Кривая Леви
Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.
L-система, порождающая кривую Леви:
- переменные : F
- константы : + −
- начало : F
- правила : −F++F−
- угол : 45°
Свойства
- Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема.
- На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения.
- Хаусдорфова размерность границы кривой Леви приблизительно равна 1,9340. (Кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия <math>1/\sqrt2</math>, из-за отстуствия существенных самопересечений её размерность в точности равна <math>2=\ln 2/\ln \sqrt 2</math>.)
- Кривая Леви — крона дерева Пифагора.
Вариации
Стандартная кривая Леви строится с помощью равнобедренных треугольников с углами при основании 45°. Вариации кривой Леви можно построить с помощью равнобедренных треугольников с другими, отличными от 45° углами. До тех пор, пока угол меньше 60°, каждая новая линия короче той линии, из которой она образована, так что процесс строительства стремится к предельной кривой. Углы менее 45° производят фрактал, который менее плотно "свернут".
Пример алгоритма на PHP
<?php
$i = 10;
$image = imagecreatetruecolor(640, 480);
imagefilledrectangle($image, 0, 0, imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1,
imagecolorresolve($image, 255, 255, 255));
$color = imagecolorresolve($image, 0, 0, 0);
drawLevy($image, imagesx($image) * 3/8, imagesy($image) * 3/8,
imagesx($image) * 5/8, imagesy($image) * 5/8, $i, $color);
/**
* Draws levy curve between two points.
* @return void
*/
function drawLevy($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $i, $color) {
if($i == 0)
imageline($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $color);
else {
// A---B
// |
// C
$xb = ($xa + $xc) / 2 + ($yc - $ya) / 2;
$yb = ($ya + $yc) / 2 - ($xc - $xa) / 2;
drawLevy($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color);
drawLevy($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color);
}
}
header('Content-type: image/png');
imagepng($image);
imagedestroy($image);
См. также
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 29 июня 2016 года. |
|