Лемма Фату
Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.
Содержание
Формулировки из функционального анализа
Пусть фиксировано пространство с мерой <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math>. Допускается <math>\mu(X)=\infty</math>. Далее, пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность неотрицательных[1] измеримых функций на <math>X</math>. Тогда справедливо следующее неравенство для нижних пределов
- <math>\int\limits_X {\varliminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\varliminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx)</math>.
Обратите внимание: в формуле функции могут достигать бесконечности, их интегралы тоже могут быть бесконечными.
Если, кроме того, <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — суммируемы, имеют предел <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> почти всюду и имеют ограниченные в совокупности интегралы
- <math>\int\limits_X f_n(x)\mu(dx)\leq K,\forall n</math>,
<math>K</math> — некоторое фиксированное число, тогда <math>f(x)</math> — суммируема и справедливо неравенство:
- <math>\int\limits_X f(x)\mu(dx)\leq K</math>
Формулировка из теории вероятностей
Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов <math>\Omega</math>, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math>. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов
- <math>\mathbb{E}\left[{\varliminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\varliminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Лемма Фату"
Примечания
- ↑ Если <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> обладает более слабым условием — ограниченностью снизу какой-либо суммируемой функцией: <math>f_n(x)\geq f(x)\, , n=1,2,\ldots</math>, то теорему можно применить к последовательности <math> f_n-f </math>
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
Отрывок, характеризующий Лемма Фату
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.
Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг'ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
