Круговое движение

О разновидности перекрёстков: см. Круговой перекрёсток.

В физике кругово́е движе́ние — это вращательное движение материальной точки или тела, когда ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела. В этом случае траектория точки или тела является кругом, круговой орбитой. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

Формулы для равномерного кругового движения

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть T, то угловая скорость вращения ω будет равна:

• <math> \omega = \frac {2 \pi}{T} \ . </math>

Скорость движения объекта равна

• <math> v\, = \frac {2 \pi R } {T} = \omega R </math>

Угол поворота θ за время t равен:

• <math> \theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t</math>

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направления за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:

• <math> a\, = \frac {2 \pi v }{T} = \omega^2 \ R \ ,</math>

и направлено радиально к центру.

Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω, перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = dθ / dt. Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки. По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:

<math> \mathbf{v} = \boldsymbol \Omega \times \mathbf r \ , </math>

и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R. Аналогично, ускорение определяется как:

<math> \mathbf{a} = \boldsymbol \Omega \times \mathbf v \ , </math>

Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω |v| = ω² R и направление строго противоположно к r ( t ).

Постоянная скорость

В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.

Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду.

• Скорость: один метр в секунду;
• Радиальное ускорение: один метр в секунду за секунду;
• Ускорение сообщается центростремительной силой один килограмм на метр в секунду за секунду, т. е. один ньютон;
• Импульс тела: один kg·m·s⁻¹
• Момент инерции: один kg·m²
• Момент импульса: один kg·m²·s⁻¹
• Кинетическая энергия: 1/2 джоуля;
• Длина окружности орбиты: 2π (~ 6.283) метров;
• Период движения: 2π секунд на один оборот;
• Частота: (2π)⁻¹ герц;
• С точки зрения квантовой механики система находится в возбужденном состоянии с квантовым числом ~ 9.48·10³⁵

Теперь рассмотрим тело массы m, движущееся по кругу радиуса r с угловой скоростью ω;

• Скорость: v = r·ω
• Радиальное ускорение: a = r·ω ² = r ⁻¹·v ²
• Центростремительная сила: F = m·a = r·m·ω ² = r⁻¹·m·v ²
• Импульс тела: p = m·v = r·m·ω
• Момент инерции: I = r ²·m
• Момент импульса: L = r·m·v = r ²·m·ω = I·ω
• Кинетическая энергия: E = 2⁻¹·m·v ² = 2⁻¹·r ²·m·ω ² = (2·m)⁻¹·p ² = 2⁻¹·I·ω ² = (2·I)⁻¹·L ²
• Длина окружности орбиты: 2·π·r
• Период движения: T = 2·π·ω ⁻¹
• Частота: f = T ⁻¹ . (Вместо буквы f частота часто обозначается греческой буквой ν, которая, однако, часто неотличима от буквы v, используемой здесь для обозначения скорости);
• Квантовое число: J = 2·π·L h⁻¹

Переменная скорость

В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющие: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.

Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, то он подвергается воздействию некоторой силы, которую мы можем разложить на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет будет вращение камня ускоряться или замедляться.

Описание кругового движения в полярных координатах

Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ (t) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения <math>\stackrel{\vec r}{}</math> является радиальным вектором от полюса до текущего положения:

<math>\vec r=R \hat u_R (t)\ ,</math>

где <math>\hat u_R (t)</math> — единичный вектор, параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный вектор, ортогональный к <math>\hat u_R</math>, который назовём <math>\hat u_\theta</math>. Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.

Скорость является производной перемещения по времени:

<math> \vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = \frac {d R}{dt} \hat u_R + R\frac {d \hat u_R } {dt} \ . </math>

Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор <math>\hat u_R</math> имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у <math>\vec r (t)</math>. Если произошло малое приращение угла dθ за время dt, тогда <math>\hat u_R</math> описывает дугу единичной окружности со значением dθ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:

<math> \frac {d \hat u_R } {dt} = \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ , </math>

где направление изменения должно быть перпендикулярно к <math>\hat u_R </math> (или, другими словами, вдоль <math>\hat u_\theta</math>), поскольку любое изменение d<math>\hat u_R </math> в направлении <math>\hat u_R </math> будет изменять величину <math>\hat u_R </math>. Знак положительный, потому что увеличение dθ влияет на объект и <math>\hat u_R </math> передвигается в направлении <math>\hat u_\theta</math>. Следовательно, скорость становится:

<math> \vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = R\frac {d \hat u_R } {dt} = R \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ = R \omega \hat u_\theta \ . </math>

Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:

<math> \vec a = \frac {d}{dt} \vec v = \frac {d}{dt} \left(R\ \omega \ \hat u_\theta \ \right) \ . </math>

<math>=R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right) \ . </math>

Производная по времени от <math>\hat u_\theta</math> находится таким же путём, как и для <math>\hat u_R </math>. Опять же, <math>\hat u_\theta</math> есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла dθ вектора <math>\vec r (t)</math> перемещает <math>\hat u_\theta</math> по дуге на величину dθ, и поскольку <math>\hat u_\theta</math> перпендикулярен к <math>\hat u_R </math>, мы имеем:

<math> \frac {d \hat u_\theta } {dt} = -\frac {d \theta } {dt} \hat u_R = -\omega \hat u_R\ , </math>

где отрицательный знак необходим, чтобы сохранить <math>\hat u_\theta</math> перпендикулярным к <math>\hat u_R </math>. (Иначе угол между <math>\hat u_\theta</math> и <math>\hat u_R </math> будет уменьшаться с увеличением dθ, см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно, ускорение равно:

<math>\vec a = R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right)</math>

<math>=R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta - \omega^2 R \ \hat u_R \ . </math>

Центростремительное ускорение — это радиальная составляющая, направленная по радиусу вовнутрь:

<math>\vec a_R= -\omega ^2R \hat u_R \ , </math>

тогда как тангенциальная составляющая изменяет значение скорости:

<math>\vec a_{\theta}= R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta = \frac {d R \omega}{dt}\ \hat u_\theta =\frac {d |\vec v|}{dt}\ \hat u_\theta \ .</math>

Описание кругового движения в комплексных числах

Круговое движение можно описать с использованием комплексных чисел. Пусть <math>x</math> — ось вещественных чисел, а <math>y</math> — ось мнимых чисел. Тогда положение тела может быть задано в виде комплексного "вектора" <math>z</math>:

<math>z=x+iy=R(\cos \theta +i \sin \theta)=Re^{i\theta}\ ,</math>

где <math>i</math> есть мнимая единица, и

<math>\theta =\theta (t)\ ,</math>

есть угол комплексного вектора по отношению к вещественной оси как функция времени t. Поскольку радиус есть константа:

<math>\dot R =\ddot R =0 \ ,</math>

где точка означает дифференциал по времени. В этих обозначениях скорость имеет вид :

<math>v=\dot z = R \frac {d}{dt}\left( i \theta\right) e^{i \theta} = iR\dot \theta e^{i\theta} = i\omega \cdot Re^{i\theta}= i\omega z</math>

а ускорение:

<math>a=\dot v =i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\dot \omega -\omega^2)z</math>

<math>= \left(i\dot \omega-\omega^2 \right) R e^{i\theta} </math>

<math>=-\omega^2 R e^{i\theta} + \dot \omega e^{i\frac{\pi}{2}}R e^{i\theta} \ .</math>

Первое слагаемое направлено против вектора перемещения, а второе — перпендикулярно ему, как и в предыдущих результатах.

Ссылки

• [www.bigs.de/BLH/en/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=82&Itemid=250 BIGS animation  (англ.)] Круговое движение
• [www.lightandmatter.com/html_books/1np/ch09/ch09.html Circular Motion  (англ.)] - глава из онлайн-учебника

См. также

• Момент импульса
• Уравнения движения
• Математический маятник
• Центростремительная сила
• Сила инерции

Отрывок, характеризующий Круговое движение

[Из 400000 человек, которые перешли Вислу, половина была австрийцы, пруссаки, саксонцы, поляки, баварцы, виртембергцы, мекленбургцы, испанцы, итальянцы и неаполитанцы. Императорская армия, собственно сказать, была на треть составлена из голландцев, бельгийцев, жителей берегов Рейна, пьемонтцев, швейцарцев, женевцев, тосканцев, римлян, жителей 32 й военной дивизии, Бремена, Гамбурга и т.д.; в ней едва ли было 140000 человек, говорящих по французски. Русская экспедиция стоила собственно Франции менее 50000 человек; русская армия в отступлении из Вильны в Москву в различных сражениях потеряла в четыре раза более, чем французская армия; пожар Москвы стоил жизни 100000 русских, умерших от холода и нищеты в лесах; наконец во время своего перехода от Москвы к Одеру русская армия тоже пострадала от суровости времени года; по приходе в Вильну она состояла только из 50000 людей, а в Калише менее 18000.]
Он воображал себе, что по его воле произошла война с Россией, и ужас совершившегося не поражал его душу. Он смело принимал на себя всю ответственность события, и его помраченный ум видел оправдание в том, что в числе сотен тысяч погибших людей было меньше французов, чем гессенцев и баварцев.


Несколько десятков тысяч человек лежало мертвыми в разных положениях и мундирах на полях и лугах, принадлежавших господам Давыдовым и казенным крестьянам, на тех полях и лугах, на которых сотни лет одновременно сбирали урожаи и пасли скот крестьяне деревень Бородина, Горок, Шевардина и Семеновского. На перевязочных пунктах на десятину места трава и земля были пропитаны кровью. Толпы раненых и нераненых разных команд людей, с испуганными лицами, с одной стороны брели назад к Можайску, с другой стороны – назад к Валуеву. Другие толпы, измученные и голодные, ведомые начальниками, шли вперед. Третьи стояли на местах и продолжали стрелять.
Над всем полем, прежде столь весело красивым, с его блестками штыков и дымами в утреннем солнце, стояла теперь мгла сырости и дыма и пахло странной кислотой селитры и крови. Собрались тучки, и стал накрапывать дождик на убитых, на раненых, на испуганных, и на изнуренных, и на сомневающихся людей. Как будто он говорил: «Довольно, довольно, люди. Перестаньте… Опомнитесь. Что вы делаете?»
Измученным, без пищи и без отдыха, людям той и другой стороны начинало одинаково приходить сомнение о том, следует ли им еще истреблять друг друга, и на всех лицах было заметно колебанье, и в каждой душе одинаково поднимался вопрос: «Зачем, для кого мне убивать и быть убитому? Убивайте, кого хотите, делайте, что хотите, а я не хочу больше!» Мысль эта к вечеру одинаково созрела в душе каждого. Всякую минуту могли все эти люди ужаснуться того, что они делали, бросить всо и побежать куда попало.
Но хотя уже к концу сражения люди чувствовали весь ужас своего поступка, хотя они и рады бы были перестать, какая то непонятная, таинственная сила еще продолжала руководить ими, и, запотелые, в порохе и крови, оставшиеся по одному на три, артиллеристы, хотя и спотыкаясь и задыхаясь от усталости, приносили заряды, заряжали, наводили, прикладывали фитили; и ядра так же быстро и жестоко перелетали с обеих сторон и расплюскивали человеческое тело, и продолжало совершаться то страшное дело, которое совершается не по воле людей, а по воле того, кто руководит людьми и мирами.
Тот, кто посмотрел бы на расстроенные зады русской армии, сказал бы, что французам стоит сделать еще одно маленькое усилие, и русская армия исчезнет; и тот, кто посмотрел бы на зады французов, сказал бы, что русским стоит сделать еще одно маленькое усилие, и французы погибнут. Но ни французы, ни русские не делали этого усилия, и пламя сражения медленно догорало.
Русские не делали этого усилия, потому что не они атаковали французов. В начале сражения они только стояли по дороге в Москву, загораживая ее, и точно так же они продолжали стоять при конце сражения, как они стояли при начале его. Но ежели бы даже цель русских состояла бы в том, чтобы сбить французов, они не могли сделать это последнее усилие, потому что все войска русских были разбиты, не было ни одной части войск, не пострадавшей в сражении, и русские, оставаясь на своих местах, потеряли половину своего войска.
Французам, с воспоминанием всех прежних пятнадцатилетних побед, с уверенностью в непобедимости Наполеона, с сознанием того, что они завладели частью поля сраженья, что они потеряли только одну четверть людей и что у них еще есть двадцатитысячная нетронутая гвардия, легко было сделать это усилие. Французам, атаковавшим русскую армию с целью сбить ее с позиции, должно было сделать это усилие, потому что до тех пор, пока русские, точно так же как и до сражения, загораживали дорогу в Москву, цель французов не была достигнута и все их усилия и потери пропали даром. Но французы не сделали этого усилия. Некоторые историки говорят, что Наполеону стоило дать свою нетронутую старую гвардию для того, чтобы сражение было выиграно. Говорить о том, что бы было, если бы Наполеон дал свою гвардию, все равно что говорить о том, что бы было, если б осенью сделалась весна. Этого не могло быть. Не Наполеон не дал своей гвардии, потому что он не захотел этого, но этого нельзя было сделать. Все генералы, офицеры, солдаты французской армии знали, что этого нельзя было сделать, потому что упадший дух войска не позволял этого.
Не один Наполеон испытывал то похожее на сновиденье чувство, что страшный размах руки падает бессильно, но все генералы, все участвовавшие и не участвовавшие солдаты французской армии, после всех опытов прежних сражений (где после вдесятеро меньших усилий неприятель бежал), испытывали одинаковое чувство ужаса перед тем врагом, который, потеряв половину войска, стоял так же грозно в конце, как и в начале сражения. Нравственная сила французской, атакующей армии была истощена. Не та победа, которая определяется подхваченными кусками материи на палках, называемых знаменами, и тем пространством, на котором стояли и стоят войска, – а победа нравственная, та, которая убеждает противника в нравственном превосходстве своего врага и в своем бессилии, была одержана русскими под Бородиным. Французское нашествие, как разъяренный зверь, получивший в своем разбеге смертельную рану, чувствовало свою погибель; но оно не могло остановиться, так же как и не могло не отклониться вдвое слабейшее русское войско. После данного толчка французское войско еще могло докатиться до Москвы; но там, без новых усилий со стороны русского войска, оно должно было погибнуть, истекая кровью от смертельной, нанесенной при Бородине, раны. Прямым следствием Бородинского сражения было беспричинное бегство Наполеона из Москвы, возвращение по старой Смоленской дороге, погибель пятисоттысячного нашествия и погибель наполеоновской Франции, на которую в первый раз под Бородиным была наложена рука сильнейшего духом противника.



Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений.
Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно.
Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.
Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения.
В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.