Лагранжева механика

Классическая механика

<math> \frac{\mathrm{d}(m \vec{v})}{\mathrm{d}t} = \vec{F} </math> Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Лагранжева механика является переформулировкой классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Это значительно упрощает множество физических задач. Например, рассмотрим бусинку на обруче. Если вычислять движение, используя второй закон Ньютона, то нужно записать сложный набор уравнений, принимающих во внимание все силы, действующие на обруч со стороны бусинки в каждый момент времени. С использованием лагранжевой механики решение той же самой проблемы становится намного проще. Нужно рассмотреть все возможные движения бусинки по обручу, и математически найти то, которое минимизирует действие. Здесь меньше уравнений, так как не надо непосредственно вычислять влияние обруча на бусинку в данный момент. Правда, в данной задаче уравнение всего одно, и его можно получить также из закона сохранения механической энергии.

Сущность Лагранжевой механики

Лагранжиан и принцип наименьшего действия

Механическая система характеризуется обобщенными координатами <math>q</math> и обобщенными скоростями <math>\dot{q}</math>. Механической системе ставится в соответствие функция Лагранжа — лагранжиан, зависящая от обобщенных координат и скоростей, и, возможно, непосредственно от времени — <math>L(q,\dot{q},t)</math>. Интеграл по времени от лагранжиана при заданной траектории называют действием <math>S</math>:

<math>S=\int^{t_1}_{t_0} L(q,\dot{q},t) dt</math>

Уравнения движения в лагранжевой механике основаны на принципе наименьшего (стационарного) действия (принцип Гамильтона) — система движется по траектории, которая соответствует минимальному действию (хотя бы в некоторой малой окрестности множества возможных траекторий). Под стационарностью подразумевается, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории, с закреплёнными начальной <math>(q_0,\;t_0)</math> и конечной <math>(q_1,\;t_1)</math> точками. Принцип Гамильтона запишется в виде

<math>\delta S=0.</math>

Любая такая траектория называется прямым путём между двумя точками. Все остальные пути называются окольными.

Нужно соблюдать осторожность и помнить, что из равенства нулю первой вариации действия следует лишь его стационарность, но не минимальность действия. Легко заметить, что максимального значения функционал действия в классической механике принимать не может, так как частица может пройти тот же самый путь с большей скоростью, при этом её кинетическая энергия на всём пути будет больше, а потенциальная энергия не изменится, то есть действие не ограничено сверху (если не накладывать ограничений на скорости). Однако две точки могут соединяться несколькими путями, на которых действие принимает стационарное значение. Простейший пример — свободное движение точки по сфере, при котором существует бесконечно много равноправных способов попасть в диаметрально противоположную точку. Возможны более сложные случаи, когда точки соединяются несколькими прямыми путями, но значение действия на них различно.

Точка <math>M_2</math> называется сопряжённым кинетическим фокусом для точки <math>M_1</math>, если через <math>M_1</math> и <math>M_2</math> проходят несколько прямых путей.

В буквальном смысле принцип наименьшего действия справедлив лишь локально. А именно, имеет место

• Теорема Бобылёва: действие вдоль прямого пути <math>M_1 M_2</math> имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге <math>M_1 M_2</math> нет сопряженного для <math>M_1</math> кинетического фокуса.

Из принципа Гамильтона исходя в соответствии с вариационным исчислением получаются уравнения Эйлера-Лагранжа:

<math>\frac {d}{dt}\frac {\partial L} {\partial \dot {q}}-\frac {\partial L}{\partial q}=0</math>

Если ввести следующие обозначения

<math>p=\frac {\partial L} {\partial \dot {q}}</math> — обобщенные импульсы

<math>F=\frac {\partial L}{\partial q}</math> — обобщенные силы

то уравнения Эйлера-Лагранжа примут вид

<math>\frac {dp}{dt}=F</math>

То есть в форме обобщенного второго закона Ньютона.

Лагранжиан системы определяется с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени. Добавление такой функции в лагранжиан не влияет на вид уравнений движения.

Лагранжиан в инерциальных системах отсчета

Принципиально важная особенность лагранжиана — аддитивность для невзаимодействующих систем — лагранжиан совокупности невзаимодействующих систем равен сумме их лагранжианов. Другой важный принцип классической механики — принцип относительности Галилея — одинаковость законов в разных инерциальных системах. Кроме этого используются общие предположения однородности и изотропности пространства и однородности времени. Эти принципы означают инвариантность (с точностью до указанной неопределенности) лагранжиана относительно тех или иных преобразований.

В частности, для свободно движущейся системы (материальной точки) в инерциальной системе из принципов однородности пространства и времени следует, что лагранжиан должен быть функцией только скорости. Изотропность пространства означает, что лагранжиан зависит только от абсолютной величины скорости, а не от направления, то есть фактически <math>L=L(v^2)</math>. Далее воспользуемся принципом относительности. Вариация лагранжиана равна <math>\delta L =\frac {\partial L}{\partial v^2}2v \delta v</math>. Эта вариация будет полной производной по времени только если <math>\frac {\partial L}{\partial v^2}=const</math>, откуда получаем, что лагранжиан прямо пропорционален квадрату скорости

<math>L=\frac {m}{2} v^2</math>

Параметр <math>m</math> — это, как можно показать из уравнений движения, — это масса частицы, а лагранжиан по сути равен кинетической энергии.

Из уравнений движения следует тогда, что производная лагранжиана по скорости является постоянной величиной. Но эта производная равна <math>mv</math> исходя из вида лагранжиана. Следовательно вектор скорости свободно движущейся частицы в инерциальной системе является постоянным (первый закон Ньютона)

Из аддитивности лагранжиана следует, что для системы невзаимодействующих частиц лагранжиан будет равен

<math>L=\sum^n_i \frac {m_i}{2} v^2_i</math>

В случае замкнутой системы взаимодействующих частиц к данному лагранжиану следует добавить функцию координат (а иногда и скоростей), которая зависит от характера взаимодействия

<math>L=\sum_i \frac {m_i}{2} v^2_i-U(r_1,r_2, ..., r_n)</math>

Аналогичный вид имеет лагранжиан открытой системы во внешнем поле. В этом случае функции координат и скоростей поля считаются заданными, поэтому кинетическую часть лагранжиана поля можно не принимать во внимание как функцию только времени. Поэтому лагранжиан большой системы (включающей внешнее поле) описывается лагранжианом данной системы плюс функция поля от координат и скоростей системы, а также, возможно времени.

Для одной частицы во внешнем поле лагранжиан будет равен

<math>L=mv^2/2-U(r,t)</math>

Отсюда нетрудно вывести уравнения движения

<math>m\dot v=-\frac {\partial U}{\partial r}=F</math>

Это второй закон Ньютона

Законы сохранения (интегралы движения)

Однородность и изотропность пространства и времени приводят к наиболее часто используемым законам сохранения — т. н. аддитивным интегралам движения.

Закон сохранения энергии

Из однородности времени следует, что лагранжиан не зависит от времени непосредственно, следовательно

<math> \frac {dL}{dt}=\sum_i \frac {\partial L}{\partial q_i}\dot{q_i}+\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}</math>

Используя уравнения Эйлера-Лагранжа отсюда получаем

<math> \frac {dL}{dt}=\sum_i(\frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot q_i})\dot{q_i}+\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}=\sum_i \frac {d}{dt}(\frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i})</math>

Отсюда

<math> \frac {d}{dt} (\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i}-L)=0</math>

Таким образом, величина

<math> E=\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot{q_i}-L=\sum_i p_i\dot{q_i}-L</math>

называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.

Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна

<math>L=T(q,\dot q)-U(q)</math>

где <math>T(q,\dot q)</math> — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем

<math>E=2T-(T-U)=T+U</math>

Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.

Закон сохранения импульса

Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана

<math>\delta L= \sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}_i} \delta \mathbf{r}_i=\left(\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}_i}\right) \delta \mathbf{r}=0</math>

Поскольку <math>\delta \mathbf{r}</math> — произвольна, то имеем

<math>\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{r}_i}=0</math>

Данное соотношение с учётом введенного понятия обобщенной силы означает, что векторная сумма сил равна нулю (в частном случае двух тел — действие равно противодействию — третий закон Ньютона).

Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим

<math>\frac {d}{dt} \left(\sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot \mathbf{r_i}}\right)=0</math>

Следовательно, выражение в скобках

<math>P=\sum_i \frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}_i}=\sum_i m_i \mathbf{v}_i</math>

являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.

Закон сохранения момента импульса

Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота <math>\delta \mathbf{\phi}</math>, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:

<math>\delta \mathbf{r}=[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{r}]</math>, <math>\delta \mathbf{v}=[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{v}]</math>

Неизменность лагранжиана означает, что

<math>\delta L=\sum_i (\frac {\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}\delta \mathbf{r}_i+\frac {\partial L}{\partial\mathbf{v}_i}\delta \mathbf{v}_i)=\sum_i (\mathbf{\dot{p}}_i \delta \mathbf{r}_i+\mathbf{p}_i \delta \mathbf{v}_i)=0</math>

Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:

<math>\sum_i (\dot{\mathbf{p}}_i[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{r}_i]+\mathbf{p}_i[\delta \mathbf{\phi},\mathbf{v}_i])=\delta \phi \sum_i ([\mathbf{r}_i,\dot{\mathbf{p}}_i]+[\mathbf{v}_i,\mathbf{p}_i])=\delta \phi \sum_i \frac{d[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]}{dt}=0</math>

Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать

<math> \frac{d}{dt}\sum_i[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]=0</math>

Это означает, что векторная величина

<math>\mathbf{M}=\sum_i[\mathbf{r}_i,\mathbf{p}_i]</math>

сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.

Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики

Рассмотрим единственную частицу с массой <math>m</math> и радиус-вектором <math>\mathbf{r}</math>. Предполагаем, что силовое поле <math>\mathbf{F}</math>, в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии <math>V(\mathbf{r},\;t)</math> (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):

<math>\mathbf{F}=-\nabla V.</math>

Такая сила не зависит от производных <math>\mathbf{r}</math>, поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — <math>\{r_j,\;r'_j \mid j=1,\;2,\;3\}</math> (декартовы компоненты <math>\mathbf{r}</math> в данный момент времени).

Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, <math>q_j</math>, и их производными, обобщёнными скоростями <math>q'_j</math>. Радиус-вектор <math>\mathbf{r}</math> связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:

<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_i,\;t),\quad i=1,\;\ldots,\;N,</math>

где <math>N</math> — число степеней свободы системы.

Например, для плоского движения математического маятника длиной <math>l</math> логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения <math>\theta</math> от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид

<math>\mathbf{r}(\theta,\;\theta',\;t)=(l\sin\theta,\;l\cos\theta).</math>

Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.

Рассмотрим произвольное смещение <math>\delta\mathbf{r}</math> частицы. Работа, совершаемая приложенной силой <math>\mathbf{F}</math>, равна <math>\delta W =\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r}</math>. Используя второй закон Ньютона, запишем:

<math>m\mathbf{\ddot r}\cdot\delta\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r}.</math>

Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,

<math>\begin{matrix}

\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r} & = & -\mathrm{grad}\,V\cdot\sum\limits_i\displaystyle{\partial\mathbf{r}\over\partial q_i}\delta q_i \\ \\ & = & -\sum\limits_{i,\;j}\displaystyle{\partial V\over\partial r_j}\displaystyle{\partial r_j\over\partial q_i}\delta q_i \\ \\ & = & -\sum\limits_i\displaystyle{\partial V\over\partial q_i}\delta q_i. \\ \end{matrix}</math> Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:

<math>m\mathbf{\ddot r}\cdot\delta\mathbf{r}=\sum_i\left[{d\over dt}{\partial T\over\partial q'_i}-{\partial T\over\partial q_i}\right]\delta q_i,</math>

где <math>T=\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{r}}}^2</math> — кинетическая энергия частицы. Уравнение для работы запишется в виде

<math>\sum_i\left[{d\over dt}{\partial{T}\over\partial{\dot q_i}}-{\partial{(T-V)}\over\partial q_i}\right]\delta q_i=0.</math>

Это выражение должно быть верно для любых изменений <math>\delta q_i</math>, поэтому

<math>\left[{d\over dt}{\partial{T}\over\partial{\dot q_i}}-{\partial{(T-V)}\over\partial q_i}\right]=0</math>

для каждой обобщённой координаты <math>\delta q_i</math>. Можно и дальше упростить это выражение, если заметить, что <math>V</math> — функция только <math>\mathbf{r}</math> и <math>t</math>, и <math>\mathbf{r}</math> — функция обобщённых координат и <math>t</math>. Тогда <math>V</math> не зависит от обобщённых скоростей:

<math>{d\over dt}{\partial{V}\over\partial{\dot q_i}}=0.</math>

Вставляя это в предыдущее уравнение и заменяя <math>L=T-V</math>, получим уравнения Лагранжа:

<math>{\partial{L}\over\partial q_i}={d\over dt}{\partial{L}\over\partial{\dot q_i}}.</math>

Так же, как и уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа являются уравнениями второго порядка, что следует из их вывода. Для каждой обобщённой координаты <math>q_i</math> есть одно уравнение Лагранжа. Когда <math>q_i=r_i</math> (то есть обобщённые координаты — просто декартовы координаты), можно легко проверить, что уравнения Лагранжа сводятся ко второму закону Ньютона.

Вышеприведённый вывод может быть обобщён на систему из <math>N</math> частиц. Тогда будет <math>3N</math> обобщённых координат, связанных с координатами положения <math>3N</math> уравнениями преобразования. В каждом из <math>3N</math> уравнений Лагранжа, <math>T</math> — полная кинетическая энергия системы, и <math>V</math> полная потенциальная энергия.

Практически, часто легче решить проблему, используя уравнения Эйлера — Лагранжа, а не законы Ньютона, потому что соответствующие обобщённые координаты <math>q_i</math> могут быть выбраны с учётом симметрий задачи.

Примеры задач

Задача 1. Рассмотрим точечную бусинку массы <math>m</math>, движущуюся без трения по неподвижному вертикальному кольцу. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве координаты угол <math>\varphi</math> отклонения радиуса, направленного к бусинке, от вектора силы тяжести <math>m\vec{g}</math>. Кинетическая энергия запишется в виде

<math>T=\frac{mr^2\dot\varphi^2}{2},</math>

а потеницальная энергия равна

<math>U=-mgr\cos\varphi.</math>

Функция Лагранжа для этой системы

<math>L=T-U=\frac{mr^2\dot\varphi^2}{2}+mgr\cos\varphi.</math>

Уравнения Лагранжа примут вид:

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot\varphi)+mgr\sin\varphi=mr^2\ddot\varphi+mgr\sin\varphi=0.</math>

Это уравнение можно также получить, продифференцировав по времени закон сохранения механической энергии. Для маленьких углов <math>\varphi</math> синус угла равен самому углу: <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>. В этом случае получим

<math>mr^2\ddot\varphi=-mgr\,\varphi</math> то есть

<math>\ddot\varphi=-\frac{g}{r}\,\varphi</math>

Это дифференциальное уравнение известно из уравнений движения Ньютона и имеет решение

<math>\varphi(t) = A\cos\omega t+ B\sin\omega t</math>

где константы <math>A</math> и <math>B</math> зависят от начальных условий, а <math>\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}</math>

Задача 2. Рассмотрим точеченую бусинку массы <math>m</math>, движущуюся без трения по вертикальному кольцу, вращающемуся вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью <math>\omega</math>. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве координаты угол <math>\varphi</math> отклонения радиуса, направленного к бусинке, от вектора силы тяжести <math>m\vec{g}</math>. Кинетическая энергия запишется в виде

<math>T=\frac{m}{2}(r^2\dot\varphi^2+r^2\sin^2\varphi\,\dot\theta^2),</math>

где <math>\theta</math> — угол поворота кольца. Потеницальная энергия равна

<math>U=-mgr\cos\varphi.</math>

Функция Лагранжа для этой системы

<math>L=T-U=\frac{m}{2}(r^2\dot\varphi^2+r^2\sin^2\varphi\,\dot\theta^2)+mgr\cos\varphi.</math>

Уравнения Лагранжа примут вид

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot\varphi)+mr^2\sin\varphi\cos\varphi\,\dot\theta^2+mgr\sin\varphi=mr^2\ddot\varphi+\frac{mr^2\omega^2}{2}\sin 2\varphi+mgr\sin\varphi=0,</math>

так как <math>\theta=\theta_0+\omega t</math> — заданная функция времени (не обобщённая координата).

Задача 3. Если бы скорость вращения кольца не была бы нам задана, а определялась бы движением системы (скажем, вращающееся без трения лёгкое кольцо), то вместо одного уравнения Лагранжа мы получили бы два (уравнения для <math>\varphi</math> и для <math>\theta</math>):

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=0,\quad\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial L}{\partial\theta}= 0,</math>

<math>mr^2\ddot\varphi+\frac{mr^2\dot\theta^2}{2}\sin 2\varphi+mgr\sin\varphi=0,\quad\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\varphi\,\dot\theta)= 0.</math>

Эти уравнения можно также получить, продифференцировав по времени закон сохранения механической энергии и закон сохранения момента импульса.

Релятивистская лагранжева механика

Базовый постулат теории относительности — постоянство скорости света во всех инерциальных системах приводит к инвариантной величине, называемой интервалом s, являющимся специфической метрикой в четырёхмерном пространстве-времени:

<math>s^2=c^2t^2-\mathbf{x}^2</math>

Для произвольно (то есть не обязательно равномерно и прямолинейно) движущейся системы можно рассмотреть бесконечно малые промежутки времени, в течение которых движение можно считать равномерным. Пусть за промежуток времени <math>dt</math> по неподвижным часам движущийся объект проходит расстояние dx. Тогда для интервала имеем выражение

<math>ds^2=c^2dt^2-dx^2=c^2dt^2(1-dx^2/c^2dt^2)=c^2dt^2(1-v^2/c^2)</math>

Следовательно,

<math>ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}</math>

Интегрируя, получим

<math>S=\int^{t_2}_{t_1}cdt\sqrt{1-v^2/c^2}</math>

Следовательно, если принять лагранжиан релятивистской частицы пропорциональным подынтегральной функции от скорости, то указанный интеграл будет инвариантным относительно инерциальных систем действием.

Из соображений совпадения с классической механикой при малых скоростях лагранжиан свободной релятивистской частицы в инерциальной системе в конечном итоге равен

<math>L=-mc^2 \sqrt {1-v^2/c^2}</math>

Соответственно, релятивистский импульс равен

<math>\mathbf {p}=\frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}}=\frac {m \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} </math>

релятивистская энергия равна

<math> E=\mathbf{pv}-L=\frac {mc^2} {\sqrt {1-v^2/c^2} } </math>

Видно, что даже при нулевой скорости частица обладает энергией (в отличие от классической механики), которую называют энергией покоя.

Отсюда несложно получить релятивистское соотношение между энергией и импульсом

<math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math>

Лагранжев формализм в теории поля

В теории поля сумма лагранжианов частиц механической системы заменяется интегралом по некоторому объёму пространства от так называемой лагранжевой плотности (в теории поля лагранжеву плотность иногда и называют лагранжианом):

<math>L=\int_V \mathcal{L} d^3 r</math>

Соответственно действие равно

<math>S=\int^{t}_{t_0}\int_V \mathcal{L} d^3 r dt=\int_X \mathcal{L} d^4 x</math>

где в последней формуле предполагается интегрирование по четырёхмерному пространству-времени.

Предполагается, что лагранжева плотность не зависит непосредственно от координат, а зависит от полевой функции и её первых производных. Уравнения Эйлера-Лагранжа в данном случае имеют вид:

<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_a(x)}-\partial_{\nu}\left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}u_a(x))}\right )=0</math>

Расширения лагранжевой механики

Гамильтониан, обозначаемый <math>\mathbf{H}</math>, получается при выполнении преобразований Лежандра над функцией Лагранжа. Гамильтониан — основание для альтернативной формулировки классической механики, известной как гамильтонова механика. Эта функция особенно распространена в квантовой механике (см. Гамильтониан (квантовая механика)).

В 1948 году Фейнман изобрёл формулировку с привлечением интегралов по траекториям и распространил принцип наименьшего действия на квантовую механику. В этой формулировке частицы путешествуют по всем возможным траекториям между начальным и конечным состояниями; вероятность определённого конечного состояния вычисляется суммированием (интегрированием) по всем возможным траекториям, приводящим к нему. В классическом случае формулировка интеграла по траекториям полностью воспроизводит принцип Гамильтона.

Классические работы

• Лагранж Ж. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/LagrangeAnalitMech1-1950ru.djvu Аналитическая механика, том 1.] — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• Лагранж Ж. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/LagrangeAnalitMech2-1950ru.djvu Аналитическая механика, том 2.] — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Polak1959ru.djvu Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки.] Под редакцией Полак Л. С. — М.: Физматгиз, 1959.

См. также

• Гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Функциональная производная
• Степени свободы (физика)
• Машина Атвуда

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
• Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd edition. — Addison-Wesley, 1980. — pp. 16.
• Moon F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems. — Wiley, 1998. — pp. 103—168.

Ссылки

• Rychlik, Marek. «[alamos.math.arizona.edu/~rychlik/557-dir/mechanics/ Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction]»
• Tong, David. [www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] Лекции из университета Кембриджа
• Асланов В. С., Тимбай И. А. [www.termech.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=65&Itemid=36 Движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа]

Отрывок, характеризующий Лагранжева механика

Она улыбнулась, произнося слово «Андрюша». Видно, ей самой было странно подумать, что этот строгий, красивый мужчина был тот самый Андрюша, худой, шаловливый мальчик, товарищ детства.
– А где Lise? – спросил он, только улыбкой отвечая на ее вопрос.
– Она так устала, что заснула у меня в комнате на диване. Ax, Andre! Que! tresor de femme vous avez, [Ax, Андрей! Какое сокровище твоя жена,] – сказала она, усаживаясь на диван против брата. – Она совершенный ребенок, такой милый, веселый ребенок. Я так ее полюбила.
Князь Андрей молчал, но княжна заметила ироническое и презрительное выражение, появившееся на его лице.
– Но надо быть снисходительным к маленьким слабостям; у кого их нет, Аndre! Ты не забудь, что она воспитана и выросла в свете. И потом ее положение теперь не розовое. Надобно входить в положение каждого. Tout comprendre, c'est tout pardonner. [Кто всё поймет, тот всё и простит.] Ты подумай, каково ей, бедняжке, после жизни, к которой она привыкла, расстаться с мужем и остаться одной в деревне и в ее положении? Это очень тяжело.
Князь Андрей улыбался, глядя на сестру, как мы улыбаемся, слушая людей, которых, нам кажется, что мы насквозь видим.
– Ты живешь в деревне и не находишь эту жизнь ужасною, – сказал он.
– Я другое дело. Что обо мне говорить! Я не желаю другой жизни, да и не могу желать, потому что не знаю никакой другой жизни. А ты подумай, Andre, для молодой и светской женщины похорониться в лучшие годы жизни в деревне, одной, потому что папенька всегда занят, а я… ты меня знаешь… как я бедна en ressources, [интересами.] для женщины, привыкшей к лучшему обществу. M lle Bourienne одна…
– Она мне очень не нравится, ваша Bourienne, – сказал князь Андрей.
– О, нет! Она очень милая и добрая,а главное – жалкая девушка.У нее никого,никого нет. По правде сказать, мне она не только не нужна, но стеснительна. Я,ты знаешь,и всегда была дикарка, а теперь еще больше. Я люблю быть одна… Mon pere [Отец] ее очень любит. Она и Михаил Иваныч – два лица, к которым он всегда ласков и добр, потому что они оба облагодетельствованы им; как говорит Стерн: «мы не столько любим людей за то добро, которое они нам сделали, сколько за то добро, которое мы им сделали». Mon pеre взял ее сиротой sur le pavе, [на мостовой,] и она очень добрая. И mon pere любит ее манеру чтения. Она по вечерам читает ему вслух. Она прекрасно читает.
– Ну, а по правде, Marie, тебе, я думаю, тяжело иногда бывает от характера отца? – вдруг спросил князь Андрей.
Княжна Марья сначала удивилась, потом испугалась этого вопроса.
– МНЕ?… Мне?!… Мне тяжело?! – сказала она.
– Он и всегда был крут; а теперь тяжел становится, я думаю, – сказал князь Андрей, видимо, нарочно, чтоб озадачить или испытать сестру, так легко отзываясь об отце.
– Ты всем хорош, Andre, но у тебя есть какая то гордость мысли, – сказала княжна, больше следуя за своим ходом мыслей, чем за ходом разговора, – и это большой грех. Разве возможно судить об отце? Да ежели бы и возможно было, какое другое чувство, кроме veneration, [глубокого уважения,] может возбудить такой человек, как mon pere? И я так довольна и счастлива с ним. Я только желала бы, чтобы вы все были счастливы, как я.
Брат недоверчиво покачал головой.
– Одно, что тяжело для меня, – я тебе по правде скажу, Andre, – это образ мыслей отца в религиозном отношении. Я не понимаю, как человек с таким огромным умом не может видеть того, что ясно, как день, и может так заблуждаться? Вот это составляет одно мое несчастие. Но и тут в последнее время я вижу тень улучшения. В последнее время его насмешки не так язвительны, и есть один монах, которого он принимал и долго говорил с ним.
– Ну, мой друг, я боюсь, что вы с монахом даром растрачиваете свой порох, – насмешливо, но ласково сказал князь Андрей.
– Аh! mon ami. [А! Друг мой.] Я только молюсь Богу и надеюсь, что Он услышит меня. Andre, – сказала она робко после минуты молчания, – у меня к тебе есть большая просьба.
– Что, мой друг?
– Нет, обещай мне, что ты не откажешь. Это тебе не будет стоить никакого труда, и ничего недостойного тебя в этом не будет. Только ты меня утешишь. Обещай, Андрюша, – сказала она, сунув руку в ридикюль и в нем держа что то, но еще не показывая, как будто то, что она держала, и составляло предмет просьбы и будто прежде получения обещания в исполнении просьбы она не могла вынуть из ридикюля это что то.
Она робко, умоляющим взглядом смотрела на брата.
– Ежели бы это и стоило мне большого труда… – как будто догадываясь, в чем было дело, отвечал князь Андрей.
– Ты, что хочешь, думай! Я знаю, ты такой же, как и mon pere. Что хочешь думай, но для меня это сделай. Сделай, пожалуйста! Его еще отец моего отца, наш дедушка, носил во всех войнах… – Она всё еще не доставала того, что держала, из ридикюля. – Так ты обещаешь мне?
– Конечно, в чем дело?
– Andre, я тебя благословлю образом, и ты обещай мне, что никогда его не будешь снимать. Обещаешь?
– Ежели он не в два пуда и шеи не оттянет… Чтобы тебе сделать удовольствие… – сказал князь Андрей, но в ту же секунду, заметив огорченное выражение, которое приняло лицо сестры при этой шутке, он раскаялся. – Очень рад, право очень рад, мой друг, – прибавил он.
– Против твоей воли Он спасет и помилует тебя и обратит тебя к Себе, потому что в Нем одном и истина и успокоение, – сказала она дрожащим от волнения голосом, с торжественным жестом держа в обеих руках перед братом овальный старинный образок Спасителя с черным ликом в серебряной ризе на серебряной цепочке мелкой работы.
Она перекрестилась, поцеловала образок и подала его Андрею.
– Пожалуйста, Andre, для меня…
Из больших глаз ее светились лучи доброго и робкого света. Глаза эти освещали всё болезненное, худое лицо и делали его прекрасным. Брат хотел взять образок, но она остановила его. Андрей понял, перекрестился и поцеловал образок. Лицо его в одно и то же время было нежно (он был тронут) и насмешливо.
– Merci, mon ami. [Благодарю, мой друг.]
Она поцеловала его в лоб и опять села на диван. Они молчали.
– Так я тебе говорила, Andre, будь добр и великодушен, каким ты всегда был. Не суди строго Lise, – начала она. – Она так мила, так добра, и положение ее очень тяжело теперь.
– Кажется, я ничего не говорил тебе, Маша, чтоб я упрекал в чем нибудь свою жену или был недоволен ею. К чему ты всё это говоришь мне?
Княжна Марья покраснела пятнами и замолчала, как будто она чувствовала себя виноватою.
– Я ничего не говорил тебе, а тебе уж говорили . И мне это грустно.
Красные пятна еще сильнее выступили на лбу, шее и щеках княжны Марьи. Она хотела сказать что то и не могла выговорить. Брат угадал: маленькая княгиня после обеда плакала, говорила, что предчувствует несчастные роды, боится их, и жаловалась на свою судьбу, на свекра и на мужа. После слёз она заснула. Князю Андрею жалко стало сестру.
– Знай одно, Маша, я ни в чем не могу упрекнуть, не упрекал и никогда не упрекну мою жену , и сам ни в чем себя не могу упрекнуть в отношении к ней; и это всегда так будет, в каких бы я ни был обстоятельствах. Но ежели ты хочешь знать правду… хочешь знать, счастлив ли я? Нет. Счастлива ли она? Нет. Отчего это? Не знаю…
Говоря это, он встал, подошел к сестре и, нагнувшись, поцеловал ее в лоб. Прекрасные глаза его светились умным и добрым, непривычным блеском, но он смотрел не на сестру, а в темноту отворенной двери, через ее голову.
– Пойдем к ней, надо проститься. Или иди одна, разбуди ее, а я сейчас приду. Петрушка! – крикнул он камердинеру, – поди сюда, убирай. Это в сиденье, это на правую сторону.
Княжна Марья встала и направилась к двери. Она остановилась.
– Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu'il vous donne l'amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Если бы ты имел веру, то обратился бы к Богу с молитвою, чтоб Он даровал тебе любовь, которую ты не чувствуешь, и молитва твоя была бы услышана.]
– Да, разве это! – сказал князь Андрей. – Иди, Маша, я сейчас приду.
По дороге к комнате сестры, в галлерее, соединявшей один дом с другим, князь Андрей встретил мило улыбавшуюся m lle Bourienne, уже в третий раз в этот день с восторженною и наивною улыбкой попадавшуюся ему в уединенных переходах.
– Ah! je vous croyais chez vous, [Ах, я думала, вы у себя,] – сказала она, почему то краснея и опуская глаза.
Князь Андрей строго посмотрел на нее. На лице князя Андрея вдруг выразилось озлобление. Он ничего не сказал ей, но посмотрел на ее лоб и волосы, не глядя в глаза, так презрительно, что француженка покраснела и ушла, ничего не сказав.
Когда он подошел к комнате сестры, княгиня уже проснулась, и ее веселый голосок, торопивший одно слово за другим, послышался из отворенной двери. Она говорила, как будто после долгого воздержания ей хотелось вознаградить потерянное время.
– Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees… [Нет, представьте себе, старая графиня Зубова, с фальшивыми локонами, с фальшивыми зубами, как будто издеваясь над годами…] Xa, xa, xa, Marieie!
Точно ту же фразу о графине Зубовой и тот же смех уже раз пять слышал при посторонних князь Андрей от своей жены.
Он тихо вошел в комнату. Княгиня, толстенькая, румяная, с работой в руках, сидела на кресле и без умолку говорила, перебирая петербургские воспоминания и даже фразы. Князь Андрей подошел, погладил ее по голове и спросил, отдохнула ли она от дороги. Она ответила и продолжала тот же разговор.
Коляска шестериком стояла у подъезда. На дворе была темная осенняя ночь. Кучер не видел дышла коляски. На крыльце суетились люди с фонарями. Огромный дом горел огнями сквозь свои большие окна. В передней толпились дворовые, желавшие проститься с молодым князем; в зале стояли все домашние: Михаил Иванович, m lle Bourienne, княжна Марья и княгиня.
Князь Андрей был позван в кабинет к отцу, который с глазу на глаз хотел проститься с ним. Все ждали их выхода.
Когда князь Андрей вошел в кабинет, старый князь в стариковских очках и в своем белом халате, в котором он никого не принимал, кроме сына, сидел за столом и писал. Он оглянулся.
– Едешь? – И он опять стал писать.
– Пришел проститься.
– Целуй сюда, – он показал щеку, – спасибо, спасибо!
– За что вы меня благодарите?
– За то, что не просрочиваешь, за бабью юбку не держишься. Служба прежде всего. Спасибо, спасибо! – И он продолжал писать, так что брызги летели с трещавшего пера. – Ежели нужно сказать что, говори. Эти два дела могу делать вместе, – прибавил он.
– О жене… Мне и так совестно, что я вам ее на руки оставляю…
– Что врешь? Говори, что нужно.
– Когда жене будет время родить, пошлите в Москву за акушером… Чтоб он тут был.
Старый князь остановился и, как бы не понимая, уставился строгими глазами на сына.
– Я знаю, что никто помочь не может, коли натура не поможет, – говорил князь Андрей, видимо смущенный. – Я согласен, что и из миллиона случаев один бывает несчастный, но это ее и моя фантазия. Ей наговорили, она во сне видела, и она боится.
– Гм… гм… – проговорил про себя старый князь, продолжая дописывать. – Сделаю.
Он расчеркнул подпись, вдруг быстро повернулся к сыну и засмеялся.
– Плохо дело, а?
– Что плохо, батюшка?
– Жена! – коротко и значительно сказал старый князь.
– Я не понимаю, – сказал князь Андрей.
– Да нечего делать, дружок, – сказал князь, – они все такие, не разженишься. Ты не бойся; никому не скажу; а ты сам знаешь.
Он схватил его за руку своею костлявою маленькою кистью, потряс ее, взглянул прямо в лицо сына своими быстрыми глазами, которые, как казалось, насквозь видели человека, и опять засмеялся своим холодным смехом.
Сын вздохнул, признаваясь этим вздохом в том, что отец понял его. Старик, продолжая складывать и печатать письма, с своею привычною быстротой, схватывал и бросал сургуч, печать и бумагу.
– Что делать? Красива! Я всё сделаю. Ты будь покоен, – говорил он отрывисто во время печатания.
Андрей молчал: ему и приятно и неприятно было, что отец понял его. Старик встал и подал письмо сыну.
– Слушай, – сказал он, – о жене не заботься: что возможно сделать, то будет сделано. Теперь слушай: письмо Михайлу Иларионовичу отдай. Я пишу, чтоб он тебя в хорошие места употреблял и долго адъютантом не держал: скверная должность! Скажи ты ему, что я его помню и люблю. Да напиши, как он тебя примет. Коли хорош будет, служи. Николая Андреича Болконского сын из милости служить ни у кого не будет. Ну, теперь поди сюда.
Он говорил такою скороговоркой, что не доканчивал половины слов, но сын привык понимать его. Он подвел сына к бюро, откинул крышку, выдвинул ящик и вынул исписанную его крупным, длинным и сжатым почерком тетрадь.
– Должно быть, мне прежде тебя умереть. Знай, тут мои записки, их государю передать после моей смерти. Теперь здесь – вот ломбардный билет и письмо: это премия тому, кто напишет историю суворовских войн. Переслать в академию. Здесь мои ремарки, после меня читай для себя, найдешь пользу.
Андрей не сказал отцу, что, верно, он проживет еще долго. Он понимал, что этого говорить не нужно.
– Всё исполню, батюшка, – сказал он.
– Ну, теперь прощай! – Он дал поцеловать сыну свою руку и обнял его. – Помни одно, князь Андрей: коли тебя убьют, мне старику больно будет… – Он неожиданно замолчал и вдруг крикливым голосом продолжал: – а коли узнаю, что ты повел себя не как сын Николая Болконского, мне будет… стыдно! – взвизгнул он.
– Этого вы могли бы не говорить мне, батюшка, – улыбаясь, сказал сын.
Старик замолчал.
– Еще я хотел просить вас, – продолжал князь Андрей, – ежели меня убьют и ежели у меня будет сын, не отпускайте его от себя, как я вам вчера говорил, чтоб он вырос у вас… пожалуйста.
– Жене не отдавать? – сказал старик и засмеялся.
Они молча стояли друг против друга. Быстрые глаза старика прямо были устремлены в глаза сына. Что то дрогнуло в нижней части лица старого князя.
– Простились… ступай! – вдруг сказал он. – Ступай! – закричал он сердитым и громким голосом, отворяя дверь кабинета.
– Что такое, что? – спрашивали княгиня и княжна, увидев князя Андрея и на минуту высунувшуюся фигуру кричавшего сердитым голосом старика в белом халате, без парика и в стариковских очках.
Князь Андрей вздохнул и ничего не ответил.
– Ну, – сказал он, обратившись к жене.
И это «ну» звучало холодною насмешкой, как будто он говорил: «теперь проделывайте вы ваши штуки».
– Andre, deja! [Андрей, уже!] – сказала маленькая княгиня, бледнея и со страхом глядя на мужа.
Он обнял ее. Она вскрикнула и без чувств упала на его плечо.
Он осторожно отвел плечо, на котором она лежала, заглянул в ее лицо и бережно посадил ее на кресло.
– Adieu, Marieie, [Прощай, Маша,] – сказал он тихо сестре, поцеловался с нею рука в руку и скорыми шагами вышел из комнаты.
Княгиня лежала в кресле, m lle Бурьен терла ей виски. Княжна Марья, поддерживая невестку, с заплаканными прекрасными глазами, всё еще смотрела в дверь, в которую вышел князь Андрей, и крестила его. Из кабинета слышны были, как выстрелы, часто повторяемые сердитые звуки стариковского сморкания. Только что князь Андрей вышел, дверь кабинета быстро отворилась и выглянула строгая фигура старика в белом халате.
– Уехал? Ну и хорошо! – сказал он, сердито посмотрев на бесчувственную маленькую княгиню, укоризненно покачал головою и захлопнул дверь.



В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
11 го октября 1805 года один из только что пришедших к Браунау пехотных полков, ожидая смотра главнокомандующего, стоял в полумиле от города. Несмотря на нерусскую местность и обстановку (фруктовые сады, каменные ограды, черепичные крыши, горы, видневшиеся вдали), на нерусский народ, c любопытством смотревший на солдат, полк имел точно такой же вид, какой имел всякий русский полк, готовившийся к смотру где нибудь в середине России.
С вечера, на последнем переходе, был получен приказ, что главнокомандующий будет смотреть полк на походе. Хотя слова приказа и показались неясны полковому командиру, и возник вопрос, как разуметь слова приказа: в походной форме или нет? в совете батальонных командиров было решено представить полк в парадной форме на том основании, что всегда лучше перекланяться, чем не докланяться. И солдаты, после тридцативерстного перехода, не смыкали глаз, всю ночь чинились, чистились; адъютанты и ротные рассчитывали, отчисляли; и к утру полк, вместо растянутой беспорядочной толпы, какою он был накануне на последнем переходе, представлял стройную массу 2 000 людей, из которых каждый знал свое место, свое дело и из которых на каждом каждая пуговка и ремешок были на своем месте и блестели чистотой. Не только наружное было исправно, но ежели бы угодно было главнокомандующему заглянуть под мундиры, то на каждом он увидел бы одинаково чистую рубаху и в каждом ранце нашел бы узаконенное число вещей, «шильце и мыльце», как говорят солдаты. Было только одно обстоятельство, насчет которого никто не мог быть спокоен. Это была обувь. Больше чем у половины людей сапоги были разбиты. Но недостаток этот происходил не от вины полкового командира, так как, несмотря на неоднократные требования, ему не был отпущен товар от австрийского ведомства, а полк прошел тысячу верст.
Полковой командир был пожилой, сангвинический, с седеющими бровями и бакенбардами генерал, плотный и широкий больше от груди к спине, чем от одного плеча к другому. На нем был новый, с иголочки, со слежавшимися складками мундир и густые золотые эполеты, которые как будто не книзу, а кверху поднимали его тучные плечи. Полковой командир имел вид человека, счастливо совершающего одно из самых торжественных дел жизни. Он похаживал перед фронтом и, похаживая, подрагивал на каждом шагу, слегка изгибаясь спиною. Видно, было, что полковой командир любуется своим полком, счастлив им, что все его силы душевные заняты только полком; но, несмотря на то, его подрагивающая походка как будто говорила, что, кроме военных интересов, в душе его немалое место занимают и интересы общественного быта и женский пол.
– Ну, батюшка Михайло Митрич, – обратился он к одному батальонному командиру (батальонный командир улыбаясь подался вперед; видно было, что они были счастливы), – досталось на орехи нынче ночью. Однако, кажется, ничего, полк не из дурных… А?
Батальонный командир понял веселую иронию и засмеялся.
– И на Царицыном лугу с поля бы не прогнали.
– Что? – сказал командир.
В это время по дороге из города, по которой расставлены были махальные, показались два верховые. Это были адъютант и казак, ехавший сзади.
Адъютант был прислан из главного штаба подтвердить полковому командиру то, что было сказано неясно во вчерашнем приказе, а именно то, что главнокомандующий желал видеть полк совершенно в том положении, в котором oн шел – в шинелях, в чехлах и без всяких приготовлений.
К Кутузову накануне прибыл член гофкригсрата из Вены, с предложениями и требованиями итти как можно скорее на соединение с армией эрцгерцога Фердинанда и Мака, и Кутузов, не считая выгодным это соединение, в числе прочих доказательств в пользу своего мнения намеревался показать австрийскому генералу то печальное положение, в котором приходили войска из России. С этою целью он и хотел выехать навстречу полку, так что, чем хуже было бы положение полка, тем приятнее было бы это главнокомандующему. Хотя адъютант и не знал этих подробностей, однако он передал полковому командиру непременное требование главнокомандующего, чтобы люди были в шинелях и чехлах, и что в противном случае главнокомандующий будет недоволен. Выслушав эти слова, полковой командир опустил голову, молча вздернул плечами и сангвиническим жестом развел руки.
– Наделали дела! – проговорил он. – Вот я вам говорил же, Михайло Митрич, что на походе, так в шинелях, – обратился он с упреком к батальонному командиру. – Ах, мой Бог! – прибавил он и решительно выступил вперед. – Господа ротные командиры! – крикнул он голосом, привычным к команде. – Фельдфебелей!… Скоро ли пожалуют? – обратился он к приехавшему адъютанту с выражением почтительной учтивости, видимо относившейся к лицу, про которое он говорил.