Копула

Копула (лат. Copula — соединение, связка) — это многомерная функция распределения, определённая на <math>n</math>-мерном единичном кубе <math>[0,\;1]^n</math>, такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале <math>[0,\;1]</math>.

Теорема Шкляра (Sklar) заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения <math>H(x,\;y)</math> с одномерными маргинальными функциями распределения <math>F(x)=H(x,\;\infty)</math> и <math>G(y)=H(\infty,\;y)</math> существует копула, такая что

<math>H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),</math>

где мы отождествляем распределение <math>C</math> с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

<math>C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,</math>

<math>C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.</math>

Границы Фреше—Хёфдинга для копулы

Минимальная копула — это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

<math>W(x,\;y)=\min(x,\;y).</math>

Максимальная копула — это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

<math>M(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).</math>

Архимедовы копулы

Одна частная простая форма копулы:

<math> C(x,\;y)=\Psi^{-1}(\Psi(x)+\Psi(y)),</math>

где <math>\psi</math> называется функция-генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

<math>\Psi(1)=0;\quad\lim_{x\to 0}\Psi(x)=\infty;\quad\Psi'(x)<0;\quad\Psi(x)>0.</math>

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

<math>\Psi(x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.</math>

Копула Клейтона (Clayton):

<math>\Psi(x)=x^\theta-1;\quad\theta\leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^\theta+y^\theta-1)^{1/\theta}.</math>

Для <math>\theta=0</math> в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свертки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

<math>C_n\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot </math> Число пар <math>(x,y)</math> таких что <math>x \leq x_{(i)} \text{ и } y \leq y_{(j)} \, , 1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n</math>

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Применения

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs).

Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

Недавно, копулы были успешно использованы для формирования базы данных для анализа надежности автострадных мостов и для разнообразных моделирований со многими переменными в гражданском, механическом и шельфо-добывающем машиностроении.

Литература

• Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141–151. [links.jstor.org/sici?sici=0006-3444%28197804%2965%3A1%3C141%3AAMFAIB%3E2.0.CO%3B2-Y JSTOR (subscription)]
• Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1–25.
• Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
• Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
• Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229–231.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SklarsTheorem.html Sklar's Theorem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [risktheory.novosyolov.com/topic_copula.htm Примеры копул]
• [risktheory.novosyolov.com/topic_frechet.htm Границы Фреше]
• [risktheory.novosyolov.com/ill_copula.htm Графики некоторых копул]

См. также

• Независимость (теория вероятностей)

</center>

Отрывок, характеризующий Копула

За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.
Анна Михайловна вышла последняя. Она подошла к Пьеру тихими, медленными шагами.
– Пьер!… – сказала она.
Пьер вопросительно смотрел на нее. Она поцеловала в лоб молодого человека, увлажая его слезами. Она помолчала.
– II n'est plus… [Его не стало…]
Пьер смотрел на нее через очки.
– Allons, je vous reconduirai. Tachez de pleurer. Rien ne soulage, comme les larmes. [Пойдемте, я вас провожу. Старайтесь плакать: ничто так не облегчает, как слезы.]
Она провела его в темную гостиную и Пьер рад был, что никто там не видел его лица. Анна Михайловна ушла от него, и когда она вернулась, он, подложив под голову руку, спал крепким сном.
На другое утро Анна Михайловна говорила Пьеру:
– Oui, mon cher, c'est une grande perte pour nous tous. Je ne parle pas de vous. Mais Dieu vous soutndra, vous etes jeune et vous voila a la tete d'une immense fortune, je l'espere. Le testament n'a pas ete encore ouvert. Je vous connais assez pour savoir que cela ne vous tourienera pas la tete, mais cela vous impose des devoirs, et il faut etre homme. [Да, мой друг, это великая потеря для всех нас, не говоря о вас. Но Бог вас поддержит, вы молоды, и вот вы теперь, надеюсь, обладатель огромного богатства. Завещание еще не вскрыто. Я довольно вас знаю и уверена, что это не вскружит вам голову; но это налагает на вас обязанности; и надо быть мужчиной.]
Пьер молчал.
– Peut etre plus tard je vous dirai, mon cher, que si je n'avais pas ete la, Dieu sait ce qui serait arrive. Vous savez, mon oncle avant hier encore me promettait de ne pas oublier Boris. Mais il n'a pas eu le temps. J'espere, mon cher ami, que vous remplirez le desir de votre pere. [После я, может быть, расскажу вам, что если б я не была там, то Бог знает, что бы случилось. Вы знаете, что дядюшка третьего дня обещал мне не забыть Бориса, но не успел. Надеюсь, мой друг, вы исполните желание отца.]
Пьер, ничего не понимая и молча, застенчиво краснея, смотрел на княгиню Анну Михайловну. Переговорив с Пьером, Анна Михайловна уехала к Ростовым и легла спать. Проснувшись утром, она рассказывала Ростовым и всем знакомым подробности смерти графа Безухого. Она говорила, что граф умер так, как и она желала бы умереть, что конец его был не только трогателен, но и назидателен; последнее же свидание отца с сыном было до того трогательно, что она не могла вспомнить его без слез, и что она не знает, – кто лучше вел себя в эти страшные минуты: отец ли, который так всё и всех вспомнил в последние минуты и такие трогательные слова сказал сыну, или Пьер, на которого жалко было смотреть, как он был убит и как, несмотря на это, старался скрыть свою печаль, чтобы не огорчить умирающего отца. «C'est penible, mais cela fait du bien; ca eleve l'ame de voir des hommes, comme le vieux comte et son digne fils», [Это тяжело, но это спасительно; душа возвышается, когда видишь таких людей, как старый граф и его достойный сын,] говорила она. О поступках княжны и князя Василья она, не одобряя их, тоже рассказывала, но под большим секретом и шопотом.


В Лысых Горах, имении князя Николая Андреевича Болконского, ожидали с каждым днем приезда молодого князя Андрея с княгиней; но ожидание не нарушало стройного порядка, по которому шла жизнь в доме старого князя. Генерал аншеф князь Николай Андреевич, по прозванию в обществе le roi de Prusse, [король прусский,] с того времени, как при Павле был сослан в деревню, жил безвыездно в своих Лысых Горах с дочерью, княжною Марьей, и при ней компаньонкой, m lle Bourienne. [мадмуазель Бурьен.] И в новое царствование, хотя ему и был разрешен въезд в столицы, он также продолжал безвыездно жить в деревне, говоря, что ежели кому его нужно, то тот и от Москвы полтораста верст доедет до Лысых Гор, а что ему никого и ничего не нужно. Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развивать в ней обе главные добродетели, до двадцати лет давал ей уроки алгебры и геометрии и распределял всю ее жизнь в беспрерывных занятиях. Сам он постоянно был занят то писанием своих мемуаров, то выкладками из высшей математики, то точением табакерок на станке, то работой в саду и наблюдением над постройками, которые не прекращались в его имении. Так как главное условие для деятельности есть порядок, то и порядок в его образе жизни был доведен до последней степени точности. Его выходы к столу совершались при одних и тех же неизменных условиях, и не только в один и тот же час, но и минуту. С людьми, окружавшими его, от дочери до слуг, князь был резок и неизменно требователен, и потому, не быв жестоким, он возбуждал к себе страх и почтительность, каких не легко мог бы добиться самый жестокий человек. Несмотря на то, что он был в отставке и не имел теперь никакого значения в государственных делах, каждый начальник той губернии, где было имение князя, считал своим долгом являться к нему и точно так же, как архитектор, садовник или княжна Марья, дожидался назначенного часа выхода князя в высокой официантской. И каждый в этой официантской испытывал то же чувство почтительности и даже страха, в то время как отворялась громадно высокая дверь кабинета и показывалась в напудренном парике невысокая фигурка старика, с маленькими сухими ручками и серыми висячими бровями, иногда, как он насупливался, застилавшими блеск умных и точно молодых блестящих глаз.