, будет лежать влево от точки <math>q</math>, соответствующей <math>b</math>. Другими словами, установленное соотношение сохраняет порядок.

Непрерывность прямой линии

Вместе с тем оказывается, что на прямой <math>\mathbb{L}</math> имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Это следует из существования несоизмеримых отрезков, что было известно ещё древним (например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, то есть иррациональность <math>\sqrt{2}</math>).

Образно говоря, прямая <math>\mathbb{L}</math> более плотно заполнена точками, чем совокупность рациональным чисел <math>\mathbb{Q}</math> — числами. Мы видим, что во множестве рациональных чисел есть пустоты, пробелы, соответствующие тем точкам прямой, для которых не нашлось соответствующего рационального числа, в то время про прямую мы говорим, что она «непрерывно заполнена точками».

Предыдущее сравнение области рациональных чисел с прямой привело к открытию в первой изъянов (Lückenhaftigkeit), неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, непрерывность. Р. Дедекинд, [www.mathesis.ru/book/dedekind4 «Непрерывность и иррациональные числа»]

В чём же, собственно, состоит эта непрерывность? Как это свойство прямой выразить математически?

Дедекинд делает следующее наблюдение. Если <math>p</math> есть определённая точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: те, что расположены левее <math>p</math>, и те, что расположены правее <math>p</math>; сама же точка <math>p</math> может быть произвольно отнесена либо к первому, либо ко второму классу. Вместе с тем для точек прямой имеет место обратный принцип:

Если точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска. Р. Дедекинд, [www.mathesis.ru/book/dedekind4 «Непрерывность и иррациональные числа»]

Геометрически это предложение представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд указывает, что в действительности этот принцип является ни чем иным как постулатом, в котором выражена сущность свойства непрерывности прямой линии. Принимая его, мы приписываем прямой линии то свойство, которые называем её непрерывностью.

Принятие этого свойства прямой линии есть ни что иное, как аксиома, посредством которой мы только и признаем за прямой её непрерывность, мысленно вкладываем непрерывность в прямую. Р. Дедекинд, [www.mathesis.ru/book/dedekind4 «Непрерывность и иррациональные числа»]

Поясним содержание и геометрическую интерпретацию принципа Дедекинда. Представим, что все точки прямой покрашены в два цвета — зелёный и красный, так что каждая точка зелёного цвета лежит левее каждой точки красного цвета.
Геометрически очевидно, должна существовать такая точка прямой, в которой краски приходят в соприкосновение. Эта точка и производит «разделение прямой на два класса»: все точки зелёного цвета лежат слева от неё, а все точки красного цвета — справа. В этом и заключается принцип Дедекинда. При этом сама точка «стыка цветов» также должна быть определённого цвета, поскольку по условию закрашены все без исключения точки прямой. Эта точка должна быть либо зелёного цвета, являясь в этом случае последней зелёной точкой, либо красного цвета — при этом являясь первой красной точкой. Как нетрудно видеть, эти два варианта исключают друг друга: в первом случае не существует первой красной точки — существуют красные точки сколь угодно близкие к месту стыка, но первой среди них нет, а во втором случае по аналогичным причинам нет последней зелёной точки. Теперь обратим внимание на то, какие логические возможности, могущие иметь место теоретически, мы исключили, апеллируя к геометрической наглядности. Нетрудно видеть, что их всего две: во-первых, могло бы случиться, что одновременно существуют и последняя зелёная и первая красная точка; во-вторых, могло бы случиться, что нет ни последней зелёной, ни первой красной точек.

Про первую ситуацию говорят, что имеет место скачок. Такая картина возможна для прямой, из которой выброшен целых интервал промежуточных точек.

Для описания второй ситуации используют термин пробел. Такая картина может иметь место для прямой, из которой удалили целый отрезок, включая его концы — в частности, если удалили единственную точку.

Таким образом, непрерывность прямой означает, что в ней нет ни скачков, ни пробелов — короче, нет пустот.

Замечательно, что приведённое выше определение непрерывности применимо к любой упорядоченной совокупности элементов.

Непрерывность по Дедекинду

Дадим теперь точную формулировку непрерывности по Дедекинду, применимую к произвольному линейно упорядоченному множеству.

Определение. Пусть <math>\mathsf{L}</math> — линейно упорядоченное множество. Упорядоченная пара множеств <math>A</math> и <math>A'</math> называется сечением в <math>\mathsf{L}</math>, а сами множества <math>A</math> и <math>A'</math> — соответственно нижним и верхним классами данного сечения, если удовлетворены следующие условия:

1. Классы непусты:

<math>A \neq \varnothing, A' \neq \varnothing</math>

2. Каждая элемент <math>\mathsf{L}</math> принадлежит по крайней мере одному из классов

<math>A \cup A' = \mathsf{L}</math>

3. Каждый элемент нижнего класса меньше любого элемента верхнего класса:

<math>\forall a \in A, \forall a' \in A' \; (a < a')</math>

Сечение мы будем обозначать <math>A|A'</math>.

Определение. Линейно упорядоченное множество <math>\mathsf{L}</math> называется непрерывным (по Дедекинду), если каково бы ни было его сечение, либо в нижнем классе сечения существует наибольший элемент, а в верхнем нет наименьшего; либо в верхнем классе существует наименьший элемент, а в нижнем нет наибольшего (такие сечения называются дедекиндовыми).

В качестве примера рассмотрим множество рациональных чисел. Легко видеть, что в нём не может быть скачков: если <math>a</math> — максимальный элемент нижнего класса, <math>b</math> — минимальный элемент верхнего класса, то число <math>(a+b)/2</math>, лежащее посередине между <math>a</math> и <math>b</math>, не может принадлежать ни нижнему, ни верхнему классу, что противоречит определению сечения.

Вместе с тем, в множестве рациональных чисел есть пробелы — как раз на тех местах, где должны находиться иррациональные числа. Рассмотрим, например, сечение <math>A|A'</math>, определяемое множествами

<math>A = \{x \in \mathbb{Q}: x \leq 0 \or (x > 0 \and x^2 < 2)\}, A' = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0 \and x^2 > 2\}</math>

Нетрудно видеть, что это действительно сечение, однако в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем нет минимального. То есть имеем пробел.

Конструирование иррациональных чисел

Таким образом, совокупность рациональных чисел, в отличие от прямой линии, не является непрерывной: в ней есть пробелы. В свете всего вышеизложенного становится ясно, что для построения множества действительных чисел, элементы которого ассоциируются с точками прямой линии, необходимо заполнить все пустые места, имеющиеся в совокупности рациональных чисел.

Для всякого сечения <math>A|A'</math> множества рациональных типа пробел мы присоединяем к совокупности <math>\mathbb{Q}</math> новый элемент (иррациональное число) <math>\alpha</math>, который по определению больше всякого числа <math>a</math> из нижнего класса, и меньше всякого числа <math>a'</math> из верхнего класса. Тем самым мы заполняем пустое место между классами сечения. Мы будем говорить, что сечение <math>A|A'</math> определяет иррациональное число <math>\alpha</math>, или же, что иррациональное число <math>\alpha</math> производит сечение <math>A|A'</math>.

Объединяя все возможные случаи, мы может сказать, что всякое сечение в области рациональных чисел определяет некоторое рациональное или иррациональное число, которое это сечение производит.

Определение. Иррациональным числом называется всякое сечение в множестве рациональных чисел, в нижнем классе которого нет наибольшего элемента, а в верхнем нет наименьшего.

Определение. Множеством вещественных чисел называется объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Всякий элемент множества вещественных чисел называется вещественным числом.

Множество вещественных чисел, как нетрудно видеть, линейно упорядочено по введенному отношению порядка. Принципиальное значение имеет следующий факт.

Теорема. Множество вещественных чисел непрерывно по Дедекинду.

Это предложение не вытекает автоматически из определения иррациональных чисел, которыми заполнялись пробелы в совокупности рациональных. Оно требует доказательства.

Операции сложения и умножения вводятся на множестве вещественных чисел по непрерывности (точно также как и в теории бесконечных десятичных дробей). Именно, суммой двух вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> называется вещественое число <math>\gamma</math>, удовлетворяющее следующему условию:

<math>\forall a, a', b, b' \; (a \leqslant \alpha \leqslant a') \and (b \leqslant \beta \leqslant b') \Rightarrow (a + a' \leqslant \gamma \leqslant b + b')</math>

Из непрерывности вещественных чисел следует, что такое вещественное число <math>\gamma</math> существует и единственно. Кроме того, если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — рациональные числа, то это определение совпадает с обычным определением суммы двух рациональных чисел. Аналогично вводится умножение и доказываются свойства операций и отношения порядка.

Литература

Использованная литература

• Арнольд В. И. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.

• Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

• Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц.. — М.: МИР, 1986. — 432 с.

• Дедекинд Р. [www.mathesis.ru/book/dedekind4 Непрерывность и иррациональные числа] = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.

• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр.. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9.

• Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1.

• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трёх томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.

• Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.

• Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.

• Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.

• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4.

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X.

Рекомендуемая литература

• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
• История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трёх томах / под ред. Юшкевича. — Т. 1.
• Арнольд В. И. Теоретическая арифметика.
• Дедекинд Р. [www.mathesis.ru/book/dedekind4 Непрерывность и иррациональные числа] = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 с.
• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.
• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Конструктивные способы определения вещественного числа

Ростов опять лег на свою кровать и с удовольствием подумал: «пускай его теперь возится, хлопочет, я свое дело отделал и лежу – отлично!» Из за стенки он слышал, что, кроме вахмистра, еще говорил Лаврушка, этот бойкий плутоватый лакей Денисова. Лаврушка что то рассказывал о каких то подводах, сухарях и быках, которых он видел, ездивши за провизией.
За балаганом послышался опять удаляющийся крик Денисова и слова: «Седлай! Второй взвод!»
«Куда это собрались?» подумал Ростов.
Через пять минут Денисов вошел в балаган, влез с грязными ногами на кровать, сердито выкурил трубку, раскидал все свои вещи, надел нагайку и саблю и стал выходить из землянки. На вопрос Ростова, куда? он сердито и неопределенно отвечал, что есть дело.
– Суди меня там Бог и великий государь! – сказал Денисов, выходя; и Ростов услыхал, как за балаганом зашлепали по грязи ноги нескольких лошадей. Ростов не позаботился даже узнать, куда поехал Денисов. Угревшись в своем угле, он заснул и перед вечером только вышел из балагана. Денисов еще не возвращался. Вечер разгулялся; около соседней землянки два офицера с юнкером играли в свайку, с смехом засаживая редьки в рыхлую грязную землю. Ростов присоединился к ним. В середине игры офицеры увидали подъезжавшие к ним повозки: человек 15 гусар на худых лошадях следовали за ними. Повозки, конвоируемые гусарами, подъехали к коновязям, и толпа гусар окружила их.
– Ну вот Денисов всё тужил, – сказал Ростов, – вот и провиант прибыл.
– И то! – сказали офицеры. – То то радешеньки солдаты! – Немного позади гусар ехал Денисов, сопутствуемый двумя пехотными офицерами, с которыми он о чем то разговаривал. Ростов пошел к нему навстречу.
– Я вас предупреждаю, ротмистр, – говорил один из офицеров, худой, маленький ростом и видимо озлобленный.
– Ведь сказал, что не отдам, – отвечал Денисов.
– Вы будете отвечать, ротмистр, это буйство, – у своих транспорты отбивать! Наши два дня не ели.
– А мои две недели не ели, – отвечал Денисов.
– Это разбой, ответите, милостивый государь! – возвышая голос, повторил пехотный офицер.
– Да вы что ко мне пристали? А? – крикнул Денисов, вдруг разгорячась, – отвечать буду я, а не вы, а вы тут не жужжите, пока целы. Марш! – крикнул он на офицеров.
– Хорошо же! – не робея и не отъезжая, кричал маленький офицер, – разбойничать, так я вам…
– К чог'ту марш скорым шагом, пока цел. – И Денисов повернул лошадь к офицеру.
– Хорошо, хорошо, – проговорил офицер с угрозой, и, повернув лошадь, поехал прочь рысью, трясясь на седле.
– Собака на забог'е, живая собака на забог'е, – сказал Денисов ему вслед – высшую насмешку кавалериста над верховым пехотным, и, подъехав к Ростову, расхохотался.
– Отбил у пехоты, отбил силой транспорт! – сказал он. – Что ж, не с голоду же издыхать людям?
Повозки, которые подъехали к гусарам были назначены в пехотный полк, но, известившись через Лаврушку, что этот транспорт идет один, Денисов с гусарами силой отбил его. Солдатам раздали сухарей в волю, поделились даже с другими эскадронами.
На другой день, полковой командир позвал к себе Денисова и сказал ему, закрыв раскрытыми пальцами глаза: «Я на это смотрю вот так, я ничего не знаю и дела не начну; но советую съездить в штаб и там, в провиантском ведомстве уладить это дело, и, если возможно, расписаться, что получили столько то провианту; в противном случае, требованье записано на пехотный полк: дело поднимется и может кончиться дурно».
Денисов прямо от полкового командира поехал в штаб, с искренним желанием исполнить его совет. Вечером он возвратился в свою землянку в таком положении, в котором Ростов еще никогда не видал своего друга. Денисов не мог говорить и задыхался. Когда Ростов спрашивал его, что с ним, он только хриплым и слабым голосом произносил непонятные ругательства и угрозы…
Испуганный положением Денисова, Ростов предлагал ему раздеться, выпить воды и послал за лекарем.
– Меня за г'азбой судить – ох! Дай еще воды – пускай судят, а буду, всегда буду подлецов бить, и госудаг'ю скажу. Льду дайте, – приговаривал он.
Пришедший полковой лекарь сказал, что необходимо пустить кровь. Глубокая тарелка черной крови вышла из мохнатой руки Денисова, и тогда только он был в состоянии рассказать все, что с ним было.
– Приезжаю, – рассказывал Денисов. – «Ну, где у вас тут начальник?» Показали. Подождать не угодно ли. «У меня служба, я зa 30 верст приехал, мне ждать некогда, доложи». Хорошо, выходит этот обер вор: тоже вздумал учить меня: Это разбой! – «Разбой, говорю, не тот делает, кто берет провиант, чтоб кормить своих солдат, а тот кто берет его, чтоб класть в карман!» Так не угодно ли молчать. «Хорошо». Распишитесь, говорит, у комиссионера, а дело ваше передастся по команде. Прихожу к комиссионеру. Вхожу – за столом… Кто же?! Нет, ты подумай!…Кто же нас голодом морит, – закричал Денисов, ударяя кулаком больной руки по столу, так крепко, что стол чуть не упал и стаканы поскакали на нем, – Телянин!! «Как, ты нас с голоду моришь?!» Раз, раз по морде, ловко так пришлось… «А… распротакой сякой и… начал катать. Зато натешился, могу сказать, – кричал Денисов, радостно и злобно из под черных усов оскаливая свои белые зубы. – Я бы убил его, кабы не отняли.
– Да что ж ты кричишь, успокойся, – говорил Ростов: – вот опять кровь пошла. Постой же, перебинтовать надо. Денисова перебинтовали и уложили спать. На другой день он проснулся веселый и спокойный. Но в полдень адъютант полка с серьезным и печальным лицом пришел в общую землянку Денисова и Ростова и с прискорбием показал форменную бумагу к майору Денисову от полкового командира, в которой делались запросы о вчерашнем происшествии. Адъютант сообщил, что дело должно принять весьма дурной оборот, что назначена военно судная комиссия и что при настоящей строгости касательно мародерства и своевольства войск, в счастливом случае, дело может кончиться разжалованьем.
Дело представлялось со стороны обиженных в таком виде, что, после отбития транспорта, майор Денисов, без всякого вызова, в пьяном виде явился к обер провиантмейстеру, назвал его вором, угрожал побоями и когда был выведен вон, то бросился в канцелярию, избил двух чиновников и одному вывихнул руку.
Денисов, на новые вопросы Ростова, смеясь сказал, что, кажется, тут точно другой какой то подвернулся, но что всё это вздор, пустяки, что он и не думает бояться никаких судов, и что ежели эти подлецы осмелятся задрать его, он им ответит так, что они будут помнить.
Денисов говорил пренебрежительно о всем этом деле; но Ростов знал его слишком хорошо, чтобы не заметить, что он в душе (скрывая это от других) боялся суда и мучился этим делом, которое, очевидно, должно было иметь дурные последствия. Каждый день стали приходить бумаги запросы, требования к суду, и первого мая предписано было Денисову сдать старшему по себе эскадрон и явиться в штаб девизии для объяснений по делу о буйстве в провиантской комиссии. Накануне этого дня Платов делал рекогносцировку неприятеля с двумя казачьими полками и двумя эскадронами гусар. Денисов, как всегда, выехал вперед цепи, щеголяя своей храбростью. Одна из пуль, пущенных французскими стрелками, попала ему в мякоть верхней части ноги. Может быть, в другое время Денисов с такой легкой раной не уехал бы от полка, но теперь он воспользовался этим случаем, отказался от явки в дивизию и уехал в госпиталь.


В июне месяце произошло Фридландское сражение, в котором не участвовали павлоградцы, и вслед за ним объявлено было перемирие. Ростов, тяжело чувствовавший отсутствие своего друга, не имея со времени его отъезда никаких известий о нем и беспокоясь о ходе его дела и раны, воспользовался перемирием и отпросился в госпиталь проведать Денисова.
Госпиталь находился в маленьком прусском местечке, два раза разоренном русскими и французскими войсками. Именно потому, что это было летом, когда в поле было так хорошо, местечко это с своими разломанными крышами и заборами и своими загаженными улицами, оборванными жителями и пьяными и больными солдатами, бродившими по нем, представляло особенно мрачное зрелище.
В каменном доме, на дворе с остатками разобранного забора, выбитыми частью рамами и стеклами, помещался госпиталь. Несколько перевязанных, бледных и опухших солдат ходили и сидели на дворе на солнушке.
Как только Ростов вошел в двери дома, его обхватил запах гниющего тела и больницы. На лестнице он встретил военного русского доктора с сигарою во рту. За доктором шел русский фельдшер.
– Не могу же я разорваться, – говорил доктор; – приходи вечерком к Макару Алексеевичу, я там буду. – Фельдшер что то еще спросил у него.
– Э! делай как знаешь! Разве не всё равно? – Доктор увидал подымающегося на лестницу Ростова.
– Вы зачем, ваше благородие? – сказал доктор. – Вы зачем? Или пуля вас не брала, так вы тифу набраться хотите? Тут, батюшка, дом прокаженных.
– Отчего? – спросил Ростов.
– Тиф, батюшка. Кто ни взойдет – смерть. Только мы двое с Макеевым (он указал на фельдшера) тут трепемся. Тут уж нашего брата докторов человек пять перемерло. Как поступит новенький, через недельку готов, – с видимым удовольствием сказал доктор. – Прусских докторов вызывали, так не любят союзники то наши.
Ростов объяснил ему, что он желал видеть здесь лежащего гусарского майора Денисова.
– Не знаю, не ведаю, батюшка. Ведь вы подумайте, у меня на одного три госпиталя, 400 больных слишком! Еще хорошо, прусские дамы благодетельницы нам кофе и корпию присылают по два фунта в месяц, а то бы пропали. – Он засмеялся. – 400, батюшка; а мне всё новеньких присылают. Ведь 400 есть? А? – обратился он к фельдшеру.
Фельдшер имел измученный вид. Он, видимо, с досадой дожидался, скоро ли уйдет заболтавшийся доктор.
– Майор Денисов, – повторил Ростов; – он под Молитеном ранен был.
– Кажется, умер. А, Макеев? – равнодушно спросил доктор у фельдшера.
Фельдшер однако не подтвердил слов доктора.
– Что он такой длинный, рыжеватый? – спросил доктор.
Ростов описал наружность Денисова.
– Был, был такой, – как бы радостно проговорил доктор, – этот должно быть умер, а впрочем я справлюсь, у меня списки были. Есть у тебя, Макеев?
– Списки у Макара Алексеича, – сказал фельдшер. – А пожалуйте в офицерские палаты, там сами увидите, – прибавил он, обращаясь к Ростову.
– Эх, лучше не ходить, батюшка, – сказал доктор: – а то как бы сами тут не остались. – Но Ростов откланялся доктору и попросил фельдшера проводить его.
– Не пенять же чур на меня, – прокричал доктор из под лестницы.
Ростов с фельдшером вошли в коридор. Больничный запах был так силен в этом темном коридоре, что Ростов схватился зa нос и должен был остановиться, чтобы собраться с силами и итти дальше. Направо отворилась дверь, и оттуда высунулся на костылях худой, желтый человек, босой и в одном белье.
Он, опершись о притолку, блестящими, завистливыми глазами поглядел на проходящих. Заглянув в дверь, Ростов увидал, что больные и раненые лежали там на полу, на соломе и шинелях.
– А можно войти посмотреть? – спросил Ростов.
– Что же смотреть? – сказал фельдшер. Но именно потому что фельдшер очевидно не желал впустить туда, Ростов вошел в солдатские палаты. Запах, к которому он уже успел придышаться в коридоре, здесь был еще сильнее. Запах этот здесь несколько изменился; он был резче, и чувствительно было, что отсюда то именно он и происходил.
В длинной комнате, ярко освещенной солнцем в большие окна, в два ряда, головами к стенам и оставляя проход по середине, лежали больные и раненые. Большая часть из них были в забытьи и не обратили вниманья на вошедших. Те, которые были в памяти, все приподнялись или подняли свои худые, желтые лица, и все с одним и тем же выражением надежды на помощь, упрека и зависти к чужому здоровью, не спуская глаз, смотрели на Ростова. Ростов вышел на середину комнаты, заглянул в соседние двери комнат с растворенными дверями, и с обеих сторон увидал то же самое. Он остановился, молча оглядываясь вокруг себя. Он никак не ожидал видеть это. Перед самым им лежал почти поперек середняго прохода, на голом полу, больной, вероятно казак, потому что волосы его были обстрижены в скобку. Казак этот лежал навзничь, раскинув огромные руки и ноги. Лицо его было багрово красно, глаза совершенно закачены, так что видны были одни белки, и на босых ногах его и на руках, еще красных, жилы напружились как веревки. Он стукнулся затылком о пол и что то хрипло проговорил и стал повторять это слово. Ростов прислушался к тому, что он говорил, и разобрал повторяемое им слово. Слово это было: испить – пить – испить! Ростов оглянулся, отыскивая того, кто бы мог уложить на место этого больного и дать ему воды.
– Кто тут ходит за больными? – спросил он фельдшера. В это время из соседней комнаты вышел фурштадский солдат, больничный служитель, и отбивая шаг вытянулся перед Ростовым.
– Здравия желаю, ваше высокоблагородие! – прокричал этот солдат, выкатывая глаза на Ростова и, очевидно, принимая его за больничное начальство.
– Убери же его, дай ему воды, – сказал Ростов, указывая на казака.
– Слушаю, ваше высокоблагородие, – с удовольствием проговорил солдат, еще старательнее выкатывая глаза и вытягиваясь, но не трогаясь с места.
– Нет, тут ничего не сделаешь, – подумал Ростов, опустив глаза, и хотел уже выходить, но с правой стороны он чувствовал устремленный на себя значительный взгляд и оглянулся на него. Почти в самом углу на шинели сидел с желтым, как скелет, худым, строгим лицом и небритой седой бородой, старый солдат и упорно смотрел на Ростова. С одной стороны, сосед старого солдата что то шептал ему, указывая на Ростова. Ростов понял, что старик намерен о чем то просить его. Он подошел ближе и увидал, что у старика была согнута только одна нога, а другой совсем не было выше колена. Другой сосед старика, неподвижно лежавший с закинутой головой, довольно далеко от него, был молодой солдат с восковой бледностью на курносом, покрытом еще веснушками, лице и с закаченными под веки глазами. Ростов поглядел на курносого солдата, и мороз пробежал по его спине.
– Да ведь этот, кажется… – обратился он к фельдшеру.
– Уж как просили, ваше благородие, – сказал старый солдат с дрожанием нижней челюсти. – Еще утром кончился. Ведь тоже люди, а не собаки…
– Сейчас пришлю, уберут, уберут, – поспешно сказал фельдшер. – Пожалуйте, ваше благородие.
– Пойдем, пойдем, – поспешно сказал Ростов, и опустив глаза, и сжавшись, стараясь пройти незамеченным сквозь строй этих укоризненных и завистливых глаз, устремленных на него, он вышел из комнаты.


Пройдя коридор, фельдшер ввел Ростова в офицерские палаты, состоявшие из трех, с растворенными дверями, комнат. В комнатах этих были кровати; раненые и больные офицеры лежали и сидели на них. Некоторые в больничных халатах ходили по комнатам. Первое лицо, встретившееся Ростову в офицерских палатах, был маленький, худой человечек без руки, в колпаке и больничном халате с закушенной трубочкой, ходивший в первой комнате. Ростов, вглядываясь в него, старался вспомнить, где он его видел.
– Вот где Бог привел свидеться, – сказал маленький человек. – Тушин, Тушин, помните довез вас под Шенграбеном? А мне кусочек отрезали, вот… – сказал он, улыбаясь, показывая на пустой рукав халата. – Василья Дмитриевича Денисова ищете? – сожитель! – сказал он, узнав, кого нужно было Ростову. – Здесь, здесь и Тушин повел его в другую комнату, из которой слышался хохот нескольких голосов.
«И как они могут не только хохотать, но жить тут»? думал Ростов, всё слыша еще этот запах мертвого тела, которого он набрался еще в солдатском госпитале, и всё еще видя вокруг себя эти завистливые взгляды, провожавшие его с обеих сторон, и лицо этого молодого солдата с закаченными глазами.
Денисов, закрывшись с головой одеялом, спал не постели, несмотря на то, что был 12 й час дня.
– А, Г'остов? 3до'ово, здо'ово, – закричал он всё тем же голосом, как бывало и в полку; но Ростов с грустью заметил, как за этой привычной развязностью и оживленностью какое то новое дурное, затаенное чувство проглядывало в выражении лица, в интонациях и словах Денисова.
Рана его, несмотря на свою ничтожность, все еще не заживала, хотя уже прошло шесть недель, как он был ранен. В лице его была та же бледная опухлость, которая была на всех гошпитальных лицах. Но не это поразило Ростова; его поразило то, что Денисов как будто не рад был ему и неестественно ему улыбался. Денисов не расспрашивал ни про полк, ни про общий ход дела. Когда Ростов говорил про это, Денисов не слушал.
Ростов заметил даже, что Денисову неприятно было, когда ему напоминали о полке и вообще о той, другой, вольной жизни, которая шла вне госпиталя. Он, казалось, старался забыть ту прежнюю жизнь и интересовался только своим делом с провиантскими чиновниками. На вопрос Ростова, в каком положении было дело, он тотчас достал из под подушки бумагу, полученную из комиссии, и свой черновой ответ на нее. Он оживился, начав читать свою бумагу и особенно давал заметить Ростову колкости, которые он в этой бумаге говорил своим врагам. Госпитальные товарищи Денисова, окружившие было Ростова – вновь прибывшее из вольного света лицо, – стали понемногу расходиться, как только Денисов стал читать свою бумагу. По их лицам Ростов понял, что все эти господа уже не раз слышали всю эту успевшую им надоесть историю. Только сосед на кровати, толстый улан, сидел на своей койке, мрачно нахмурившись и куря трубку, и маленький Тушин без руки продолжал слушать, неодобрительно покачивая головой. В середине чтения улан перебил Денисова.
– А по мне, – сказал он, обращаясь к Ростову, – надо просто просить государя о помиловании. Теперь, говорят, награды будут большие, и верно простят…
– Мне просить государя! – сказал Денисов голосом, которому он хотел придать прежнюю энергию и горячность, но который звучал бесполезной раздражительностью. – О чем? Ежели бы я был разбойник, я бы просил милости, а то я сужусь за то, что вывожу на чистую воду разбойников. Пускай судят, я никого не боюсь: я честно служил царю, отечеству и не крал! И меня разжаловать, и… Слушай, я так прямо и пишу им, вот я пишу: «ежели бы я был казнокрад…
– Ловко написано, что и говорить, – сказал Тушин. Да не в том дело, Василий Дмитрич, – он тоже обратился к Ростову, – покориться надо, а вот Василий Дмитрич не хочет. Ведь аудитор говорил вам, что дело ваше плохо.
– Ну пускай будет плохо, – сказал Денисов. – Вам написал аудитор просьбу, – продолжал Тушин, – и надо подписать, да вот с ними и отправить. У них верно (он указал на Ростова) и рука в штабе есть. Уже лучше случая не найдете.
– Да ведь я сказал, что подличать не стану, – перебил Денисов и опять продолжал чтение своей бумаги.
Ростов не смел уговаривать Денисова, хотя он инстинктом чувствовал, что путь, предлагаемый Тушиным и другими офицерами, был самый верный, и хотя он считал бы себя счастливым, ежели бы мог оказать помощь Денисову: он знал непреклонность воли Денисова и его правдивую горячность.
Когда кончилось чтение ядовитых бумаг Денисова, продолжавшееся более часа, Ростов ничего не сказал, и в самом грустном расположении духа, в обществе опять собравшихся около него госпитальных товарищей Денисова, провел остальную часть дня, рассказывая про то, что он знал, и слушая рассказы других. Денисов мрачно молчал в продолжение всего вечера.
Поздно вечером Ростов собрался уезжать и спросил Денисова, не будет ли каких поручений?
– Да, постой, – сказал Денисов, оглянулся на офицеров и, достав из под подушки свои бумаги, пошел к окну, на котором у него стояла чернильница, и сел писать.
– Видно плетью обуха не пег'ешибешь, – сказал он, отходя от окна и подавая Ростову большой конверт. – Это была просьба на имя государя, составленная аудитором, в которой Денисов, ничего не упоминая о винах провиантского ведомства, просил только о помиловании.
– Передай, видно… – Он не договорил и улыбнулся болезненно фальшивой улыбкой.


Вернувшись в полк и передав командиру, в каком положении находилось дело Денисова, Ростов с письмом к государю поехал в Тильзит.
13 го июня, французский и русский императоры съехались в Тильзите. Борис Друбецкой просил важное лицо, при котором он состоял, о том, чтобы быть причислену к свите, назначенной состоять в Тильзите.
– Je voudrais voir le grand homme, [Я желал бы видеть великого человека,] – сказал он, говоря про Наполеона, которого он до сих пор всегда, как и все, называл Буонапарте.
– Vous parlez de Buonaparte? [Вы говорите про Буонапарта?] – сказал ему улыбаясь генерал.
Борис вопросительно посмотрел на своего генерала и тотчас же понял, что это было шуточное испытание.
– Mon prince, je parle de l'empereur Napoleon, [Князь, я говорю об императоре Наполеоне,] – отвечал он. Генерал с улыбкой потрепал его по плечу.
– Ты далеко пойдешь, – сказал он ему и взял с собою.
Борис в числе немногих был на Немане в день свидания императоров; он видел плоты с вензелями, проезд Наполеона по тому берегу мимо французской гвардии, видел задумчивое лицо императора Александра, в то время как он молча сидел в корчме на берегу Немана, ожидая прибытия Наполеона; видел, как оба императора сели в лодки и как Наполеон, приставши прежде к плоту, быстрыми шагами пошел вперед и, встречая Александра, подал ему руку, и как оба скрылись в павильоне. Со времени своего вступления в высшие миры, Борис сделал себе привычку внимательно наблюдать то, что происходило вокруг него и записывать. Во время свидания в Тильзите он расспрашивал об именах тех лиц, которые приехали с Наполеоном, о мундирах, которые были на них надеты, и внимательно прислушивался к словам, которые были сказаны важными лицами. В то самое время, как императоры вошли в павильон, он посмотрел на часы и не забыл посмотреть опять в то время, когда Александр вышел из павильона. Свидание продолжалось час и пятьдесят три минуты: он так и записал это в тот вечер в числе других фактов, которые, он полагал, имели историческое значение. Так как свита императора была очень небольшая, то для человека, дорожащего успехом по службе, находиться в Тильзите во время свидания императоров было делом очень важным, и Борис, попав в Тильзит, чувствовал, что с этого времени положение его совершенно утвердилось. Его не только знали, но к нему пригляделись и привыкли. Два раза он исполнял поручения к самому государю, так что государь знал его в лицо, и все приближенные не только не дичились его, как прежде, считая за новое лицо, но удивились бы, ежели бы его не было.
Борис жил с другим адъютантом, польским графом Жилинским. Жилинский, воспитанный в Париже поляк, был богат, страстно любил французов, и почти каждый день во время пребывания в Тильзите, к Жилинскому и Борису собирались на обеды и завтраки французские офицеры из гвардии и главного французского штаба.
24 го июня вечером, граф Жилинский, сожитель Бориса, устроил для своих знакомых французов ужин. На ужине этом был почетный гость, один адъютант Наполеона, несколько офицеров французской гвардии и молодой мальчик старой аристократической французской фамилии, паж Наполеона. В этот самый день Ростов, пользуясь темнотой, чтобы не быть узнанным, в статском платье, приехал в Тильзит и вошел в квартиру Жилинского и Бориса.
В Ростове, также как и во всей армии, из которой он приехал, еще далеко не совершился в отношении Наполеона и французов, из врагов сделавшихся друзьями, тот переворот, который произошел в главной квартире и в Борисе. Все еще продолжали в армии испытывать прежнее смешанное чувство злобы, презрения и страха к Бонапарте и французам. Еще недавно Ростов, разговаривая с Платовским казачьим офицером, спорил о том, что ежели бы Наполеон был взят в плен, с ним обратились бы не как с государем, а как с преступником. Еще недавно на дороге, встретившись с французским раненым полковником, Ростов разгорячился, доказывая ему, что не может быть мира между законным государем и преступником Бонапарте. Поэтому Ростова странно поразил в квартире Бориса вид французских офицеров в тех самых мундирах, на которые он привык совсем иначе смотреть из фланкерской цепи. Как только он увидал высунувшегося из двери французского офицера, это чувство войны, враждебности, которое он всегда испытывал при виде неприятеля, вдруг обхватило его. Он остановился на пороге и по русски спросил, тут ли живет Друбецкой. Борис, заслышав чужой голос в передней, вышел к нему навстречу. Лицо его в первую минуту, когда он узнал Ростова, выразило досаду.
– Ах это ты, очень рад, очень рад тебя видеть, – сказал он однако, улыбаясь и подвигаясь к нему. Но Ростов заметил первое его движение.
– Я не во время кажется, – сказал он, – я бы не приехал, но мне дело есть, – сказал он холодно…
– Нет, я только удивляюсь, как ты из полка приехал. – «Dans un moment je suis a vous», [Сию минуту я к твоим услугам,] – обратился он на голос звавшего его.
– Я вижу, что я не во время, – повторил Ростов.
Выражение досады уже исчезло на лице Бориса; видимо обдумав и решив, что ему делать, он с особенным спокойствием взял его за обе руки и повел в соседнюю комнату. Глаза Бориса, спокойно и твердо глядевшие на Ростова, были как будто застланы чем то, как будто какая то заслонка – синие очки общежития – были надеты на них. Так казалось Ростову.
– Ах полно, пожалуйста, можешь ли ты быть не во время, – сказал Борис. – Борис ввел его в комнату, где был накрыт ужин, познакомил с гостями, назвав его и объяснив, что он был не статский, но гусарский офицер, его старый приятель. – Граф Жилинский, le comte N.N., le capitaine S.S., [граф Н.Н., капитан С.С.] – называл он гостей. Ростов нахмуренно глядел на французов, неохотно раскланивался и молчал.
Жилинский, видимо, не радостно принял это новое русское лицо в свой кружок и ничего не сказал Ростову. Борис, казалось, не замечал происшедшего стеснения от нового лица и с тем же приятным спокойствием и застланностью в глазах, с которыми он встретил Ростова, старался оживить разговор. Один из французов обратился с обыкновенной французской учтивостью к упорно молчавшему Ростову и сказал ему, что вероятно для того, чтобы увидать императора, он приехал в Тильзит.
– Нет, у меня есть дело, – коротко ответил Ростов.
Ростов сделался не в духе тотчас же после того, как он заметил неудовольствие на лице Бориса, и, как всегда бывает с людьми, которые не в духе, ему казалось, что все неприязненно смотрят на него и что всем он мешает. И действительно он мешал всем и один оставался вне вновь завязавшегося общего разговора. «И зачем он сидит тут?» говорили взгляды, которые бросали на него гости. Он встал и подошел к Борису.
– Однако я тебя стесняю, – сказал он ему тихо, – пойдем, поговорим о деле, и я уйду.
– Да нет, нисколько, сказал Борис. А ежели ты устал, пойдем в мою комнатку и ложись отдохни.
– И в самом деле…
Они вошли в маленькую комнатку, где спал Борис. Ростов, не садясь, тотчас же с раздраженьем – как будто Борис был в чем нибудь виноват перед ним – начал ему рассказывать дело Денисова, спрашивая, хочет ли и может ли он просить о Денисове через своего генерала у государя и через него передать письмо. Когда они остались вдвоем, Ростов в первый раз убедился, что ему неловко было смотреть в глаза Борису. Борис заложив ногу на ногу и поглаживая левой рукой тонкие пальцы правой руки, слушал Ростова, как слушает генерал доклад подчиненного, то глядя в сторону, то с тою же застланностию во взгляде прямо глядя в глаза Ростову. Ростову всякий раз при этом становилось неловко и он опускал глаза.
– Я слыхал про такого рода дела и знаю, что Государь очень строг в этих случаях. Я думаю, надо бы не доводить до Его Величества. По моему, лучше бы прямо просить корпусного командира… Но вообще я думаю…
– Так ты ничего не хочешь сделать, так и скажи! – закричал почти Ростов, не глядя в глаза Борису.
Борис улыбнулся: – Напротив, я сделаю, что могу, только я думал…
В это время в двери послышался голос Жилинского, звавший Бориса.
– Ну иди, иди, иди… – сказал Ростов и отказавшись от ужина, и оставшись один в маленькой комнатке, он долго ходил в ней взад и вперед, и слушал веселый французский говор из соседней комнаты.


Ростов приехал в Тильзит в день, менее всего удобный для ходатайства за Денисова. Самому ему нельзя было итти к дежурному генералу, так как он был во фраке и без разрешения начальства приехал в Тильзит, а Борис, ежели даже и хотел, не мог сделать этого на другой день после приезда Ростова. В этот день, 27 го июня, были подписаны первые условия мира. Императоры поменялись орденами: Александр получил Почетного легиона, а Наполеон Андрея 1 й степени, и в этот день был назначен обед Преображенскому батальону, который давал ему батальон французской гвардии. Государи должны были присутствовать на этом банкете.
Ростову было так неловко и неприятно с Борисом, что, когда после ужина Борис заглянул к нему, он притворился спящим и на другой день рано утром, стараясь не видеть его, ушел из дома. Во фраке и круглой шляпе Николай бродил по городу, разглядывая французов и их мундиры, разглядывая улицы и дома, где жили русский и французский императоры. На площади он видел расставляемые столы и приготовления к обеду, на улицах видел перекинутые драпировки с знаменами русских и французских цветов и огромные вензеля А. и N. В окнах домов были тоже знамена и вензеля.
«Борис не хочет помочь мне, да и я не хочу обращаться к нему. Это дело решенное – думал Николай – между нами всё кончено, но я не уеду отсюда, не сделав всё, что могу для Денисова и главное не передав письма государю. Государю?!… Он тут!» думал Ростов, подходя невольно опять к дому, занимаемому Александром.
У дома этого стояли верховые лошади и съезжалась свита, видимо приготовляясь к выезду государя.
«Всякую минуту я могу увидать его, – думал Ростов. Если бы только я мог прямо передать ему письмо и сказать всё, неужели меня бы арестовали за фрак? Не может быть! Он бы понял, на чьей стороне справедливость. Он всё понимает, всё знает. Кто же может быть справедливее и великодушнее его? Ну, да ежели бы меня и арестовали бы за то, что я здесь, что ж за беда?» думал он, глядя на офицера, всходившего в дом, занимаемый государем. «Ведь вот всходят же. – Э! всё вздор. Пойду и подам сам письмо государю: тем хуже будет для Друбецкого, который довел меня до этого». И вдруг, с решительностью, которой он сам не ждал от себя, Ростов, ощупав письмо в кармане, пошел прямо к дому, занимаемому государем.
«Нет, теперь уже не упущу случая, как после Аустерлица, думал он, ожидая всякую секунду встретить государя и чувствуя прилив крови к сердцу при этой мысли. Упаду в ноги и буду просить его. Он поднимет, выслушает и еще поблагодарит меня». «Я счастлив, когда могу сделать добро, но исправить несправедливость есть величайшее счастье», воображал Ростов слова, которые скажет ему государь. И он пошел мимо любопытно смотревших на него, на крыльцо занимаемого государем дома.
С крыльца широкая лестница вела прямо наверх; направо видна была затворенная дверь. Внизу под лестницей была дверь в нижний этаж.
– Кого вам? – спросил кто то.
– Подать письмо, просьбу его величеству, – сказал Николай с дрожанием голоса.
– Просьба – к дежурному, пожалуйте сюда (ему указали на дверь внизу). Только не примут.
Услыхав этот равнодушный голос, Ростов испугался того, что он делал; мысль встретить всякую минуту государя так соблазнительна и оттого так страшна была для него, что он готов был бежать, но камер фурьер, встретивший его, отворил ему дверь в дежурную и Ростов вошел.
Невысокий полный человек лет 30, в белых панталонах, ботфортах и в одной, видно только что надетой, батистовой рубашке, стоял в этой комнате; камердинер застегивал ему сзади шитые шелком прекрасные новые помочи, которые почему то заметил Ростов. Человек этот разговаривал с кем то бывшим в другой комнате.
– Bien faite et la beaute du diable, [Хорошо сложена и красота молодости,] – говорил этот человек и увидав Ростова перестал говорить и нахмурился.
– Что вам угодно? Просьба?…
– Qu'est ce que c'est? [Что это?] – спросил кто то из другой комнаты.
– Encore un petitionnaire, [Еще один проситель,] – отвечал человек в помочах.
– Скажите ему, что после. Сейчас выйдет, надо ехать.
– После, после, завтра. Поздно…
Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его.
– От кого? Вы кто?
– От майора Денисова, – отвечал Ростов.
– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.