Лемниската Бернулли

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.





История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется <math>2c</math>, расположены они на оси <math>OX</math>, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

<math>\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)</math>


Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
<math>\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}</math>
<math>\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.</math>

  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
<math>\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}</math>, где <math>p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)</math>

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. При этом, когда параметр стремится к <math>-\infty</math>, точка кривой стремится к <math>(0;0)</math> из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к <math>+\infty</math>, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.


{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}</math>

Если произвести замену <math>\textstyle p^2=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)</math>, то получаем искомое выражение для <math>x</math>:

<math>x=c\sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4}</math>

Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы <math>\textstyle\sin^2\varphi=\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}</math>. }}

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.


Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при <math>a=c</math>, синусоидальной спирали с индексом <math>n=2</math> и лемнискаты Бута при <math>c=0</math>, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

  • Лемниската — кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
  • Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
    <math>\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}</math>
  • Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
  • Лемнискату описывает окружность радиуса <math>\textstyle a=c\sqrt{2}</math>, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

  • Касательные в двойной точке составляют с отрезком <math>F_1F_2</math> углы <math>\textstyle\pm\frac{\pi}{4}</math>.
  • Угол <math>\mu</math>, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен <math>\textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2}</math>.
  • Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
  • Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
  • Радиус кривизны лемнискаты есть <math>\textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho}</math>

Собственные свойства

  • Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
  • Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
  • Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол <math>45^\circ</math> с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
  • Площадь полярного сектора <math>\varphi\in[0,\alpha]</math>, при <math>\textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}</math>:
    <math>\textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha</math>
    • В частности, площадь каждой петли <math>\textstyle 2S\left (\frac{\pi}{4}\right )=c^2</math>, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной <math>c\sqrt{2}</math>.
  • Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
  • Длина дуги лемнискаты между точками <math>\varphi_1=0</math> и <math>\varphi_2=\varphi</math> выражается эллиптическим интегралом I рода:
    <math>\textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),</math> где <math>2\sin^2\varphi=\sin^2\theta.</math>
    • В частности, длина всей лемнискаты
      <math>\textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}9 c.</math>

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса <math>\textstyle\frac{c}{\sqrt{2}}</math> с центром в одном из фокусов. Из середины <math>O</math> фокусного отрезка строится произвольная секущая <math>OPS</math> (<math>P</math> и <math>S</math> — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки <math>OM_1</math> и <math>OM_2</math>, равные хорде <math>PS</math>. Точки <math>M_1</math>, <math>M_2</math> лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — <math>A</math> и <math>B</math> — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — <math>C</math> и <math>D</math>). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: <math>\textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB</math>. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — <math>A</math> и <math>O</math> соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок <math>OC</math> соединяется не с концом центрального <math>BD</math>, а с его серединой. Пропорции также другие: <math>\textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO</math>.

При помощи сплайна NURBS

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

<math>\frac{x\sqrt{2}}{c}</math> <math>\frac{y\sqrt{2}}{c}</math> <math>weight</math>
1 2 0 2
2 2 1 1
3 0 1 1
4 0 −1 1
5 −2 −1 1
6 −2 0 2
7 −2 1 1
8 0 1 1
9 0 −1 1
10 2 −1 1
11 2 0 2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: <math> -1 \le p \le 1</math>.

См. также

Напишите отзыв о статье "Лемниската Бернулли"

Примечания

  1. [www.2dcurves.com/quartic/quarticca.html Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых] (англ.). Проверено 15 июня 2010. [www.webcitation.org/618Kkiji7 Архивировано из первоисточника 22 августа 2011].
  2. Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. [books.google.com/books?id=tK_KRmTf9nUC Euler at 300: an appreciation]. — P. 121-123.

Литература

Ссылки

  • [mathworld.wolfram.com/Lemniscate.html Статья на сайте Wolfram MathWorld] (англ.). Проверено 15 июня 2010.
  • [mathcurve.com/courbes2d/lemniscate/lemniscate.shtml Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (фр.). Проверено 15 июня 2010. [www.webcitation.org/618KluHtg Архивировано из первоисточника 22 августа 2011].
  • [web.unife.it/progetti/geometria/divulg/Funzioniellittiche/Fagnano.htm Фаньяно и длина дуги лемнискаты] (итал.). Проверено 15 июня 2010. [www.webcitation.org/618KmeAx4 Архивировано из первоисточника 22 августа 2011].