Линейная комбинация

Лине́йная комбина́ция — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией x и y будет выражение вида ax + by, где a и b — коэффициенты).

Понятие линейной комбинации является одним из ключевых в линейной алгебре и смежных областях математики. В классическом случае линейная комбинация рассматривается в контексте векторных пространств, но существуют обобщения на произвольные модули над кольцами и бимодули

Определение

Пусть K — поле (например, поле <math>\R</math> вещественных чисел) и V — векторное пространство над K (элементы V — векторы, а элементы K — скаляры). Если <math>v_1, \dots, v_n</math> — векторы, а <math>a_1, \dots, a_n</math> — скаляры, то линейная комбинация этих векторов со скалярами в качестве коэффициентов — это:

<math>a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n</math>.

Имеется некоторая двусмысленность в применении понятия «линейная комбинация», поскольку оно может относиться как к самому выражению, так и его результату. В большинстве случаев подразумевается значение, так как множество всех линейных комбинаций <math>v_1, \dots, v_n</math> всегда образует подпространство. Однако можно сказать также «две различные линейные комбинации могут дать то же самое значение» и в этом случае под линейной комбинацией следует понимать выражение. Слабо уловимая разница между этими понятиями является сущностью понятия линейной зависимости — семейство векторов F линейно независимо в точности тогда, когда любая линейная комбинация векторов из F (как значение) единственна (как выражение). В любом случае, даже если линейная комбинация рассматривается как выражение, всё это относится к коэффициентам для каждого <math>v_i</math>; тривиальные изменения (например, перестановки элементов или добавление элементов с нулевыми коэффициентами) не дают другой линейной комбинации.

В зависимости от ситуации, K и V могут быть заданы явно, или они могут быть очевидны из контекста. В последнем случае часто говорят о линейной комбинации векторов <math>v_1, \dots, v_n</math> с произвольными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K). Или, если S — подмножество V, то можно говорить о линейной комбинации векторов из S, где и коэффициенты, и векторы не специфицированы — за исключением того требования, что векторы должны принадлежать множеству S, а коэффициенты — полю K). Наконец, можно говорить просто о линейной комбинации, где ничто не специфицировано (за исключением того, что вектора должны принадлежать множеству V, а коэффициенты — полю K). В этом случае, скорее всего, речь идёт о выражениях, поскольку любой вектор в V определённо является значением некоторой линейной комбинации.

По определению, линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением специальных обобщений). Однако множество S, из которого берутся векторы, может быть бесконечным. Каждая же индивидуальная линейная комбинация включает лишь конечное число векторов из этого множества. Также нет причин, чтобы n не мог быть нулём: считается, что в этом случае результат линейной комбинации будет нулевым вектором в V.

Примеры и контрпримеры

Векторы

Пусть поле K — множество <math>\R</math> вещественных чисел, а пространство векторов V — евклидово пространство <math>\R^3</math>. Любой вектор в <math>\R^3</math> является линейной комбинацией единичных векторов <math>e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)</math>. Например, вектор <math>(a_1, a_2, a_3)</math> можно записать:

<math> ( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3)</math>

<math> = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1)</math>

<math> = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3.</math>

Функции

Пусть K — множество <math>\C</math> всех комплексных чисел, и пусть V — множество всех непрерывных функций из вещественной прямой <math>\R</math> в комплексную плоскость <math>\C</math>. Взяв векторы (функции) f и g, определённые формулами (здесь e — основание натурального логарифма и i — мнимая единица):

<math>f(t) = e^{i t}</math>, <math>g(t) = e^{-i t}</math>,

можно получить среди прочих следующие их линейные комбинации:

• <math> \cos t = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{i t} + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{-i t}</math>,
• <math> 2 \sin t = (-i ) e^{i t} + ( i ) e^{-i t}</math>.

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и g.

Многочлены

Пусть K — это <math>\R</math>, <math>\C</math> или любое поле, и пусть V — множество P всех многочленов с коэффициентами из K. Пусть заданы векторы (многочлены) <math>p_1 = 1, p_2 = x+1, p_3 = x^2+x+1</math>.

Является ли многочлен x² − 1 линейной комбинацией p₁, p₂ и p₃? Чтобы это определить, является ли многочлен <math>x^2 -1</math> линейной комбинацией <math>p_1, p_2, p_3</math> можно записать комбинацию с произвольными коэффициентами <math>a_1, a_2, a_3</math> и приравнять её к данному многочлену:

<math> a_1 (1) + a_2 ( x + 1) + a_3 ( x^2 + x + 1) = x^2 - 1</math>.

Раскрыв скобки:

<math> ( a_1 ) + ( a_2 x + a_2) + ( a_3 x^2 + a_3 x + a_3) = x^2 - 1</math>,

и приведя однородные многочлены:

<math> a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 ) = 1 x^2 + 0 x + (-1)</math>,

получается:

<math> a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1</math>.

Решением этой системы линейных уравнений является <math>a_1 = -1, a_2 = -1, a_3 = 1</math>. Таким образом, данный многочлен записывается линейной комбинацией <math>p_1, p_2, p_3</math>:

<math> x^2 - 1 = -1 - ( x + 1) + ( x^2 + x + 1) = - p_1 - p_2 + p_3 </math>.

Другой пример — <math>x^3-1</math>, он не может быть представлен линейной комбинацией <math>p_1, p_2, p_3</math>:

<math> 0 x^3 + a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 )</math>

<math> = 1 x^3 + 0 x^2 + 0 x + (-1),</math>

приравняв теперь коэффициенты для <math>x^3</math>, получаем противоречие <math> 0 = 1</math>.

Линейная оболочка

Пусть <math>S=\{v_1, \dots, v_n</math>} — векторы в некотором векторном пространстве V над некоторым полем K. Множество всех линейных комбинаций этих векторов называется линейной оболочкой (или просто оболочкой) векторов из S. Обозначения — <math>\mathrm{span}(S)</math> или <math>\mathrm{Sp}(S)</math>:

<math> \mathrm{Sp}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \mid a_1 ,\ldots, a_n \subseteq K \}</math>.

Линейная независимость

Для некоторых наборов <math>v_1, \dots, v_n</math> векторы могут быть представлены в виде линейной комбинации неоднозначно:

<math>v = \sum a_i v_i = \sum b_i v_i</math>, где <math> (a_i) \neq (b_i)</math>.

Если вычесть третий член равенства из второго и обозначить коэффициенты <math>c_i = a_i - b_i</math>, получим нетривиальную комбинацию, дающую в результате нулевой вектор:

<math>0 = \sum c_i v_i.</math>

Если такое возможно, набор <math>v_1, \dots, v_n</math> называют линейно зависимым. В противном случае — линейно независимым. Аналогичным образом говорят о зависимости или независимости произвольного множества векторов S.

Если S — линейно независимо и оболочка S совпадает с V, говорят, что S является базисом в V.

Аффинная, коническая и выпуклая комбинации

Если наложить на коэффициенты, используемые в линейной комбинации, некоторые условия, получим понятия концепции барицентрической комбинации (или аффинной комбинации), конической комбинации и выпуклой комбинации, а также соответствующие понятия множеств таких линейных комбинаций.

Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Название множества	Модель пространства
Линейная комбинация	без ограничений	Векторное подпространство	<math>\mathbf{R}^n</math>
Барицентрическая комбинация	<math>\sum a_i = 1</math>	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	<math>a_i \geq 0</math>	Выпуклый конус	Квадрант / Октант
Выпуклая комбинация	<math>a_i \geq 0</math> и <math>\sum a_i = 1</math>	Выпуклое множество	Симплекс

Поскольку здесь имеют место ограничения на вид комбинаций, то получаем в результате более широкие классы объектов. Таким образом, понятия аффинных подмножеств, выпуклых конусов и выпуклых множеств выступают как обобщения понятия векторного подпространства: векторное подпространство одновременно является также и аффинным подпространством, и выпуклым конусом, и выпуклым множеством, но выпуклое множество совсем не обязательно будет векторным или аффинным подпространством или выпуклым конусом.

Эти понятия возникают, когда берут определённые линейные комбинации объектов, но не любые. Например, распределения вероятностей замкнуты относительно операции образования выпуклых комбинаций (и образуют выпуклое множество), но не конических, барицентрических или линейных. Меры множеств замкнуты относительно операции образования конических комбинаций, но не барицентрических или линейных (последние комбинации определяют заряды).

Линейную и барицентрическую комбинации можно определить для любого поля (или кольца), а коническая и выпуклая комбинации требуют понятия «положительный», так что их можно определить только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом).

Если разрешено только умножение на скаляр, но не сложение, получим (не обязательно выпуклый) конус. Часто ограничиваются умножением только на положительные скаляры.

Теория операд

На более общем языке теории операд можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой <math>\R^\infty</math> (бесконечная прямая сумма, в которой только конечное число членов ненулевые), которая параметризует линейные комбинации. (Например, вектор <math>(2,3,-5,0,\dots)</math> в таком подходе соответствует линейной комбинации <math>2v_1 + 3v_2 -5v_3 + 0v_4 + \cdots</math>.) Подобным же образом можно рассматривать барицентрические, конические и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, у которых члены в сумме дают 1, члены которых неотрицательны, или и то, и другое; такие комбинации будут бесконечными аффинными гиперплоскостями, бесконечными гипероктантами и бесконечными симплексами.

С этой точки зрения линейная комбинация может рассматриваться как наиболее общая операция в векторном пространстве — если векторное пространство является алгеброй над операдой линейной комбинации, это в точности означает, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями.

Основные операции сложения и умножения на скаляр вместе с существованием аддитивного равенства и аддитивной инверсии нельзя скомбинировать более сложным образом, чем образованием линейной комбинации. Эти основные операции являются генерирующим множеством для операды всех линейных комбинаций.

Обобщения

Если V — топологическое векторное пространство, то можно, если существенным образом использовать топологию V, придать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям элементов данного пространства. Например, можно было бы говорить о <math>a_1v + a_2v + a_3v + \dots</math> (до бесконечности). Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл: обычно смысл удаётся придать лишь сходящимся комбинациям. Увеличение запаса допустимых линейных комбинаций может привести к изменению объёма понятий оболочки, линейной независимости и базиса.

Если K — коммутативное кольцо, а не поле, то всё, что говорилось о линейных комбинациях выше, обобщается на этот случай без изменений. Единственная разница — такие пространства именуются модулями (а не векторными пространствами), и не все результаты, справедливые применительно к векторным пространствам, остаются справедливыми и для модулей.

Если K — некоммутативное кольцо, то понятие линейной комбинации с коэффициентами из K также можно ввести — с одной особенностью: поскольку модули над некоммутативным кольцом могут быть левые и правые, то и линейная комбинация может тоже быть левой и правой.

Более сложной является ситуация, когда V — бимодуль над двумя кольцами <math>K_L</math> и <math>K_R</math>. В этом случае наиболее общий вид линейной комбинации таков:

<math> a_1 v_1 b_1 + \cdots + a_n v_n b_n</math>,

где <math>a_1, \dots, a_n</math> принадлежат <math>K_L</math>, <math>b_1, \dots, b_n</math> принадлежат <math>K_R</math> и <math>v_1, \dots, v_n</math> принадлежат V.

Ссылки

• [www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors], khanacademy.org.

Отрывок, характеризующий Линейная комбинация

– Капитана Тушина, ваше превосходительство, – вытягиваясь, закричал веселым голосом рыжий, с покрытым веснушками лицом, фейерверкер.
– Так, так, – проговорил Багратион, что то соображая, и мимо передков проехал к крайнему орудию.
В то время как он подъезжал, из орудия этого, оглушая его и свиту, зазвенел выстрел, и в дыму, вдруг окружившем орудие, видны были артиллеристы, подхватившие пушку и, торопливо напрягаясь, накатывавшие ее на прежнее место. Широкоплечий, огромный солдат 1 й с банником, широко расставив ноги, отскочил к колесу. 2 й трясущейся рукой клал заряд в дуло. Небольшой сутуловатый человек, офицер Тушин, спотыкнувшись на хобот, выбежал вперед, не замечая генерала и выглядывая из под маленькой ручки.
– Еще две линии прибавь, как раз так будет, – закричал он тоненьким голоском, которому он старался придать молодцоватость, не шедшую к его фигуре. – Второе! – пропищал он. – Круши, Медведев!
Багратион окликнул офицера, и Тушин, робким и неловким движением, совсем не так, как салютуют военные, а так, как благословляют священники, приложив три пальца к козырьку, подошел к генералу. Хотя орудия Тушина были назначены для того, чтоб обстреливать лощину, он стрелял брандскугелями по видневшейся впереди деревне Шенграбен, перед которой выдвигались большие массы французов.
Никто не приказывал Тушину, куда и чем стрелять, и он, посоветовавшись с своим фельдфебелем Захарченком, к которому имел большое уважение, решил, что хорошо было бы зажечь деревню. «Хорошо!» сказал Багратион на доклад офицера и стал оглядывать всё открывавшееся перед ним поле сражения, как бы что то соображая. С правой стороны ближе всего подошли французы. Пониже высоты, на которой стоял Киевский полк, в лощине речки слышалась хватающая за душу перекатная трескотня ружей, и гораздо правее, за драгунами, свитский офицер указывал князю на обходившую наш фланг колонну французов. Налево горизонт ограничивался близким лесом. Князь Багратион приказал двум баталионам из центра итти на подкрепление направо. Свитский офицер осмелился заметить князю, что по уходе этих баталионов орудия останутся без прикрытия. Князь Багратион обернулся к свитскому офицеру и тусклыми глазами посмотрел на него молча. Князю Андрею казалось, что замечание свитского офицера было справедливо и что действительно сказать было нечего. Но в это время прискакал адъютант от полкового командира, бывшего в лощине, с известием, что огромные массы французов шли низом, что полк расстроен и отступает к киевским гренадерам. Князь Багратион наклонил голову в знак согласия и одобрения. Шагом поехал он направо и послал адъютанта к драгунам с приказанием атаковать французов. Но посланный туда адъютант приехал через полчаса с известием, что драгунский полковой командир уже отступил за овраг, ибо против него был направлен сильный огонь, и он понапрасну терял людей и потому спешил стрелков в лес.
– Хорошо! – сказал Багратион.
В то время как он отъезжал от батареи, налево тоже послышались выстрелы в лесу, и так как было слишком далеко до левого фланга, чтобы успеть самому приехать во время, князь Багратион послал туда Жеркова сказать старшему генералу, тому самому, который представлял полк Кутузову в Браунау, чтобы он отступил сколь можно поспешнее за овраг, потому что правый фланг, вероятно, не в силах будет долго удерживать неприятеля. Про Тушина же и баталион, прикрывавший его, было забыто. Князь Андрей тщательно прислушивался к разговорам князя Багратиона с начальниками и к отдаваемым им приказаниям и к удивлению замечал, что приказаний никаких отдаваемо не было, а что князь Багратион только старался делать вид, что всё, что делалось по необходимости, случайности и воле частных начальников, что всё это делалось хоть не по его приказанию, но согласно с его намерениями. Благодаря такту, который выказывал князь Багратион, князь Андрей замечал, что, несмотря на эту случайность событий и независимость их от воли начальника, присутствие его сделало чрезвычайно много. Начальники, с расстроенными лицами подъезжавшие к князю Багратиону, становились спокойны, солдаты и офицеры весело приветствовали его и становились оживленнее в его присутствии и, видимо, щеголяли перед ним своею храбростию.


Князь Багратион, выехав на самый высокий пункт нашего правого фланга, стал спускаться книзу, где слышалась перекатная стрельба и ничего не видно было от порохового дыма. Чем ближе они спускались к лощине, тем менее им становилось видно, но тем чувствительнее становилась близость самого настоящего поля сражения. Им стали встречаться раненые. Одного с окровавленной головой, без шапки, тащили двое солдат под руки. Он хрипел и плевал. Пуля попала, видно, в рот или в горло. Другой, встретившийся им, бодро шел один, без ружья, громко охая и махая от свежей боли рукою, из которой кровь лилась, как из стклянки, на его шинель. Лицо его казалось больше испуганным, чем страдающим. Он минуту тому назад был ранен. Переехав дорогу, они стали круто спускаться и на спуске увидали несколько человек, которые лежали; им встретилась толпа солдат, в числе которых были и не раненые. Солдаты шли в гору, тяжело дыша, и, несмотря на вид генерала, громко разговаривали и махали руками. Впереди, в дыму, уже были видны ряды серых шинелей, и офицер, увидав Багратиона, с криком побежал за солдатами, шедшими толпой, требуя, чтоб они воротились. Багратион подъехал к рядам, по которым то там, то здесь быстро щелкали выстрелы, заглушая говор и командные крики. Весь воздух пропитан был пороховым дымом. Лица солдат все были закопчены порохом и оживлены. Иные забивали шомполами, другие посыпали на полки, доставали заряды из сумок, третьи стреляли. Но в кого они стреляли, этого не было видно от порохового дыма, не уносимого ветром. Довольно часто слышались приятные звуки жужжанья и свистения. «Что это такое? – думал князь Андрей, подъезжая к этой толпе солдат. – Это не может быть атака, потому что они не двигаются; не может быть карре: они не так стоят».
Худощавый, слабый на вид старичок, полковой командир, с приятною улыбкой, с веками, которые больше чем наполовину закрывали его старческие глаза, придавая ему кроткий вид, подъехал к князю Багратиону и принял его, как хозяин дорогого гостя. Он доложил князю Багратиону, что против его полка была конная атака французов, но что, хотя атака эта отбита, полк потерял больше половины людей. Полковой командир сказал, что атака была отбита, придумав это военное название тому, что происходило в его полку; но он действительно сам не знал, что происходило в эти полчаса во вверенных ему войсках, и не мог с достоверностью сказать, была ли отбита атака или полк его был разбит атакой. В начале действий он знал только то, что по всему его полку стали летать ядра и гранаты и бить людей, что потом кто то закричал: «конница», и наши стали стрелять. И стреляли до сих пор уже не в конницу, которая скрылась, а в пеших французов, которые показались в лощине и стреляли по нашим. Князь Багратион наклонил голову в знак того, что всё это было совершенно так, как он желал и предполагал. Обратившись к адъютанту, он приказал ему привести с горы два баталиона 6 го егерского, мимо которых они сейчас проехали. Князя Андрея поразила в эту минуту перемена, происшедшая в лице князя Багратиона. Лицо его выражало ту сосредоточенную и счастливую решимость, которая бывает у человека, готового в жаркий день броситься в воду и берущего последний разбег. Не было ни невыспавшихся тусклых глаз, ни притворно глубокомысленного вида: круглые, твердые, ястребиные глаза восторженно и несколько презрительно смотрели вперед, очевидно, ни на чем не останавливаясь, хотя в его движениях оставалась прежняя медленность и размеренность.
Полковой командир обратился к князю Багратиону, упрашивая его отъехать назад, так как здесь было слишком опасно. «Помилуйте, ваше сиятельство, ради Бога!» говорил он, за подтверждением взглядывая на свитского офицера, который отвертывался от него. «Вот, изволите видеть!» Он давал заметить пули, которые беспрестанно визжали, пели и свистали около них. Он говорил таким тоном просьбы и упрека, с каким плотник говорит взявшемуся за топор барину: «наше дело привычное, а вы ручки намозолите». Он говорил так, как будто его самого не могли убить эти пули, и его полузакрытые глаза придавали его словам еще более убедительное выражение. Штаб офицер присоединился к увещаниям полкового командира; но князь Багратион не отвечал им и только приказал перестать стрелять и построиться так, чтобы дать место подходившим двум баталионам. В то время как он говорил, будто невидимою рукой потянулся справа налево, от поднявшегося ветра, полог дыма, скрывавший лощину, и противоположная гора с двигающимися по ней французами открылась перед ними. Все глаза были невольно устремлены на эту французскую колонну, подвигавшуюся к нам и извивавшуюся по уступам местности. Уже видны были мохнатые шапки солдат; уже можно было отличить офицеров от рядовых; видно было, как трепалось о древко их знамя.
– Славно идут, – сказал кто то в свите Багратиона.
Голова колонны спустилась уже в лощину. Столкновение должно было произойти на этой стороне спуска…
Остатки нашего полка, бывшего в деле, поспешно строясь, отходили вправо; из за них, разгоняя отставших, подходили стройно два баталиона 6 го егерского. Они еще не поровнялись с Багратионом, а уже слышен был тяжелый, грузный шаг, отбиваемый в ногу всею массой людей. С левого фланга шел ближе всех к Багратиону ротный командир, круглолицый, статный мужчина с глупым, счастливым выражением лица, тот самый, который выбежал из балагана. Он, видимо, ни о чем не думал в эту минуту, кроме того, что он молодцом пройдет мимо начальства.
С фрунтовым самодовольством он шел легко на мускулистых ногах, точно он плыл, без малейшего усилия вытягиваясь и отличаясь этою легкостью от тяжелого шага солдат, шедших по его шагу. Он нес у ноги вынутую тоненькую, узенькую шпагу (гнутую шпажку, не похожую на оружие) и, оглядываясь то на начальство, то назад, не теряя шагу, гибко поворачивался всем своим сильным станом. Казалось, все силы души его были направлены на то,чтобы наилучшим образом пройти мимо начальства, и, чувствуя, что он исполняет это дело хорошо, он был счастлив. «Левой… левой… левой…», казалось, внутренно приговаривал он через каждый шаг, и по этому такту с разно образно строгими лицами двигалась стена солдатских фигур, отягченных ранцами и ружьями, как будто каждый из этих сотен солдат мысленно через шаг приговаривал: «левой… левой… левой…». Толстый майор, пыхтя и разрознивая шаг, обходил куст по дороге; отставший солдат, запыхавшись, с испуганным лицом за свою неисправность, рысью догонял роту; ядро, нажимая воздух, пролетело над головой князя Багратиона и свиты и в такт: «левой – левой!» ударилось в колонну. «Сомкнись!» послышался щеголяющий голос ротного командира. Солдаты дугой обходили что то в том месте, куда упало ядро; старый кавалер, фланговый унтер офицер, отстав около убитых, догнал свой ряд, подпрыгнув, переменил ногу, попал в шаг и сердито оглянулся. «Левой… левой… левой…», казалось, слышалось из за угрожающего молчания и однообразного звука единовременно ударяющих о землю ног.
– Молодцами, ребята! – сказал князь Багратион.
«Ради… ого го го го го!…» раздалось по рядам. Угрюмый солдат, шедший слева, крича, оглянулся глазами на Багратиона с таким выражением, как будто говорил: «сами знаем»; другой, не оглядываясь и как будто боясь развлечься, разинув рот, кричал и проходил.
Велено было остановиться и снять ранцы.
Багратион объехал прошедшие мимо его ряды и слез с лошади. Он отдал казаку поводья, снял и отдал бурку, расправил ноги и поправил на голове картуз. Голова французской колонны, с офицерами впереди, показалась из под горы.
«С Богом!» проговорил Багратион твердым, слышным голосом, на мгновение обернулся к фронту и, слегка размахивая руками, неловким шагом кавалериста, как бы трудясь, пошел вперед по неровному полю. Князь Андрей чувствовал, что какая то непреодолимая сила влечет его вперед, и испытывал большое счастие. [Тут произошла та атака, про которую Тьер говорит: «Les russes se conduisirent vaillamment, et chose rare a la guerre, on vit deux masses d'infanterie Mariecher resolument l'une contre l'autre sans qu'aucune des deux ceda avant d'etre abordee»; а Наполеон на острове Св. Елены сказал: «Quelques bataillons russes montrerent de l'intrepidite„. [Русские вели себя доблестно, и вещь – редкая на войне, две массы пехоты шли решительно одна против другой, и ни одна из двух не уступила до самого столкновения“. Слова Наполеона: [Несколько русских батальонов проявили бесстрашие.]