Кривая второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

<math>a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,</math>

в котором по крайней мере один из коэффициентов <math>a_{11},~a_{12},~a_{22}</math> отличен от нуля.

История

Впервые кривые второго порядка изучались Менехмом, учеником Евдокса. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической — по гиперболе.

Инварианты

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

• инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
  • <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}</math>
  • <math>D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2</math>
  • <math>I=\text{tr}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}</math>
• инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
  • <math>B=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix}</math>

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

<math>F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.</math>

Так, например, невырожденная кривая <math>\left(\Delta\ne0\right)</math> оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли <math>F_0(x,\,y)</math> положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

<math>\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0</math>

или

<math>\lambda^2 - I\lambda + D = 0.</math>

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы

<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}</math>

и, как следствие этого, всегда вещественны.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если <math>\Delta\ne0.</math> Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если <math>D\not=0</math>
  • эллипс — при условии <math>D>0</math> и <math>\Delta\cdot I<0</math>;
    • частный случай эллипса — окружность — при условии <math>I^2=4D</math> или <math>a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;</math>
  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии <math>D>0</math> и <math>\Delta\cdot I>0;</math>
  • гипербола — при условии <math>D<0;</math>
• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если <math>D=0</math>
  • парабола — при условии <math>D=0.</math>

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если <math>\Delta=0</math>. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии <math>D>0;</math>
• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии <math>D<0;</math>
• вырожденная парабола — при условии <math>D=0:</math>
  • пара вещественных параллельных прямых — при условии <math>B<0;</math>
  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии <math>B=0;</math>
  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии <math>B>0.</math>

Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол <math>\theta</math> с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

<math>\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \sin\theta = 0.</math>

Если выполняется условие <math>D\ne0,</math> то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (<math>D=0</math>) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра <math>\left(x_0,\;y_0\right)</math> определяются системой уравнений:

<math>\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}</math>

Решая эту систему относительно <math>x_0</math> и <math>y_0,</math> получим:

<math>\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\;(D\ne0).</math>

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

<math>a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\bar x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,</math>

где <math>\bar x,\;\bar y</math> — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая <math>\left(D\ne0\right)</math> либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые <math>\left(D=0\right)</math> имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

<math>\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22} - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},</math>

где <math>\lambda</math> — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

<math>\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.</math>

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

<math>\begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0.</math>

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты <math>\Delta,\;D,\;I</math> и корни характеристического уравнения <math>\lambda_1 \geqslant \lambda_2</math> (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые (<math>\Delta\ne0</math>)
Эллипс	<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;\; \begin{cases} a^2 = - \frac{1}{\lambda_2}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda_1\lambda^2_2} \\ b^2 = - \frac{1}{\lambda_1}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda^2_1\lambda_2} \end{cases}</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = -a^4b^4 \\ D = a^2b^2 \\ I = a^2+b^2 \end{array}</math>
Гипербола	<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\;\; \begin{cases} a^2 = - \frac{1}{\lambda_1}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda^2_1\lambda_2} \\ b^2 = \frac{1}{\lambda_2}\frac{\Delta}{D} = \frac{\Delta}{\lambda_1\lambda^2_2} \end{cases}</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = a^4b^4 \\ D = -a^2b^2 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}</math>
Парабола	<math>y^2=2px,\;\; p=\frac{1}{I}\sqrt{-\frac{\Delta}{I}} = \frac{1}{\lambda_1}\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1}} > 0,\;\; \lambda_2=0</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = p^2 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}</math>
Вырожденные кривые (<math>\Delta=0</math>)
Две мнимые пересекающиеся прямые	<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = a^2b^2 \\ I = a^2+b^2 \end{array}</math>
Две пересекающиеся прямые	<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = -a^2b^2 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}</math>
Две параллельные прямые	<math>\frac{x^2}{a^2}=1</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}</math>
Две совпадающие прямые	<math>x^2=0</math>	<math>\begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}</math>

Для центральной кривой в каноническом виде её центр <math>\left(x_0,\;y_0\right)</math> находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

<math>y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).</math>

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых <math>\varepsilon \geqslant 0</math> (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при <math>\varepsilon = 0</math> кривая является окружностью, при <math>\varepsilon < 1</math> — эллипсом, при <math>\varepsilon = 1</math> — параболой, при <math>\varepsilon > 1</math> — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением <math>x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},</math> а координаты фокуса <math>x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y = 0.</math> Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно <math>\frac{p}{\varepsilon}.</math>

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

<math>x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a</math>

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр <math>p</math> называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат <math>\left(\rho,\phi\right)</math> фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах <math>\rho</math>, <math>\phi</math> уравнение кривой будет иметь вид

<math>\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.</math>

Кривая, заданная своими пятью точками

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки <math>\left( x_1, y_1 \right),</math> <math>\left( x_2, y_2 \right),</math> <math>\left( x_3, y_3 \right),</math> <math>\left( x_4, y_4 \right)</math> и <math>\left( x_5, y_5 \right):</math>

<math>\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.</math>

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка <math>f(x,y)</math> в её точке <math>\left(x_1, y_1\right)</math> имеет вид:

<math>\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.</math>

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке <math>\left(x_1, y_1\right)</math> имеет вид

<math>\frac{x-x_{1}}{a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}}=\frac{y-y_{1}}{a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}}.</math>

Полюсы и поляры

Уравнение

<math>\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0</math>

помимо касательной определяет прямую, называемую полярой точки <math>\left(x_1, y_1\right)</math> относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка <math>\left(x_1, y_1\right)</math> называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

1. Если прямая, проведённая через полюс <math>P,</math> пересекает поляру в точке <math>Q,</math> а кривую второго порядка — в точках <math>R_1</math> и <math>R_2,</math> то точки <math>P</math> и <math>Q</math> гармонически разделяют отрезок <math>R_1R_2,</math> то есть выполняется условие
   <math>\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.</math>
2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой этого пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;
2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

• Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.
• Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также

• Коническое сечение
• Квадрика
• Поверхности второго порядка

Ссылки

• [www.bmstu.ru/~fn11/intpos/C2Theory/theory4.html Общее уравнение кривой второго порядка]
• [elib.ispu.ru/library/math/sem1/pyartli1/node26.html Кривые второго порядка] (недоступная ссылка с 18-05-2013 (3989 дней))
• [www.pm298.ru/reshenie/giperb.php Кривые второго порядка: гипербола, парабола]

Литература

• Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64—69.

Отрывок, характеризующий Кривая второго порядка

– Я видела княжну, – отвечала она. – Я слышала, что ее сватали за молодого Ростова. Это было бы очень хорошо для Ростовых; говорят, они совсем разорились.
– Нет, Ростову вы знаете?
– Слышала тогда только про эту историю. Очень жалко.
«Нет, она не понимает или притворяется, – подумал Пьер. – Лучше тоже не говорить ей».
Княжна также приготавливала провизию на дорогу Пьеру.
«Как они добры все, – думал Пьер, – что они теперь, когда уж наверное им это не может быть более интересно, занимаются всем этим. И все для меня; вот что удивительно».
В этот же день к Пьеру приехал полицеймейстер с предложением прислать доверенного в Грановитую палату для приема вещей, раздаваемых нынче владельцам.
«Вот и этот тоже, – думал Пьер, глядя в лицо полицеймейстера, – какой славный, красивый офицер и как добр! Теперь занимается такими пустяками. А еще говорят, что он не честен и пользуется. Какой вздор! А впрочем, отчего же ему и не пользоваться? Он так и воспитан. И все так делают. А такое приятное, доброе лицо, и улыбается, глядя на меня».
Пьер поехал обедать к княжне Марье.
Проезжая по улицам между пожарищами домов, он удивлялся красоте этих развалин. Печные трубы домов, отвалившиеся стены, живописно напоминая Рейн и Колизей, тянулись, скрывая друг друга, по обгорелым кварталам. Встречавшиеся извозчики и ездоки, плотники, рубившие срубы, торговки и лавочники, все с веселыми, сияющими лицами, взглядывали на Пьера и говорили как будто: «А, вот он! Посмотрим, что выйдет из этого».
При входе в дом княжны Марьи на Пьера нашло сомнение в справедливости того, что он был здесь вчера, виделся с Наташей и говорил с ней. «Может быть, это я выдумал. Может быть, я войду и никого не увижу». Но не успел он вступить в комнату, как уже во всем существе своем, по мгновенному лишению своей свободы, он почувствовал ее присутствие. Она была в том же черном платье с мягкими складками и так же причесана, как и вчера, но она была совсем другая. Если б она была такою вчера, когда он вошел в комнату, он бы не мог ни на мгновение не узнать ее.
Она была такою же, какою он знал ее почти ребенком и потом невестой князя Андрея. Веселый вопросительный блеск светился в ее глазах; на лице было ласковое и странно шаловливое выражение.
Пьер обедал и просидел бы весь вечер; но княжна Марья ехала ко всенощной, и Пьер уехал с ними вместе.
На другой день Пьер приехал рано, обедал и просидел весь вечер. Несмотря на то, что княжна Марья и Наташа были очевидно рады гостю; несмотря на то, что весь интерес жизни Пьера сосредоточивался теперь в этом доме, к вечеру они всё переговорили, и разговор переходил беспрестанно с одного ничтожного предмета на другой и часто прерывался. Пьер засиделся в этот вечер так поздно, что княжна Марья и Наташа переглядывались между собою, очевидно ожидая, скоро ли он уйдет. Пьер видел это и не мог уйти. Ему становилось тяжело, неловко, но он все сидел, потому что не мог подняться и уйти.
Княжна Марья, не предвидя этому конца, первая встала и, жалуясь на мигрень, стала прощаться.
– Так вы завтра едете в Петербург? – сказала ока.
– Нет, я не еду, – с удивлением и как будто обидясь, поспешно сказал Пьер. – Да нет, в Петербург? Завтра; только я не прощаюсь. Я заеду за комиссиями, – сказал он, стоя перед княжной Марьей, краснея и не уходя.
Наташа подала ему руку и вышла. Княжна Марья, напротив, вместо того чтобы уйти, опустилась в кресло и своим лучистым, глубоким взглядом строго и внимательно посмотрела на Пьера. Усталость, которую она очевидно выказывала перед этим, теперь совсем прошла. Она тяжело и продолжительно вздохнула, как будто приготавливаясь к длинному разговору.
Все смущение и неловкость Пьера, при удалении Наташи, мгновенно исчезли и заменились взволнованным оживлением. Он быстро придвинул кресло совсем близко к княжне Марье.
– Да, я и хотел сказать вам, – сказал он, отвечая, как на слова, на ее взгляд. – Княжна, помогите мне. Что мне делать? Могу я надеяться? Княжна, друг мой, выслушайте меня. Я все знаю. Я знаю, что я не стою ее; я знаю, что теперь невозможно говорить об этом. Но я хочу быть братом ей. Нет, я не хочу.. я не могу…
Он остановился и потер себе лицо и глаза руками.
– Ну, вот, – продолжал он, видимо сделав усилие над собой, чтобы говорить связно. – Я не знаю, с каких пор я люблю ее. Но я одну только ее, одну любил во всю мою жизнь и люблю так, что без нее не могу себе представить жизни. Просить руки ее теперь я не решаюсь; но мысль о том, что, может быть, она могла бы быть моею и что я упущу эту возможность… возможность… ужасна. Скажите, могу я надеяться? Скажите, что мне делать? Милая княжна, – сказал он, помолчав немного и тронув ее за руку, так как она не отвечала.
– Я думаю о том, что вы мне сказали, – отвечала княжна Марья. – Вот что я скажу вам. Вы правы, что теперь говорить ей об любви… – Княжна остановилась. Она хотела сказать: говорить ей о любви теперь невозможно; но она остановилась, потому что она третий день видела по вдруг переменившейся Наташе, что не только Наташа не оскорбилась бы, если б ей Пьер высказал свою любовь, но что она одного только этого и желала.
– Говорить ей теперь… нельзя, – все таки сказала княжна Марья.
– Но что же мне делать?
– Поручите это мне, – сказала княжна Марья. – Я знаю…
Пьер смотрел в глаза княжне Марье.
– Ну, ну… – говорил он.
– Я знаю, что она любит… полюбит вас, – поправилась княжна Марья.
Не успела она сказать эти слова, как Пьер вскочил и с испуганным лицом схватил за руку княжну Марью.
– Отчего вы думаете? Вы думаете, что я могу надеяться? Вы думаете?!
– Да, думаю, – улыбаясь, сказала княжна Марья. – Напишите родителям. И поручите мне. Я скажу ей, когда будет можно. Я желаю этого. И сердце мое чувствует, что это будет.
– Нет, это не может быть! Как я счастлив! Но это не может быть… Как я счастлив! Нет, не может быть! – говорил Пьер, целуя руки княжны Марьи.
– Вы поезжайте в Петербург; это лучше. А я напишу вам, – сказала она.
– В Петербург? Ехать? Хорошо, да, ехать. Но завтра я могу приехать к вам?
На другой день Пьер приехал проститься. Наташа была менее оживлена, чем в прежние дни; но в этот день, иногда взглянув ей в глаза, Пьер чувствовал, что он исчезает, что ни его, ни ее нет больше, а есть одно чувство счастья. «Неужели? Нет, не может быть», – говорил он себе при каждом ее взгляде, жесте, слове, наполнявших его душу радостью.
Когда он, прощаясь с нею, взял ее тонкую, худую руку, он невольно несколько дольше удержал ее в своей.
«Неужели эта рука, это лицо, эти глаза, все это чуждое мне сокровище женской прелести, неужели это все будет вечно мое, привычное, такое же, каким я сам для себя? Нет, это невозможно!..»
– Прощайте, граф, – сказала она ему громко. – Я очень буду ждать вас, – прибавила она шепотом.
И эти простые слова, взгляд и выражение лица, сопровождавшие их, в продолжение двух месяцев составляли предмет неистощимых воспоминаний, объяснений и счастливых мечтаний Пьера. «Я очень буду ждать вас… Да, да, как она сказала? Да, я очень буду ждать вас. Ах, как я счастлив! Что ж это такое, как я счастлив!» – говорил себе Пьер.


В душе Пьера теперь не происходило ничего подобного тому, что происходило в ней в подобных же обстоятельствах во время его сватовства с Элен.
Он не повторял, как тогда, с болезненным стыдом слов, сказанных им, не говорил себе: «Ах, зачем я не сказал этого, и зачем, зачем я сказал тогда „je vous aime“?» [я люблю вас] Теперь, напротив, каждое слово ее, свое он повторял в своем воображении со всеми подробностями лица, улыбки и ничего не хотел ни убавить, ни прибавить: хотел только повторять. Сомнений в том, хорошо ли, или дурно то, что он предпринял, – теперь не было и тени. Одно только страшное сомнение иногда приходило ему в голову. Не во сне ли все это? Не ошиблась ли княжна Марья? Не слишком ли я горд и самонадеян? Я верю; а вдруг, что и должно случиться, княжна Марья скажет ей, а она улыбнется и ответит: «Как странно! Он, верно, ошибся. Разве он не знает, что он человек, просто человек, а я?.. Я совсем другое, высшее».
Только это сомнение часто приходило Пьеру. Планов он тоже не делал теперь никаких. Ему казалось так невероятно предстоящее счастье, что стоило этому совершиться, и уж дальше ничего не могло быть. Все кончалось.
Радостное, неожиданное сумасшествие, к которому Пьер считал себя неспособным, овладело им. Весь смысл жизни, не для него одного, но для всего мира, казался ему заключающимся только в его любви и в возможности ее любви к нему. Иногда все люди казались ему занятыми только одним – его будущим счастьем. Ему казалось иногда, что все они радуются так же, как и он сам, и только стараются скрыть эту радость, притворяясь занятыми другими интересами. В каждом слове и движении он видел намеки на свое счастие. Он часто удивлял людей, встречавшихся с ним, своими значительными, выражавшими тайное согласие, счастливыми взглядами и улыбками. Но когда он понимал, что люди могли не знать про его счастье, он от всей души жалел их и испытывал желание как нибудь объяснить им, что все то, чем они заняты, есть совершенный вздор и пустяки, не стоящие внимания.
Когда ему предлагали служить или когда обсуждали какие нибудь общие, государственные дела и войну, предполагая, что от такого или такого исхода такого то события зависит счастие всех людей, он слушал с кроткой соболезнующею улыбкой и удивлял говоривших с ним людей своими странными замечаниями. Но как те люди, которые казались Пьеру понимающими настоящий смысл жизни, то есть его чувство, так и те несчастные, которые, очевидно, не понимали этого, – все люди в этот период времени представлялись ему в таком ярком свете сиявшего в нем чувства, что без малейшего усилия, он сразу, встречаясь с каким бы то ни было человеком, видел в нем все, что было хорошего и достойного любви.
Рассматривая дела и бумаги своей покойной жены, он к ее памяти не испытывал никакого чувства, кроме жалости в том, что она не знала того счастья, которое он знал теперь. Князь Василий, особенно гордый теперь получением нового места и звезды, представлялся ему трогательным, добрым и жалким стариком.
Пьер часто потом вспоминал это время счастливого безумия. Все суждения, которые он составил себе о людях и обстоятельствах за этот период времени, остались для него навсегда верными. Он не только не отрекался впоследствии от этих взглядов на людей и вещи, но, напротив, в внутренних сомнениях и противуречиях прибегал к тому взгляду, который он имел в это время безумия, и взгляд этот всегда оказывался верен.
«Может быть, – думал он, – я и казался тогда странен и смешон; но я тогда не был так безумен, как казалось. Напротив, я был тогда умнее и проницательнее, чем когда либо, и понимал все, что стоит понимать в жизни, потому что… я был счастлив».
Безумие Пьера состояло в том, что он не дожидался, как прежде, личных причин, которые он называл достоинствами людей, для того чтобы любить их, а любовь переполняла его сердце, и он, беспричинно любя людей, находил несомненные причины, за которые стоило любить их.


С первого того вечера, когда Наташа, после отъезда Пьера, с радостно насмешливой улыбкой сказала княжне Марье, что он точно, ну точно из бани, и сюртучок, и стриженый, с этой минуты что то скрытое и самой ей неизвестное, но непреодолимое проснулось в душе Наташи.
Все: лицо, походка, взгляд, голос – все вдруг изменилось в ней. Неожиданные для нее самой – сила жизни, надежды на счастье всплыли наружу и требовали удовлетворения. С первого вечера Наташа как будто забыла все то, что с ней было. Она с тех пор ни разу не пожаловалась на свое положение, ни одного слова не сказала о прошедшем и не боялась уже делать веселые планы на будущее. Она мало говорила о Пьере, но когда княжна Марья упоминала о нем, давно потухший блеск зажигался в ее глазах и губы морщились странной улыбкой.
Перемена, происшедшая в Наташе, сначала удивила княжну Марью; но когда она поняла ее значение, то перемена эта огорчила ее. «Неужели она так мало любила брата, что так скоро могла забыть его», – думала княжна Марья, когда она одна обдумывала происшедшую перемену. Но когда она была с Наташей, то не сердилась на нее и не упрекала ее. Проснувшаяся сила жизни, охватившая Наташу, была, очевидно, так неудержима, так неожиданна для нее самой, что княжна Марья в присутствии Наташи чувствовала, что она не имела права упрекать ее даже в душе своей.
Наташа с такой полнотой и искренностью вся отдалась новому чувству, что и не пыталась скрывать, что ей было теперь не горестно, а радостно и весело.
Когда, после ночного объяснения с Пьером, княжна Марья вернулась в свою комнату, Наташа встретила ее на пороге.
– Он сказал? Да? Он сказал? – повторила она. И радостное и вместе жалкое, просящее прощения за свою радость, выражение остановилось на лице Наташи.
– Я хотела слушать у двери; но я знала, что ты скажешь мне.
Как ни понятен, как ни трогателен был для княжны Марьи тот взгляд, которым смотрела на нее Наташа; как ни жалко ей было видеть ее волнение; но слова Наташи в первую минуту оскорбили княжну Марью. Она вспомнила о брате, о его любви.
«Но что же делать! она не может иначе», – подумала княжна Марья; и с грустным и несколько строгим лицом передала она Наташе все, что сказал ей Пьер. Услыхав, что он собирается в Петербург, Наташа изумилась.