Красота математики

Красота математики — восприятие математики, как объекта эстетического наслаждения, схожего с музыкой и поэзией.

Правильный взгляд на математику открывает не только истину, но и безупречную красоту — холодную и суровую, как скульптура, отстранённую от человеческих слабостей, лишённую вычурных уловок живописи и музыки — горную кристальность и строгое совершенство великого искусства. Подлинный вкус наслаждения, восторг, освобождение от бренной человеческой оболочки — всё это критерии высшего совершенства, которыми математика обладает наравне с поэзией.

Оригинальный текст (англ.)  

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.

— Бертран Рассел

Красота метода

Математики часто называют элегантным метод доказательства, обладающий одним или несколькими из следующих свойств:

• Минимум исходных постулатов или предыдущих результатов.
• Предельная лаконичность.
• Необычность построения (например, с помощью теорем из другой области математики).
• Использование новых, оригинальных идей.
• Возможность обобщения для решения схожих проблем.

В поисках элегантного доказательства математики используют самые разнообразные способы решения проблемы, так как первое найденное доказательство необязательно является лучшим. Рекордсменом по числу доказательств (несколько сотен) является, вероятно, теорема Пифагора. Другая известная теорема, доказанная множеством способов — квадратичный закон взаимности, для которой только Карл Фридрих Гаусс опубликовал 8 доказательств, основанных на совершенно различных идеях. В противоположность элегантному, логически корректное доказательство, использующее трудоёмкие вычисления, сверхсложные методы, традиционные подходы, большое число аксиом или доказательств других теорем называют грубым или неуклюжим.

Красота решения

Некоторые математики считают красивым решение проблемы, устанавливающее связь между областями математики, ранее считавшимся несвязанными. Такой результат часто называют глубоким. Одним из самых известных примеров является тождество Эйлера:

<math>\displaystyle e^{i \pi} + 1 = 0\, .</math>

Это особый случай формулы Эйлера, названный физиком Ричардом Фейнманом «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике». Теорема о модулярности, за доказательство которой Эндрю Уайлс и Роберт Ленглендс получили премию Вольфа, устанавливает важную взаимосвязь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Гипотеза чудовищного вздора (monstrous moonshine) связывает простую конечную группу Монстр с модулярными функциями через теорию струн — результат, за который Ричард Борчердс был награждён Филдсовской премией.

Глубоким результатом также является выявление неожиданных аспектов математических структур. Например, Theorema Egregium Гаусса — основная теорема теории поверхностей — устанавливает связь между локальным явлением (кривизной) и глобальным (площадью). В частности, площадь треугольника на искривлённой поверхности пропорциональна его избытку, причём коэффициент пропорциональности определяется кривизной. Другой пример — основная теорема анализа (и её векторные варианты, включая теорему Грина и теорему Стокса).

Противоположностью глубокого результата является тривиальный. К таковым можно отнести результаты, непосредственно вытекающие из других известных результатов или применимые только к специфическим объектам, таким как пустое множество. Впрочем, возможны случаи, когда формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, даже если её доказательство вполне очевидно.

В книге «Апология математика» Годфри Харди предполагает, что красивое доказательство или результат должны обладать «неожиданностью в сочетании с непреложностью и экономичностью». Неожиданность являлась важнейшим моментом многих математических результатов Сринивасы Рамунаджана.

Итальянский математик Джан-Карло Рота, тем не менее, не признаёт неожиданность достаточным условием красоты, приводя следующий контрпример:

Очень много математических теорем оказывались неожиданными после их публикации; например, около двадцати лет назад (в 1957 году - прим.) доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах большой размерности казалось неожиданным, но никому бы и в голову не пришло назвать сей факт красивым ни тогда, ни сейчас.

М. И. Монастырский с лёгкой иронией пишет:

Очень трудно найти в прошлом изобретения, аналогичные милноровым впечатляющим конструкциям различных дифференциальных структур на семимерной сфере... Первоначальное доказательство Милнора было не слишком конструктивным, однако Э. Брискорн показал, что такие структуры можно описать в весьма наглядной и красивой форме.

Это расхождение во мнениях иллюстрирует как субъективность восприятия математической красоты, так и её связь с результатом: доказательство существования экзотических сфер производит меньшее впечатление, чем реализация их моделей.

Ощущение красоты

Интерес к чистой математике, отличный от эмпирических исследований, отмечается у многих цивилизаций, включая древнегреческую, где «математикой занимались ради её красоты». Тем не менее, математическую красоту можно ощутить и за пределами чистой математики. Например, физики получают эстетическое наслаждение от общей теории относительности Эйнштейна, которое Поль Дирак объяснял её «великой математической красотой».

Получение удовольствия от манипуляций с числами и символами требует определённой вовлечённости в занятие математикой, поэтому любое технологическое общество, использующее этот исключительно полезный инструмент, неизбежно открывает её эстетический аспект. Пассивное же наблюдение со стороны не позволяет оценить всю силу математической красоты, так как её реципиентами не являются аудитория или зритель в их классическом понимании.

Проявления прекрасного в математике

Френсис Хатчесон в «Исследовании о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах» (1725) выделил следующие характеристики эстетической красоты математики:

• единство в многообразии;
• идеал всеобщности научных истин;
• обретение неочевидной истины, догадки о которой требуют доказательств.

Возможные объяснения красоты математики

Пол Эрдёш считал так: когда решение проблемы было правильным, но казалось ему некрасивым, недостаточно изящным и лаконичным, он обычно говорил: «Прекрасно, но давайте поищем доказательство из Книги» (то есть из идеального, платонического сборника всех математических результатов, известных и неизвестных). Таким образом, всё записано в Книге и математики лишь читают её. Последователи Эрдёша М. Айгнер и Г. Циглер опубликовали книгу, которая за пять лет выдержала три переиздания и была переведена на несколько языков, в том числе русский.

См. также

• Математика в Древней Греции
• История математики
• Фрактал
• Апология математика

Литература

• Г. Х. Харди. Апология математика (Перевод с английского Ю. А. Данилова). — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 104 с. ISBN 5-89806-035-9
• Успенский В. А. Апология математики. М: Амфора, 2009.
• Дуран А. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. / Пер. с исп. М: Де Агостини, 2014, 160 с. ISBN 978-5-9774-0682-6, ISBN 978-5-9774-0722-9.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. / Пер. с нем. М., Мир, 1993, 208 с. ISBN 5-03-001296-6.
• Aigner, Martin, and Ziegler, Gunter M. (англ.) (2003), Proofs from THE BOOK, 3rd edition, Springer-Verlag (есть русский перевод).
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
• Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
• Hardy, G.H. (1940), A Mathematician’s Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C.P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
• Hoffman, Paul (1992), The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion.
• Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
• Loomis, Elisha Scott (1968), The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
• Lang, Serge (1985). [books.google.com/books?id=U_HITkWziLwC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false The Beauty of Doing Mathematics: Three Public Dialogues]. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
• Peitgen, H.-O., and Richter, P.H. (1986), The Beauty of Fractals, Springer-Verlag.
• Reber, R., Brun, M., & Mitterndorfer, K. (2008). The use of heuristics in intuitive mathematical judgment. Psychonomic Bulletin & Review, 15, 1174—1178.
• Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
• Rota, Gian-Carlo (1997). «The phenomenology of mathematical beauty». Synthese 111 (2): 171–182. DOI:10.1023/A:1004930722234.
• Monastyrsky, Michael (2001). «[www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal]». Can. Math. Soc. Notes 33 (2 and 3).

Ссылки

• [www.the-athenaeum.org/poetry/detail.php?id=80 Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has looked on beauty bare]
• Terence Tao, [www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/goodmath.dvi What is good mathematics?]
• [www.nybooks.com/articles/archives/2013/dec/05/mathematical-romance/ A Mathematical Romance] Jim Holt, December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel

Математика

Отрывок, характеризующий Красота математики

– У графини просите, а я не распоряжаюсь.
– Ежели затруднительно, пожалуйста, не надо, – сказал Берг. – Мне для Верушки только очень бы хотелось.
– Ах, убирайтесь вы все к черту, к черту, к черту и к черту!.. – закричал старый граф. – Голова кругом идет. – И он вышел из комнаты.
Графиня заплакала.
– Да, да, маменька, очень тяжелые времена! – сказал Берг.
Наташа вышла вместе с отцом и, как будто с трудом соображая что то, сначала пошла за ним, а потом побежала вниз.
На крыльце стоял Петя, занимавшийся вооружением людей, которые ехали из Москвы. На дворе все так же стояли заложенные подводы. Две из них были развязаны, и на одну из них влезал офицер, поддерживаемый денщиком.
– Ты знаешь за что? – спросил Петя Наташу (Наташа поняла, что Петя разумел: за что поссорились отец с матерью). Она не отвечала.
– За то, что папенька хотел отдать все подводы под ранепых, – сказал Петя. – Мне Васильич сказал. По моему…
– По моему, – вдруг закричала почти Наташа, обращая свое озлобленное лицо к Пете, – по моему, это такая гадость, такая мерзость, такая… я не знаю! Разве мы немцы какие нибудь?.. – Горло ее задрожало от судорожных рыданий, и она, боясь ослабеть и выпустить даром заряд своей злобы, повернулась и стремительно бросилась по лестнице. Берг сидел подле графини и родственно почтительно утешал ее. Граф с трубкой в руках ходил по комнате, когда Наташа, с изуродованным злобой лицом, как буря ворвалась в комнату и быстрыми шагами подошла к матери.
– Это гадость! Это мерзость! – закричала она. – Это не может быть, чтобы вы приказали.
Берг и графиня недоумевающе и испуганно смотрели на нее. Граф остановился у окна, прислушиваясь.
– Маменька, это нельзя; посмотрите, что на дворе! – закричала она. – Они остаются!..
– Что с тобой? Кто они? Что тебе надо?
– Раненые, вот кто! Это нельзя, маменька; это ни на что не похоже… Нет, маменька, голубушка, это не то, простите, пожалуйста, голубушка… Маменька, ну что нам то, что мы увезем, вы посмотрите только, что на дворе… Маменька!.. Это не может быть!..
Граф стоял у окна и, не поворачивая лица, слушал слова Наташи. Вдруг он засопел носом и приблизил свое лицо к окну.
Графиня взглянула на дочь, увидала ее пристыженное за мать лицо, увидала ее волнение, поняла, отчего муж теперь не оглядывался на нее, и с растерянным видом оглянулась вокруг себя.
– Ах, да делайте, как хотите! Разве я мешаю кому нибудь! – сказала она, еще не вдруг сдаваясь.
– Маменька, голубушка, простите меня!
Но графиня оттолкнула дочь и подошла к графу.
– Mon cher, ты распорядись, как надо… Я ведь не знаю этого, – сказала она, виновато опуская глаза.
– Яйца… яйца курицу учат… – сквозь счастливые слезы проговорил граф и обнял жену, которая рада была скрыть на его груди свое пристыженное лицо.
– Папенька, маменька! Можно распорядиться? Можно?.. – спрашивала Наташа. – Мы все таки возьмем все самое нужное… – говорила Наташа.
Граф утвердительно кивнул ей головой, и Наташа тем быстрым бегом, которым она бегивала в горелки, побежала по зале в переднюю и по лестнице на двор.
Люди собрались около Наташи и до тех пор не могли поверить тому странному приказанию, которое она передавала, пока сам граф именем своей жены не подтвердил приказания о том, чтобы отдавать все подводы под раненых, а сундуки сносить в кладовые. Поняв приказание, люди с радостью и хлопотливостью принялись за новое дело. Прислуге теперь это не только не казалось странным, но, напротив, казалось, что это не могло быть иначе, точно так же, как за четверть часа перед этим никому не только не казалось странным, что оставляют раненых, а берут вещи, но казалось, что не могло быть иначе.
Все домашние, как бы выплачивая за то, что они раньше не взялись за это, принялись с хлопотливостью за новое дело размещения раненых. Раненые повыползли из своих комнат и с радостными бледными лицами окружили подводы. В соседних домах тоже разнесся слух, что есть подводы, и на двор к Ростовым стали приходить раненые из других домов. Многие из раненых просили не снимать вещей и только посадить их сверху. Но раз начавшееся дело свалки вещей уже не могло остановиться. Было все равно, оставлять все или половину. На дворе лежали неубранные сундуки с посудой, с бронзой, с картинами, зеркалами, которые так старательно укладывали в прошлую ночь, и всё искали и находили возможность сложить то и то и отдать еще и еще подводы.
– Четверых еще можно взять, – говорил управляющий, – я свою повозку отдаю, а то куда же их?
– Да отдайте мою гардеробную, – говорила графиня. – Дуняша со мной сядет в карету.
Отдали еще и гардеробную повозку и отправили ее за ранеными через два дома. Все домашние и прислуга были весело оживлены. Наташа находилась в восторженно счастливом оживлении, которого она давно не испытывала.
– Куда же его привязать? – говорили люди, прилаживая сундук к узкой запятке кареты, – надо хоть одну подводу оставить.
– Да с чем он? – спрашивала Наташа.
– С книгами графскими.
– Оставьте. Васильич уберет. Это не нужно.
В бричке все было полно людей; сомневались о том, куда сядет Петр Ильич.
– Он на козлы. Ведь ты на козлы, Петя? – кричала Наташа.
Соня не переставая хлопотала тоже; но цель хлопот ее была противоположна цели Наташи. Она убирала те вещи, которые должны были остаться; записывала их, по желанию графини, и старалась захватить с собой как можно больше.


Во втором часу заложенные и уложенные четыре экипажа Ростовых стояли у подъезда. Подводы с ранеными одна за другой съезжали со двора.
Коляска, в которой везли князя Андрея, проезжая мимо крыльца, обратила на себя внимание Сони, устраивавшей вместе с девушкой сиденья для графини в ее огромной высокой карете, стоявшей у подъезда.
– Это чья же коляска? – спросила Соня, высунувшись в окно кареты.
– А вы разве не знали, барышня? – отвечала горничная. – Князь раненый: он у нас ночевал и тоже с нами едут.
– Да кто это? Как фамилия?
– Самый наш жених бывший, князь Болконский! – вздыхая, отвечала горничная. – Говорят, при смерти.
Соня выскочила из кареты и побежала к графине. Графиня, уже одетая по дорожному, в шали и шляпе, усталая, ходила по гостиной, ожидая домашних, с тем чтобы посидеть с закрытыми дверями и помолиться перед отъездом. Наташи не было в комнате.
– Maman, – сказала Соня, – князь Андрей здесь, раненый, при смерти. Он едет с нами.
Графиня испуганно открыла глаза и, схватив за руку Соню, оглянулась.
– Наташа? – проговорила она.
И для Сони и для графини известие это имело в первую минуту только одно значение. Они знали свою Наташу, и ужас о том, что будет с нею при этом известии, заглушал для них всякое сочувствие к человеку, которого они обе любили.
– Наташа не знает еще; но он едет с нами, – сказала Соня.
– Ты говоришь, при смерти?
Соня кивнула головой.
Графиня обняла Соню и заплакала.
«Пути господни неисповедимы!» – думала она, чувствуя, что во всем, что делалось теперь, начинала выступать скрывавшаяся прежде от взгляда людей всемогущая рука.
– Ну, мама, все готово. О чем вы?.. – спросила с оживленным лицом Наташа, вбегая в комнату.
– Ни о чем, – сказала графиня. – Готово, так поедем. – И графиня нагнулась к своему ридикюлю, чтобы скрыть расстроенное лицо. Соня обняла Наташу и поцеловала ее.
Наташа вопросительно взглянула на нее.
– Что ты? Что такое случилось?
– Ничего… Нет…
– Очень дурное для меня?.. Что такое? – спрашивала чуткая Наташа.
Соня вздохнула и ничего не ответила. Граф, Петя, m me Schoss, Мавра Кузминишна, Васильич вошли в гостиную, и, затворив двери, все сели и молча, не глядя друг на друга, посидели несколько секунд.
Граф первый встал и, громко вздохнув, стал креститься на образ. Все сделали то же. Потом граф стал обнимать Мавру Кузминишну и Васильича, которые оставались в Москве, и, в то время как они ловили его руку и целовали его в плечо, слегка трепал их по спине, приговаривая что то неясное, ласково успокоительное. Графиня ушла в образную, и Соня нашла ее там на коленях перед разрозненно по стене остававшимися образами. (Самые дорогие по семейным преданиям образа везлись с собою.)
На крыльце и на дворе уезжавшие люди с кинжалами и саблями, которыми их вооружил Петя, с заправленными панталонами в сапоги и туго перепоясанные ремнями и кушаками, прощались с теми, которые оставались.
Как и всегда при отъездах, многое было забыто и не так уложено, и довольно долго два гайдука стояли с обеих сторон отворенной дверцы и ступенек кареты, готовясь подсадить графиню, в то время как бегали девушки с подушками, узелками из дому в кареты, и коляску, и бричку, и обратно.
– Век свой все перезабудут! – говорила графиня. – Ведь ты знаешь, что я не могу так сидеть. – И Дуняша, стиснув зубы и не отвечая, с выражением упрека на лице, бросилась в карету переделывать сиденье.
– Ах, народ этот! – говорил граф, покачивая головой.
Старый кучер Ефим, с которым одним только решалась ездить графиня, сидя высоко на своих козлах, даже не оглядывался на то, что делалось позади его. Он тридцатилетним опытом знал, что не скоро еще ему скажут «с богом!» и что когда скажут, то еще два раза остановят его и пошлют за забытыми вещами, и уже после этого еще раз остановят, и графиня сама высунется к нему в окно и попросит его Христом богом ехать осторожнее на спусках. Он знал это и потому терпеливее своих лошадей (в особенности левого рыжего – Сокола, который бил ногой и, пережевывая, перебирал удила) ожидал того, что будет. Наконец все уселись; ступеньки собрались и закинулись в карету, дверка захлопнулась, послали за шкатулкой, графиня высунулась и сказала, что должно. Тогда Ефим медленно снял шляпу с своей головы и стал креститься. Форейтор и все люди сделали то же.
– С богом! – сказал Ефим, надев шляпу. – Вытягивай! – Форейтор тронул. Правый дышловой влег в хомут, хрустнули высокие рессоры, и качнулся кузов. Лакей на ходу вскочил на козлы. Встряхнуло карету при выезде со двора на тряскую мостовую, так же встряхнуло другие экипажи, и поезд тронулся вверх по улице. В каретах, коляске и бричке все крестились на церковь, которая была напротив. Остававшиеся в Москве люди шли по обоим бокам экипажей, провожая их.
Наташа редко испытывала столь радостное чувство, как то, которое она испытывала теперь, сидя в карете подле графини и глядя на медленно подвигавшиеся мимо нее стены оставляемой, встревоженной Москвы. Она изредка высовывалась в окно кареты и глядела назад и вперед на длинный поезд раненых, предшествующий им. Почти впереди всех виднелся ей закрытый верх коляски князя Андрея. Она не знала, кто был в ней, и всякий раз, соображая область своего обоза, отыскивала глазами эту коляску. Она знала, что она была впереди всех.
В Кудрине, из Никитской, от Пресни, от Подновинского съехалось несколько таких же поездов, как был поезд Ростовых, и по Садовой уже в два ряда ехали экипажи и подводы.
Объезжая Сухареву башню, Наташа, любопытно и быстро осматривавшая народ, едущий и идущий, вдруг радостно и удивленно вскрикнула: