Лемниската Бута

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

<math>(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.</math>

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами <math>m</math> и <math>c</math>. Если <math>c > 2m^2</math>, то уравнение лемнискаты принимает вид

<math>(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2</math>, где <math>a^2 = 2m^2 + c</math> и <math>b^2 = c - 2m^2.</math>

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

<math>\rho^2 = a^2cos^2 \phi + b^2sin^2\phi.</math>

Если <math>c < 2m^2</math>, то уравнение лемнискаты принимает вид

<math>(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2</math>, где <math>a^2 = 2m^2 + c</math> и <math>b^2 = 2m^2 - c.</math>

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

<math>\rho^2 = a^2cos^2 \phi - b^2sin^2\phi.</math>

Частные случаи

• При <math>c = 2m^2</math> лемниската Бута вырождается в две окружности <math>x^2 + y^2 \pm 2mx = 0.</math>
• При <math>c = 0</math> лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида <math>x^2 + y^2 = cz</math> с поверхностью конуса <math>a^2x^2 + b^2y^2 = c^2z^2.</math>
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка <math>a^2x^2 \pm b^2y^2 = k^4</math> с центром в начале координат.

Площадь

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

<math>2\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (a^2cos^2\phi + b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{\pi}{2}(a^2+b^2).</math>

Для гиперболической лемнискаты:

<math>\int\limits_0^{arctg\frac{a}{b}} (a^2cos^2\phi - b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{a^2 - b^2}{2}arctg\frac{a}{b} + \frac{ab}{2}.</math>

См. также

• Лемниската Бернулли
• Лемниската Жероно

Литература

• А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / под ред. А. П. Нордена. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
• Математическая энциклопедия / под. ред. И. М. Виноградова. — «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1. — С. 566.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Hippopede.html Hippopede] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [www.mathcurve.com/courbes2d/booth/booth.shtml Courbe de Booth]  (фр.)