Кубика

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

<math>F \left( x,y,z \right) = 0,</math>

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1.

Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности[1].





Ударение

В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка»[1]. Тем не менее, употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика»[2][3][4][5][6].

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[7].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

  • <math>xy^2+ey\,=\,ax^3+bx^2+cx+d</math>;
  • <math>xy\,=\,ax^3+bx^2+cx+d</math>;
  • <math>y^2\,=\,ax^3+bx^2+cx+d</math>;
  • <math>y\,=\,ax^3+bx^2+cx+d</math>.

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[8].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства

  • Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
  • На кубике взяли точку A, и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X = 16Y[9].
  • Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
  • Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть 4. Например: у кубики f (x, y) = 3x 3 5y 2x 4x 2 10yx + 10y 2 6x + 20y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
  • Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
  • На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[10][11].
  • Прямая пересекает кубику в точках A, B, C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A, B, C, пересекают кубику второй раз в точках P, Q, R. Тогда точки P, Q, R также лежат на одной прямой[12][13].

Применения

  • Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
  • Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
  • Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[14].
  • Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубик[15].

См. также

Напишите отзыв о статье "Кубика"

Примечания

  1. 1 2 Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 304,55. — 845 с.
  2. А. Н. Паршин. [youtube.com/watch?v=N3VuHmifjls&t=1h04m26s Теория представлений групп и алгебраическая геометрия] на YouTube
  3. С. С. Галкин. [youtube.com/watch?v=Nrtzq3zThhk&t=1h13m16s Алгебраические поверхности. Лекция 3.] на YouTube
  4. Г. Б. Шабат. [www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=9373&option_lang=rus Вокруг Понселе. Лекция 4]. Видеотека Общероссийского математического портала (в 20 мин 18 сек)
  5. С. М. Львовский [www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=12001 Двадцать семь прямых. Занятие 3]. Видеотека Общероссийского математического портала (в 36 мин 15 сек)
  6. С. А. Локтев. [youtube.com/watch?v=xUFLImu53yk&t=54m24s Теория представлений групп и алгебраическая геометрия] на YouTube
  7. «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [books.mathtree.ru/newton/index_expo_r.html?208]).
  8. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
  9. Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
  10. Острик В. В., Цфасман М. А. [mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.8.pdf Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые]. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5.
  11. Соловьёв Ю. П. [www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9710_138.pdf Рациональные точки на эллиптических кривых] // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
  12. [www.jstor.org/stable/3611930 The Cubic Curve and an Associated Structure by D. S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, No. 372 (May, 1966), pp. 105—110 Published by: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Page Count: 6].
  13. См. также Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/CubicCurve.html Cubic Curve] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [www.mai.ru/~apg/Volume9/Number20/hirsch920_11.pdf], [www.springerlink.com/content/b5u4247121655130/], [www.jstor.org/pss/1986396], [people.maths.ox.ac.uk/~szendroi/cubic.pdf], [www.jstor.org/pss/2370374], [www.jstor.org/pss/1967468], [portal.acm.org/citation.cfm?id=235482], [portal.acm.org/citation.cfm?id=32867.32870], [portal.acm.org/citation.cfm?id=77055.77056].
  14. См. [www.paideiaschool.org/TeacherPages/Steve_Sigur/resources/geo%20cubics/geometrical%20cubics.html] и [web.archive.org/web/20080330040303/pagesperso-orange.fr/bernard.gibert/].
  15. См. его работы [faculty.evansville.edu/ck6/bstud/morley.html].

Ссылки

  • Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках [flash-ripper.com/archives/000179.php Flash] и [www.informit.com/articles/article.aspx?p=21131 Java].