Алгебра над кольцом

Эта статья — о модуле, снабженном произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения

Пусть <math>K</math> — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль <math>A</math> над кольцом <math>K</math>, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом <math>K</math>) <math>f:A\times A\rightarrow A</math> определено произведение согласно равенству <math>ab=f(a,b)</math> называется алгеброй над <math>K</math> или <math>K</math>-алгеброй.

Согласно определению для всех <math>k,\;l\in K</math> и <math>a, b, c\in A</math> справедливы соотношения:

1. <math>a(b+c)=ab+ac</math>
2. <math>(a+b)c=ac+bc</math>
3. <math>(k+l)a=ka+la</math>
4. <math>k(a+b)=ka+kb</math>
5. <math>k(la)=(kl)a</math>
6. <math>k(ab)=(ka)b=a(kb)</math>
7. <math> 1a=a</math>, где <math>1</math> — единица кольца <math>K</math>

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для <math>a</math>, <math>b\in A</math> коммутатор определён равенством <math>[a,b]=ab-ba</math>. <math>K</math>-алгебра называется коммутативной, если <math>[a,b]=0</math>.

Для <math>a, b, c\in A</math> ассоциатор определён равенством <math>(a,b,c)=(ab)c-a(bc)</math>. <math>K</math>-алгебра называется ассоциативной, если <math>(a,b,c)=0</math>.

Если существует элемент <math>e \in A</math> такой, что <math>ea = ae = a</math> для всех <math>a \in A</math>, то <math>e</math> называется единицей алгебры <math>A</math>, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия <math>k(ab)=(ka)b=a(kb)</math> требуют более слабое: <math>k(ab)=(ka)b</math>.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение <math>na</math> (где <math>n</math> — целое число) обычно, то есть как сумму <math>n</math> копий <math>a</math>. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения <math>f</math> выбрать полилинейное отображение <math>g:A^n\rightarrow A</math> и определить произведение согласно правилу: <math>a_1 \dots a_n=g(a_1, \dots ,a_n)</math>, то полученная алгебраическая структура называется <math>n</math>-алгеброй.

Свободная алгебра

Сюда перенаправляется запрос «Свободная алгебра». На эту тему нужна отдельная статья.

Если алгебра <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом <math>K</math>. Если алгебра <math>A</math> имеет конечный базис, то алгебра <math>A</math> называется конечномерной.

Если <math>K</math> является полем, то, по определению, <math>K</math>-алгебра является векторным пространством над <math>K</math>, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают <math>e_1, \dots, e_n</math>. Если алгебра имеет единицу <math>e</math>, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают <math>e_0=e</math>. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

<math>e_ie_j=C^k_{ij}e_k</math>.

А именно, если <math>a=a^ke_k</math>, <math>b=b^ke_k</math>, то произведение можно представить в виде:

<math>ab=C^k_{ij}a^ib^je_k</math>.

Величины <math>C^k_{ij}\in K</math> называются структурными константами алгебры <math>A</math>.

Если алгебра коммутативна, то:

<math>C^k_{ij}=C^k_{ji}</math>.

Если алгебра ассоциативна, то:

<math>C^k_{ij}C^j_{ml}=C^j_{im}C^k_{jl}</math>.

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем <math>K</math> можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над <math>K</math>.

Отображение алгебры

Возможно рассматривать алгебру <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> как модуль <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math>. Отображение <math>f:A\rightarrow B</math> алгебры <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> в алгебру <math>B</math> над кольцом <math>K</math> называется линейным, если:

<math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>,

<math>f(ka)=kf(a)</math>.

для любых <math>a</math>, <math>b\in A</math>, <math>k\in K</math>. Множество линейных отображений алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> обозначается символом <math>\mathcal L(A;B)</math>.

Линейное отображение <math>f:A\rightarrow B</math> алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> называется гомоморфизмом, если <math>f(ab)=f(a)f(b)</math> для любых <math>a, b\in A</math>, а также выполнено условие: если алгебры <math>A</math> и <math>B</math> имеют единицу, то:

<math>f(e_A)=e_B</math>.

Множество гомоморфизмов алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> обозначается символом <math>H(A;B)</math>.

Очевидно, что <math>H(A;B)\subseteq\mathcal L(A;B)</math>.

Примеры

Общие:

• алгебры квадратных матриц
• алгебры многочленов
• алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа
• двойные числа
• дуальные числа
• кватернионы

Литература

• Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

Отрывок, характеризующий Алгебра над кольцом

Элен улыбнулась с таким видом, который говорил, что она не допускала возможности, чтобы кто либо мог видеть ее и не быть восхищенным. Тетушка прокашлялась, проглотила слюни и по французски сказала, что она очень рада видеть Элен; потом обратилась к Пьеру с тем же приветствием и с той же миной. В середине скучливого и спотыкающегося разговора Элен оглянулась на Пьера и улыбнулась ему той улыбкой, ясной, красивой, которой она улыбалась всем. Пьер так привык к этой улыбке, так мало она выражала для него, что он не обратил на нее никакого внимания. Тетушка говорила в это время о коллекции табакерок, которая была у покойного отца Пьера, графа Безухого, и показала свою табакерку. Княжна Элен попросила посмотреть портрет мужа тетушки, который был сделан на этой табакерке.
– Это, верно, делано Винесом, – сказал Пьер, называя известного миниатюриста, нагибаясь к столу, чтоб взять в руки табакерку, и прислушиваясь к разговору за другим столом.
Он привстал, желая обойти, но тетушка подала табакерку прямо через Элен, позади ее. Элен нагнулась вперед, чтобы дать место, и, улыбаясь, оглянулась. Она была, как и всегда на вечерах, в весьма открытом по тогдашней моде спереди и сзади платье. Ее бюст, казавшийся всегда мраморным Пьеру, находился в таком близком расстоянии от его глаз, что он своими близорукими глазами невольно различал живую прелесть ее плеч и шеи, и так близко от его губ, что ему стоило немного нагнуться, чтобы прикоснуться до нее. Он слышал тепло ее тела, запах духов и скрып ее корсета при движении. Он видел не ее мраморную красоту, составлявшую одно целое с ее платьем, он видел и чувствовал всю прелесть ее тела, которое было закрыто только одеждой. И, раз увидав это, он не мог видеть иначе, как мы не можем возвратиться к раз объясненному обману.
«Так вы до сих пор не замечали, как я прекрасна? – как будто сказала Элен. – Вы не замечали, что я женщина? Да, я женщина, которая может принадлежать всякому и вам тоже», сказал ее взгляд. И в ту же минуту Пьер почувствовал, что Элен не только могла, но должна была быть его женою, что это не может быть иначе.
Он знал это в эту минуту так же верно, как бы он знал это, стоя под венцом с нею. Как это будет? и когда? он не знал; не знал даже, хорошо ли это будет (ему даже чувствовалось, что это нехорошо почему то), но он знал, что это будет.
Пьер опустил глаза, опять поднял их и снова хотел увидеть ее такою дальнею, чужою для себя красавицею, какою он видал ее каждый день прежде; но он не мог уже этого сделать. Не мог, как не может человек, прежде смотревший в тумане на былинку бурьяна и видевший в ней дерево, увидав былинку, снова увидеть в ней дерево. Она была страшно близка ему. Она имела уже власть над ним. И между ним и ею не было уже никаких преград, кроме преград его собственной воли.
– Bon, je vous laisse dans votre petit coin. Je vois, que vous y etes tres bien, [Хорошо, я вас оставлю в вашем уголке. Я вижу, вам там хорошо,] – сказал голос Анны Павловны.
И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C'est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d'avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J'en sais quelque chose. N'est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.