Кризис оснований математики

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Кризис оснований математики — термин, обозначающий поиск фундаментальных основ математики на рубеже XIX и XX веков.

Начало кризиса

Теоретико-множественный подход, получивший широкое развитие в конце XIX века, позволил возвести математику на прочном, и, казалось, надежном фундаменте — канторовой теории множеств. Развитие канторовой теории множеств привело к возможности выразить в терминах этой теории все основные математические понятия. Возможность построения математики на теоретико-множественном фундаменте Гильберт охарактеризовал как «рай для математиков», а уже построенную на этой основе часть математики называл «симфонией бесконечного». Однако восторги сменились шоковым состоянием, когда была обнаружена противоречивость данного подхода.

Парадоксы

На рубеже XIX—XX веков были открыты так называемые парадоксы теории множеств.

Основная статья Парадоксы

Сущность парадокса заключается в том, что с помощью логически правильных рассуждений удаётся обосновать (доказать средствами данной теории) одновременно некоторое утверждение и его отрицание, то есть противоречие. Это означает противоречивость данной теории. По законам логики в противоречивой теории доказуемо «всё что угодно», то есть любое утверждение.

Наибольшую известность среди открытых парадоксов получили:

• Парадокс Рассела
• Парадокс Кантора
• Парадокс Ришара
• Парадокс Бурали-Форти

Пути устранения парадоксов

С целью избежания некоторых парадоксов было предложено ограничить принцип свёртывания — широко распространённой математической конструкции, позволяющей образовывать множества с помощью тех или иных свойств объектов.

Принцип свёртывания

Принцип свёртывания заключается в том, что для любого свойства <math>\mathcal{P}</math> считается существующим множество, состоящее из тех и только тех объектов, которые обладают свойством <math>\mathcal{P}</math>. Символически принцип свёртывания можно записать следующим образом:

<math>\exists M (x) (x \in M \leftrightarrow \mathcal{P}(x))</math>

где <math>\mathcal{M}</math> — произвольное множество.

Ограниченный принцип свёртывания

В ограниченном принципе свёртывания, к условию <math>\mathcal{P}(x)</math> добавляется условие, согласно которому элементы <math>\mathcal{M}</math> берутся из некоторого заданного множества <math>\mathcal{E}</math>, существование которого выведено из некоторого («надёжного») списка аксиом. Символически ограниченный принцип свёртывания можно записать следующим образом:

<math>\exists M (x) (x \in M \leftrightarrow P(x) \and x \in E)</math>

Критика существовавших логических принципов

Однако даже полное избавление от обнаруженных парадоксов не спасает и не страхует теорию множеств от новых парадоксов. Поэтому по-прежнему оставалась актуальной задача «спасения» математики. Фактически перед математиками стояла задача переосмысления логических средств, используемых в математических рассуждениях, надежности этих средств и соответствия их существу математики. Гарантировать невозможность противоречий в математической теории могло лишь доказательство непротиворечивости этой теории.

Тем не менее сущность кризиса не исчерпывалась только парадоксами, а заключалась также и в следующем.

• Во-первых, к концу XIX века среди математиков наметились существенные расхождения во взглядах на основные математические понятия и принципы, а также на логические принципы, используемые в математике.

• Во-вторых, возникли расхождения во взглядах на выбор путей избавления от парадоксов.

• Наконец, и по-видимому это самое главное, существовали принципиальные трудности обоснования непротиворечивости математики, её «спасения», многие из которых не преодолены до сих пор.

Критика некоторых теоретико-множественных принципов

Параллельно с открытием парадоксов (и независимо от этого) был подвергнут критике целый ряд теоретико-множественных и логических принципов.
Эта критика прежде всего была направлена на абстракцию актуальной бесконечности. Другим теоретико-множественным принципом, вызывающим многочисленные споры среди математиков, явилась знаменитая аксиома выбора. Споры вокруг аксиомы выбора были вызваны, с одной стороны очевидностью утверждения, а с другой — неэффективностью понимания существования множества выбора, а также странные результаты, получаемые с её использованием (см. парадокс Банаха — Тарского). Стоит отметить, что несмотря на явное противоречие утверждения теоремы повседневному опыту, данное утверждение не является парадоксом в логическом смысле.

Критика некоторых логических законов традиционной логики

Основными объектами критики стали такие логические законы, как закон исключенного третьего <math>A \vee\neg A</math>, закон снятия двойного отрицания <math>\neg (\neg A) \rightarrow A</math>, а следовательно и опирающийся на него метод доказательства от противного.

Появление логических школ

В результате различных взглядов на использование логических и теоретико-множественных принципов, а также различных взглядов на пути выхода из кризиса сформировались разные математические школы, яростно противостоявших друг другу.
Лидирующей школой являлась формалистская, самым ярким последователем которой был Давид Гильберт. Свои идеи он собрал в так называемой Гильбертовой программе, в которой предполагалось обосновать математику на небольшом логическом базисе, содержащемся в финитизме.

Основным противником данной школы была школа интуиционистов, отрицавшая возможность использования двойного отрицания и считающая недопустимым принятие принципа абстракции актуальной бесконечности. Возглавлял школу Лёйтзен Брауэр. Он безбоязненно отвергал формализм как бессмыссленную игру с символами. В 1920 году Гильберт добился исключения Брауэра, которого он считал угрозой математике, из группы редакторов Mathematische Annalen, главного математического журнала того времени.
Однако теоремы Гёделя о неполноте, доказанные в 1931 году, показали, что ключевые аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты.
Гёдель показал, как сконструировать для любой достаточно сильной и непротиворечивой рекурсивно аксиоматизируемой системы (такой, которая необходима, чтобы аксиоматизировать элементарную теорию арифметики на множестве натуральных чисел) утверждение, для которого может быть показана его правдивость, но не доказуемое системой. Таким образом, стало ясно, что математические основы не могут быть сведены к чисто формальной системе, как предполагалось в Гильбертовой программе. Тем самым был нанесен сокрушительный удар в сердце Гильбертовой программы, — программы, которая предполагала, что непротиворечивость может быть установлена финитическими средствами.
В то же время, интуиционистская школа не привлекла к себе каких-либо постоянных последователей среди активных математиков из-за проблем в конструктивной математике.

Заключение

Разногласия среди математиков по поводу логических законов свидетельствовали о необходимости изучения логических средств, используемых в математике, и пересмотра этих средств. Эти разногласия способствовали развитию идеи неединственности логики как системы логических принципов, приведшей в результате к созданию неклассических логик. Важнейшей из неклассических логик является интуиционистская логика.

Кризис всё ещё не пройден, но он затух. Большинство математиков или не работают с уровня аксиоматических систем, или, если работают, то не сомневаются в корректности системы ZFC, наиболее популярной аксиоматической системы. В большинстве разделов практической математики математические парадоксы и так не играли никакой роли, а в тех разделах, которые напрямую связаны с основами математики — в частности, математическая логика и теория категорий, — их можно обойти.

См. также

• «Математика. Утрата определённости»

Отрывок, характеризующий Кризис оснований математики

Mes loisirs ensuite et mes vieux jours eussent ete consacres, en compagnie de l'imperatrice et durant l'apprentissage royal de mon fils, a visiter lentement et en vrai couple campagnard, avec nos propres chevaux, tous les recoins de l'Empire, recevant les plaintes, redressant les torts, semant de toutes parts et partout les monuments et les bienfaits.
Русская война должна бы была быть самая популярная в новейшие времена: это была война здравого смысла и настоящих выгод, война спокойствия и безопасности всех; она была чисто миролюбивая и консервативная.
Это было для великой цели, для конца случайностей и для начала спокойствия. Новый горизонт, новые труды открывались бы, полные благосостояния и благоденствия всех. Система европейская была бы основана, вопрос заключался бы уже только в ее учреждении.
Удовлетворенный в этих великих вопросах и везде спокойный, я бы тоже имел свой конгресс и свой священный союз. Это мысли, которые у меня украли. В этом собрании великих государей мы обсуживали бы наши интересы семейно и считались бы с народами, как писец с хозяином.
Европа действительно скоро составила бы таким образом один и тот же народ, и всякий, путешествуя где бы то ни было, находился бы всегда в общей родине.
Я бы выговорил, чтобы все реки были судоходны для всех, чтобы море было общее, чтобы постоянные, большие армии были уменьшены единственно до гвардии государей и т.д.
Возвратясь во Францию, на родину, великую, сильную, великолепную, спокойную, славную, я провозгласил бы границы ее неизменными; всякую будущую войну защитительной; всякое новое распространение – антинациональным; я присоединил бы своего сына к правлению империей; мое диктаторство кончилось бы, в началось бы его конституционное правление…
Париж был бы столицей мира и французы предметом зависти всех наций!..
Потом мои досуги и последние дни были бы посвящены, с помощью императрицы и во время царственного воспитывания моего сына, на то, чтобы мало помалу посещать, как настоящая деревенская чета, на собственных лошадях, все уголки государства, принимая жалобы, устраняя несправедливости, рассевая во все стороны и везде здания и благодеяния.]
Он, предназначенный провидением на печальную, несвободную роль палача народов, уверял себя, что цель его поступков была благо народов и что он мог руководить судьбами миллионов и путем власти делать благодеяния!
«Des 400000 hommes qui passerent la Vistule, – писал он дальше о русской войне, – la moitie etait Autrichiens, Prussiens, Saxons, Polonais, Bavarois, Wurtembergeois, Mecklembourgeois, Espagnols, Italiens, Napolitains. L'armee imperiale, proprement dite, etait pour un tiers composee de Hollandais, Belges, habitants des bords du Rhin, Piemontais, Suisses, Genevois, Toscans, Romains, habitants de la 32 e division militaire, Breme, Hambourg, etc.; elle comptait a peine 140000 hommes parlant francais. L'expedition do Russie couta moins de 50000 hommes a la France actuelle; l'armee russe dans la retraite de Wilna a Moscou, dans les differentes batailles, a perdu quatre fois plus que l'armee francaise; l'incendie de Moscou a coute la vie a 100000 Russes, morts de froid et de misere dans les bois; enfin dans sa marche de Moscou a l'Oder, l'armee russe fut aussi atteinte par, l'intemperie de la saison; elle ne comptait a son arrivee a Wilna que 50000 hommes, et a Kalisch moins de 18000».
[Из 400000 человек, которые перешли Вислу, половина была австрийцы, пруссаки, саксонцы, поляки, баварцы, виртембергцы, мекленбургцы, испанцы, итальянцы и неаполитанцы. Императорская армия, собственно сказать, была на треть составлена из голландцев, бельгийцев, жителей берегов Рейна, пьемонтцев, швейцарцев, женевцев, тосканцев, римлян, жителей 32 й военной дивизии, Бремена, Гамбурга и т.д.; в ней едва ли было 140000 человек, говорящих по французски. Русская экспедиция стоила собственно Франции менее 50000 человек; русская армия в отступлении из Вильны в Москву в различных сражениях потеряла в четыре раза более, чем французская армия; пожар Москвы стоил жизни 100000 русских, умерших от холода и нищеты в лесах; наконец во время своего перехода от Москвы к Одеру русская армия тоже пострадала от суровости времени года; по приходе в Вильну она состояла только из 50000 людей, а в Калише менее 18000.]
Он воображал себе, что по его воле произошла война с Россией, и ужас совершившегося не поражал его душу. Он смело принимал на себя всю ответственность события, и его помраченный ум видел оправдание в том, что в числе сотен тысяч погибших людей было меньше французов, чем гессенцев и баварцев.


Несколько десятков тысяч человек лежало мертвыми в разных положениях и мундирах на полях и лугах, принадлежавших господам Давыдовым и казенным крестьянам, на тех полях и лугах, на которых сотни лет одновременно сбирали урожаи и пасли скот крестьяне деревень Бородина, Горок, Шевардина и Семеновского. На перевязочных пунктах на десятину места трава и земля были пропитаны кровью. Толпы раненых и нераненых разных команд людей, с испуганными лицами, с одной стороны брели назад к Можайску, с другой стороны – назад к Валуеву. Другие толпы, измученные и голодные, ведомые начальниками, шли вперед. Третьи стояли на местах и продолжали стрелять.
Над всем полем, прежде столь весело красивым, с его блестками штыков и дымами в утреннем солнце, стояла теперь мгла сырости и дыма и пахло странной кислотой селитры и крови. Собрались тучки, и стал накрапывать дождик на убитых, на раненых, на испуганных, и на изнуренных, и на сомневающихся людей. Как будто он говорил: «Довольно, довольно, люди. Перестаньте… Опомнитесь. Что вы делаете?»
Измученным, без пищи и без отдыха, людям той и другой стороны начинало одинаково приходить сомнение о том, следует ли им еще истреблять друг друга, и на всех лицах было заметно колебанье, и в каждой душе одинаково поднимался вопрос: «Зачем, для кого мне убивать и быть убитому? Убивайте, кого хотите, делайте, что хотите, а я не хочу больше!» Мысль эта к вечеру одинаково созрела в душе каждого. Всякую минуту могли все эти люди ужаснуться того, что они делали, бросить всо и побежать куда попало.
Но хотя уже к концу сражения люди чувствовали весь ужас своего поступка, хотя они и рады бы были перестать, какая то непонятная, таинственная сила еще продолжала руководить ими, и, запотелые, в порохе и крови, оставшиеся по одному на три, артиллеристы, хотя и спотыкаясь и задыхаясь от усталости, приносили заряды, заряжали, наводили, прикладывали фитили; и ядра так же быстро и жестоко перелетали с обеих сторон и расплюскивали человеческое тело, и продолжало совершаться то страшное дело, которое совершается не по воле людей, а по воле того, кто руководит людьми и мирами.
Тот, кто посмотрел бы на расстроенные зады русской армии, сказал бы, что французам стоит сделать еще одно маленькое усилие, и русская армия исчезнет; и тот, кто посмотрел бы на зады французов, сказал бы, что русским стоит сделать еще одно маленькое усилие, и французы погибнут. Но ни французы, ни русские не делали этого усилия, и пламя сражения медленно догорало.
Русские не делали этого усилия, потому что не они атаковали французов. В начале сражения они только стояли по дороге в Москву, загораживая ее, и точно так же они продолжали стоять при конце сражения, как они стояли при начале его. Но ежели бы даже цель русских состояла бы в том, чтобы сбить французов, они не могли сделать это последнее усилие, потому что все войска русских были разбиты, не было ни одной части войск, не пострадавшей в сражении, и русские, оставаясь на своих местах, потеряли половину своего войска.
Французам, с воспоминанием всех прежних пятнадцатилетних побед, с уверенностью в непобедимости Наполеона, с сознанием того, что они завладели частью поля сраженья, что они потеряли только одну четверть людей и что у них еще есть двадцатитысячная нетронутая гвардия, легко было сделать это усилие. Французам, атаковавшим русскую армию с целью сбить ее с позиции, должно было сделать это усилие, потому что до тех пор, пока русские, точно так же как и до сражения, загораживали дорогу в Москву, цель французов не была достигнута и все их усилия и потери пропали даром. Но французы не сделали этого усилия. Некоторые историки говорят, что Наполеону стоило дать свою нетронутую старую гвардию для того, чтобы сражение было выиграно. Говорить о том, что бы было, если бы Наполеон дал свою гвардию, все равно что говорить о том, что бы было, если б осенью сделалась весна. Этого не могло быть. Не Наполеон не дал своей гвардии, потому что он не захотел этого, но этого нельзя было сделать. Все генералы, офицеры, солдаты французской армии знали, что этого нельзя было сделать, потому что упадший дух войска не позволял этого.