ЛАФЧХ

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Боде) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

Введение

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ

ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления (напряжения, тока или мощности) устройства, (<math>20\cdot \lg(|A_{out}|/|A_{in}|)</math>, для мощности <math>10\cdot \lg (|P_{out}|/|P_{in}|)</math>, от частоты в логарифмическом масштабе.

Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:

• декада (дек):

1 декада равна изменению частоты в 10 раз.

• октава(окт):

1 октава равна изменению частоты в 2 раза.

Масштаб по оси ординат ЛАЧХ

По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:

• децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (10 децибел равно изменению мощности в 10 раз).

1 децибел равен (для амплитуд размерности напряжения) одной двадцатой изменению амплитуды сигналов в 10 раз.

• непер (Нп):

1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз

ЛФЧX

ЛФЧХ — это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе

• по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
• по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются. Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе — возможность исследования характеристик в большом диапазоне.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ

Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике. Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты — асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (АЛАЧХ) и асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФЧХ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово «асимптотическая» опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФЧХ) и ЛАЧХ (ЛФЧХ) — это разные характеристики. Анализ систем с помощью АЛФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: <math>\lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b) </math>.

ФЧХ

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем

Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза, и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта — Уорренгтона.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

<math> f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n} </math>,

то:

<math> \log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n log(x + c_n) </math>

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Построение асимптотической ЛАЧХ (аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями)

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб <math>20 \cdot \operatorname{lg}(X)</math>, то есть значение АЧХ, равное 100, превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

<math> H(s) = A \cdot \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}} </math>

где <math>\ s </math> — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: <math>s = j \omega\ </math>, <math>\ x_n</math> и <math>\ y_n</math> — константы, а <math>\ H </math> — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно, используя следующие правила:

• в каждом <math>\ s </math>, где <math>\omega\ = x_n</math> (ноль), наклон линии увеличивается на <math>(20 \cdot a_n)</math> дБ на декаду.

• в каждом <math>\ s </math>, где <math>\omega\ = y_n</math> (полюс), наклон линии уменьшается на <math>(20 \cdot b_n)</math> дБ на декаду.

• Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты <math> \omega\ </math> в передаточную функцию.

• Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.

• В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, <math>x^2+ax+b</math>, наклон меняется в точке <math> \sqrt{b} </math> сразу на <math>(40 \cdot a_n) </math> дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями, надо:

• в каждом нуле поставить точку на <math>3 \cdot a_n\ </math> дБ выше линии (<math>6 \cdot a_n\ </math> дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)

• в каждом полюсе поставить точку на <math>3 \cdot a_n\ </math> дБ ниже линии (<math>6 \cdot a_n\ </math> дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)

• плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Построение асимптотической ЛФЧХ (аппроксимация)

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

<math> H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}} </math>

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

<math> \varphi = \operatorname{arctg} (\frac{\Im(H(j \omega))}{\Re(H(j \omega))}) </math>

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

• если <math>\ A</math> положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
• если <math>\ A</math> отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
• для нуля сделать наклон линии вверх на <math>45 \cdot a_n</math> (<math>90 \cdot a_n</math> для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с <math> \omega = \frac{x_n}{10} </math>,
• для полюса наклонить линию вниз на <math>45 \cdot b_n</math> (<math>90 \cdot b_n</math> для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с <math> \omega = \frac{y_n}{10} </math>,
• обнулить наклон снова когда фаза изменится на <math> 90 \cdot a_n </math> градусов для простого нуля или полюса и на <math> 180 \cdot a_n </math> градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
• сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице <math> \ s </math> — комплексная переменная.

№	Звено	Передаточная функция	ЛАФЧХ	Примечания
1	пропорциональное	<math> \ K </math>		<math> \ K = 100 </math>
2	идеальное интегрирующее	<math>\ 1/s </math>
3	идеальное дифференцирующее	<math> \ s </math>
4	апериодическое (реальное интегрирующее)	<math>\frac{1}{Ts+1}</math>		<math>\ T = 0,01 </math>
5	колебательное	<math>\frac{1}{T^2s^2 + 2\;\xi\ T s + 1}</math>		<math>\ T = 0,01 </math> <math>\xi\ = 0.1</math>
6	неустойчивое апериодическое	<math>\frac{1}{Ts - 1}</math>		<math>\ T = 0,01 </math> неминимально-фазовое
7	дифференцирующее звено первого порядка	<math> \ Ts + 1</math>		<math>\ T = 0,01 </math>
8	форсирующее второго порядка	<math>\ T^2s^2 + 2\;\xi\ T s+ 1 </math>		<math>\ T = 0,01 </math> <math>\xi\ = 0.1</math>
9	чистого запаздывания	<math> \ e^{-sT} </math>		<math>\ T = 0.0001 </math>

Обоснование

В основе определения устойчивости системы рассматривается модель в виде звена, охваченного отрицательной обратной связью и возможность её вхождения в автоколебания (колебательная граница устойчивости). Условием автоколебаний является наличие положительной обратной связи при этом коэффициент усиления в прямой цепи должен быть не ниже единицы. Фаза выходного сигнала (описываемая фазо-частотной характеристикой) через цепь отрицательной обратной связи подаётся обратно на вход, при этом «запасом по фазе» называется дополнительный сдвиг по фазе, который должен быть на выходе, чтобы получилась положительная обратная связь. Коэффициент передачи в прямой ветви описывается амплитудно-частотной характеристикой, при этом частота, которой соответствует единичное усиление называется «частотой среза», на ЛАЧХ частота среза-это точка пересечения характеристики с осью абсцисс. Графически запас по фазе определяется как разность между фазой равной π радиан (180°) и фазой на частоте среза (условие образования положительной обратной связи); «запас по амплитуде» — расстояние по оси амплитуд от точки частоты среза до амплитуды при угле π радиан (условие единичного коэффициента в прямой ветви).

Алгоритм вычисления

Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ω_ср, решив уравнение <math>A(\omega_{cp})=0</math> (здесь и далее <math>A(\omega)=20\lg|W(j\omega)|</math>; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень), и частоту ω_в — максимальную из частот, для которых <math>\varphi(\omega)=-180^\circ</math>. Тогда <math>\Delta A=A(\omega_B)</math> — запас устойчивости по амплитуде, <math>\Delta\varphi=\varphi(\omega_{cp})+180^\circ</math> — запас устойчивости по фазе. Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

Ссылки

[nashaucheba.ru/v48119/лебедев_с.к._математические_основы_теории_автоматического_управления?page=4]

См. также

• АФЧХ
• Диаграмма Вольперта — Смита

Отрывок, характеризующий ЛАФЧХ

В конце котильона старый граф подошел в своем синем фраке к танцующим. Он пригласил к себе князя Андрея и спросил у дочери, весело ли ей? Наташа не ответила и только улыбнулась такой улыбкой, которая с упреком говорила: «как можно было спрашивать об этом?»
– Так весело, как никогда в жизни! – сказала она, и князь Андрей заметил, как быстро поднялись было ее худые руки, чтобы обнять отца и тотчас же опустились. Наташа была так счастлива, как никогда еще в жизни. Она была на той высшей ступени счастия, когда человек делается вполне доверчив и не верит в возможность зла, несчастия и горя.

Пьер на этом бале в первый раз почувствовал себя оскорбленным тем положением, которое занимала его жена в высших сферах. Он был угрюм и рассеян. Поперек лба его была широкая складка, и он, стоя у окна, смотрел через очки, никого не видя.
Наташа, направляясь к ужину, прошла мимо его.
Мрачное, несчастное лицо Пьера поразило ее. Она остановилась против него. Ей хотелось помочь ему, передать ему излишек своего счастия.
– Как весело, граф, – сказала она, – не правда ли?
Пьер рассеянно улыбнулся, очевидно не понимая того, что ему говорили.
– Да, я очень рад, – сказал он.
«Как могут они быть недовольны чем то, думала Наташа. Особенно такой хороший, как этот Безухов?» На глаза Наташи все бывшие на бале были одинаково добрые, милые, прекрасные люди, любящие друг друга: никто не мог обидеть друг друга, и потому все должны были быть счастливы.


На другой день князь Андрей вспомнил вчерашний бал, но не на долго остановился на нем мыслями. «Да, очень блестящий был бал. И еще… да, Ростова очень мила. Что то в ней есть свежее, особенное, не петербургское, отличающее ее». Вот всё, что он думал о вчерашнем бале, и напившись чаю, сел за работу.
Но от усталости или бессонницы (день был нехороший для занятий, и князь Андрей ничего не мог делать) он всё критиковал сам свою работу, как это часто с ним бывало, и рад был, когда услыхал, что кто то приехал.
Приехавший был Бицкий, служивший в различных комиссиях, бывавший во всех обществах Петербурга, страстный поклонник новых идей и Сперанского и озабоченный вестовщик Петербурга, один из тех людей, которые выбирают направление как платье – по моде, но которые по этому то кажутся самыми горячими партизанами направлений. Он озабоченно, едва успев снять шляпу, вбежал к князю Андрею и тотчас же начал говорить. Он только что узнал подробности заседания государственного совета нынешнего утра, открытого государем, и с восторгом рассказывал о том. Речь государя была необычайна. Это была одна из тех речей, которые произносятся только конституционными монархами. «Государь прямо сказал, что совет и сенат суть государственные сословия ; он сказал, что правление должно иметь основанием не произвол, а твердые начала . Государь сказал, что финансы должны быть преобразованы и отчеты быть публичны», рассказывал Бицкий, ударяя на известные слова и значительно раскрывая глаза.
– Да, нынешнее событие есть эра, величайшая эра в нашей истории, – заключил он.
Князь Андрей слушал рассказ об открытии государственного совета, которого он ожидал с таким нетерпением и которому приписывал такую важность, и удивлялся, что событие это теперь, когда оно совершилось, не только не трогало его, но представлялось ему более чем ничтожным. Он с тихой насмешкой слушал восторженный рассказ Бицкого. Самая простая мысль приходила ему в голову: «Какое дело мне и Бицкому, какое дело нам до того, что государю угодно было сказать в совете! Разве всё это может сделать меня счастливее и лучше?»
И это простое рассуждение вдруг уничтожило для князя Андрея весь прежний интерес совершаемых преобразований. В этот же день князь Андрей должен был обедать у Сперанского «en petit comite«, [в маленьком собрании,] как ему сказал хозяин, приглашая его. Обед этот в семейном и дружеском кругу человека, которым он так восхищался, прежде очень интересовал князя Андрея, тем более что до сих пор он не видал Сперанского в его домашнем быту; но теперь ему не хотелось ехать.
В назначенный час обеда, однако, князь Андрей уже входил в собственный, небольшой дом Сперанского у Таврического сада. В паркетной столовой небольшого домика, отличавшегося необыкновенной чистотой (напоминающей монашескую чистоту) князь Андрей, несколько опоздавший, уже нашел в пять часов собравшееся всё общество этого petit comite, интимных знакомых Сперанского. Дам не было никого кроме маленькой дочери Сперанского (с длинным лицом, похожим на отца) и ее гувернантки. Гости были Жерве, Магницкий и Столыпин. Еще из передней князь Андрей услыхал громкие голоса и звонкий, отчетливый хохот – хохот, похожий на тот, каким смеются на сцене. Кто то голосом, похожим на голос Сперанского, отчетливо отбивал: ха… ха… ха… Князь Андрей никогда не слыхал смеха Сперанского, и этот звонкий, тонкий смех государственного человека странно поразил его.
Князь Андрей вошел в столовую. Всё общество стояло между двух окон у небольшого стола с закуской. Сперанский в сером фраке с звездой, очевидно в том еще белом жилете и высоком белом галстухе, в которых он был в знаменитом заседании государственного совета, с веселым лицом стоял у стола. Гости окружали его. Магницкий, обращаясь к Михайлу Михайловичу, рассказывал анекдот. Сперанский слушал, вперед смеясь тому, что скажет Магницкий. В то время как князь Андрей вошел в комнату, слова Магницкого опять заглушились смехом. Громко басил Столыпин, пережевывая кусок хлеба с сыром; тихим смехом шипел Жерве, и тонко, отчетливо смеялся Сперанский.
Сперанский, всё еще смеясь, подал князю Андрею свою белую, нежную руку.
– Очень рад вас видеть, князь, – сказал он. – Минутку… обратился он к Магницкому, прерывая его рассказ. – У нас нынче уговор: обед удовольствия, и ни слова про дела. – И он опять обратился к рассказчику, и опять засмеялся.
Князь Андрей с удивлением и грустью разочарования слушал его смех и смотрел на смеющегося Сперанского. Это был не Сперанский, а другой человек, казалось князю Андрею. Всё, что прежде таинственно и привлекательно представлялось князю Андрею в Сперанском, вдруг стало ему ясно и непривлекательно.
За столом разговор ни на мгновение не умолкал и состоял как будто бы из собрания смешных анекдотов. Еще Магницкий не успел докончить своего рассказа, как уж кто то другой заявил свою готовность рассказать что то, что было еще смешнее. Анекдоты большею частью касались ежели не самого служебного мира, то лиц служебных. Казалось, что в этом обществе так окончательно было решено ничтожество этих лиц, что единственное отношение к ним могло быть только добродушно комическое. Сперанский рассказал, как на совете сегодняшнего утра на вопрос у глухого сановника о его мнении, сановник этот отвечал, что он того же мнения. Жерве рассказал целое дело о ревизии, замечательное по бессмыслице всех действующих лиц. Столыпин заикаясь вмешался в разговор и с горячностью начал говорить о злоупотреблениях прежнего порядка вещей, угрожая придать разговору серьезный характер. Магницкий стал трунить над горячностью Столыпина, Жерве вставил шутку и разговор принял опять прежнее, веселое направление.
Очевидно, Сперанский после трудов любил отдохнуть и повеселиться в приятельском кружке, и все его гости, понимая его желание, старались веселить его и сами веселиться. Но веселье это казалось князю Андрею тяжелым и невеселым. Тонкий звук голоса Сперанского неприятно поражал его, и неумолкавший смех своей фальшивой нотой почему то оскорблял чувство князя Андрея. Князь Андрей не смеялся и боялся, что он будет тяжел для этого общества. Но никто не замечал его несоответственности общему настроению. Всем было, казалось, очень весело.
Он несколько раз желал вступить в разговор, но всякий раз его слово выбрасывалось вон, как пробка из воды; и он не мог шутить с ними вместе.
Ничего не было дурного или неуместного в том, что они говорили, всё было остроумно и могло бы быть смешно; но чего то, того самого, что составляет соль веселья, не только не было, но они и не знали, что оно бывает.
После обеда дочь Сперанского с своей гувернанткой встали. Сперанский приласкал дочь своей белой рукой, и поцеловал ее. И этот жест показался неестественным князю Андрею.
Мужчины, по английски, остались за столом и за портвейном. В середине начавшегося разговора об испанских делах Наполеона, одобряя которые, все были одного и того же мнения, князь Андрей стал противоречить им. Сперанский улыбнулся и, очевидно желая отклонить разговор от принятого направления, рассказал анекдот, не имеющий отношения к разговору. На несколько мгновений все замолкли.
Посидев за столом, Сперанский закупорил бутылку с вином и сказав: «нынче хорошее винцо в сапожках ходит», отдал слуге и встал. Все встали и также шумно разговаривая пошли в гостиную. Сперанскому подали два конверта, привезенные курьером. Он взял их и прошел в кабинет. Как только он вышел, общее веселье замолкло и гости рассудительно и тихо стали переговариваться друг с другом.
– Ну, теперь декламация! – сказал Сперанский, выходя из кабинета. – Удивительный талант! – обратился он к князю Андрею. Магницкий тотчас же стал в позу и начал говорить французские шутливые стихи, сочиненные им на некоторых известных лиц Петербурга, и несколько раз был прерываем аплодисментами. Князь Андрей, по окончании стихов, подошел к Сперанскому, прощаясь с ним.
– Куда вы так рано? – сказал Сперанский.
– Я обещал на вечер…
Они помолчали. Князь Андрей смотрел близко в эти зеркальные, непропускающие к себе глаза и ему стало смешно, как он мог ждать чего нибудь от Сперанского и от всей своей деятельности, связанной с ним, и как мог он приписывать важность тому, что делал Сперанский. Этот аккуратный, невеселый смех долго не переставал звучать в ушах князя Андрея после того, как он уехал от Сперанского.
Вернувшись домой, князь Андрей стал вспоминать свою петербургскую жизнь за эти четыре месяца, как будто что то новое. Он вспоминал свои хлопоты, искательства, историю своего проекта военного устава, который был принят к сведению и о котором старались умолчать единственно потому, что другая работа, очень дурная, была уже сделана и представлена государю; вспомнил о заседаниях комитета, членом которого был Берг; вспомнил, как в этих заседаниях старательно и продолжительно обсуживалось всё касающееся формы и процесса заседаний комитета, и как старательно и кратко обходилось всё что касалось сущности дела. Он вспомнил о своей законодательной работе, о том, как он озабоченно переводил на русский язык статьи римского и французского свода, и ему стало совестно за себя. Потом он живо представил себе Богучарово, свои занятия в деревне, свою поездку в Рязань, вспомнил мужиков, Дрона старосту, и приложив к ним права лиц, которые он распределял по параграфам, ему стало удивительно, как он мог так долго заниматься такой праздной работой.


На другой день князь Андрей поехал с визитами в некоторые дома, где он еще не был, и в том числе к Ростовым, с которыми он возобновил знакомство на последнем бале. Кроме законов учтивости, по которым ему нужно было быть у Ростовых, князю Андрею хотелось видеть дома эту особенную, оживленную девушку, которая оставила ему приятное воспоминание.