Конхоида Слюза

Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене́-Франсу́а Валте́р, барон де Слюз.

Кривые задаются в полярных координатах уравнением

<math>r=\sec\theta+a\cos\theta</math>.

В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению

<math>(x-1)(x^2+y^2)=ax^2</math>

за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.

Кривые являются рациональными, круговыми, кубическими плоскими кривыми.

Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.

Для <math>a \ge -1</math> область между кривой и асимптотой имеет площадь

<math>|a|(1+a/4)\pi</math>

Для <math>a < -1</math>, площадь равна

<math>\left(1-\frac a2\right)\sqrt{-(a+1)}-a\left(2+\frac a2\right)\arcsin\frac1{\sqrt{-a}}.</math>

Если <math>a<-1</math>, кривая имеет петлю. Площадь петли равна

<math>\left(2+\frac a2\right)a\arccos\frac1{\sqrt{-a}}

+ \left(1-\frac a2\right)\sqrt{-(a+1)}.</math>

Четыре кривые из семейства имеют собственные имена:

a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства)

a = −1, циссоида Диокла

a = −2, правая строфоида

a = −4, трисектриса Маклорена