Линейная функция

Линейная функция — функция вида

<math> y =kx+b</math> (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай <math>b=0</math> линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от <math>b \neq 0</math> — неоднородных линейных функций.

Свойства

<math>k</math> (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла <math>\alpha ~ (\alpha \in [0; \frac {\pi}{2}) \cup (\frac {\pi}{2}; \pi)),</math> который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
При <math>k>0</math>, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
При <math>k<0</math>, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
При <math>k=0</math>, прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями <math> y =k_1x+b_1, </math> и <math> y =k_2x+b_2, </math> определяется равенством: <math>\mathrm{tg}\,\alpha = \left | \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right |,</math> где <math>k_1 k_2 \neq -1,</math> то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при <math>k_1 = k_2, ~ \alpha = 0</math> и прямые параллельны.

<math>b</math> является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
При <math>b=0</math>, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция <math>n</math> переменных <math>x=(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> — функция вида

где <math>a_0,a_1,a_2,\dots,a_n</math> — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё <math>n</math>-мерное пространство переменных <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> вещественных или комплексных. При <math>a_0=0</math> линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math> и коэффициенты <math>a_0,a_1,a_2,\dots,a_n</math> — вещественные числа, то графиком линейной функции в <math>(n+1)</math>-мерном пространстве переменных <math>x_1,x_2,\dots,x_n, y</math> является <math>n</math>-мерная гиперплоскость

в частности при <math>n=1</math> — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства <math>X</math> над некоторым полем <math>k</math> в это поле, то есть для такого отображения <math>f: X\to k</math>, что для любых элементов <math>x,y\in X</math> и любых <math>\alpha,\beta\in k</math> справедливо равенство

<math>f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)</math>

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Основные статьи: Линейная булева функция, Полином Жегалкина, Критерий Поста

Булева функция <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> называется линейной, если существуют такие <math>a_0, a_1, a_2, \dots, a_n</math>, где <math>a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}</math>, что для любых <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> имеет место равенство:

<math>f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n</math>.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция <math>y=x^2</math>.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям <math>f=k x+b</math>, где <math>b\neq 0</math>, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае <math>f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)</math> и <math>f(c x) \neq c f(x)</math>. Например, нелинейной зависимостью считают <math>\sigma (\tau)</math> для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Напишите отзыв о статье "Линейная функция"

Ссылки

Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Отрывок, характеризующий Линейная функция

Однажды вечером, когда старая графиня, вздыхая и крехтя, в ночном чепце и кофточке, без накладных буклей, и с одним бедным пучком волос, выступавшим из под белого, коленкорового чепчика, клала на коврике земные поклоны вечерней молитвы, ее дверь скрипнула, и в туфлях на босу ногу, тоже в кофточке и в папильотках, вбежала Наташа. Графиня оглянулась и нахмурилась. Она дочитывала свою последнюю молитву: «Неужели мне одр сей гроб будет?» Молитвенное настроение ее было уничтожено. Наташа, красная, оживленная, увидав мать на молитве, вдруг остановилась на своем бегу, присела и невольно высунула язык, грозясь самой себе. Заметив, что мать продолжала молитву, она на цыпочках подбежала к кровати, быстро скользнув одной маленькой ножкой о другую, скинула туфли и прыгнула на тот одр, за который графиня боялась, как бы он не был ее гробом. Одр этот был высокий, перинный, с пятью всё уменьшающимися подушками. Наташа вскочила, утонула в перине, перевалилась к стенке и начала возиться под одеялом, укладываясь, подгибая коленки к подбородку, брыкая ногами и чуть слышно смеясь, то закрываясь с головой, то взглядывая на мать. Графиня кончила молитву и с строгим лицом подошла к постели; но, увидав, что Наташа закрыта с головой, улыбнулась своей доброй, слабой улыбкой.
– Ну, ну, ну, – сказала мать.
– Мама, можно поговорить, да? – сказала Hаташa. – Ну, в душку один раз, ну еще, и будет. – И она обхватила шею матери и поцеловала ее под подбородок. В обращении своем с матерью Наташа выказывала внешнюю грубость манеры, но так была чутка и ловка, что как бы она ни обхватила руками мать, она всегда умела это сделать так, чтобы матери не было ни больно, ни неприятно, ни неловко.
– Ну, об чем же нынче? – сказала мать, устроившись на подушках и подождав, пока Наташа, также перекатившись раза два через себя, не легла с ней рядом под одним одеялом, выпростав руки и приняв серьезное выражение.
Эти ночные посещения Наташи, совершавшиеся до возвращения графа из клуба, были одним из любимейших наслаждений матери и дочери.
– Об чем же нынче? А мне нужно тебе сказать…
Наташа закрыла рукою рот матери.
– О Борисе… Я знаю, – сказала она серьезно, – я затем и пришла. Не говорите, я знаю. Нет, скажите! – Она отпустила руку. – Скажите, мама. Он мил?
– Наташа, тебе 16 лет, в твои года я была замужем. Ты говоришь, что Боря мил. Он очень мил, и я его люблю как сына, но что же ты хочешь?… Что ты думаешь? Ты ему совсем вскружила голову, я это вижу…
Говоря это, графиня оглянулась на дочь. Наташа лежала, прямо и неподвижно глядя вперед себя на одного из сфинксов красного дерева, вырезанных на углах кровати, так что графиня видела только в профиль лицо дочери. Лицо это поразило графиню своей особенностью серьезного и сосредоточенного выражения.
Наташа слушала и соображала.
– Ну так что ж? – сказала она.
– Ты ему вскружила совсем голову, зачем? Что ты хочешь от него? Ты знаешь, что тебе нельзя выйти за него замуж.
– Отчего? – не переменяя положения, сказала Наташа.
– Оттого, что он молод, оттого, что он беден, оттого, что он родня… оттого, что ты и сама не любишь его.
– А почему вы знаете?
– Я знаю. Это не хорошо, мой дружок.
– А если я хочу… – сказала Наташа.
– Перестань говорить глупости, – сказала графиня.
– А если я хочу…
– Наташа, я серьезно…
Наташа не дала ей договорить, притянула к себе большую руку графини и поцеловала ее сверху, потом в ладонь, потом опять повернула и стала целовать ее в косточку верхнего сустава пальца, потом в промежуток, потом опять в косточку, шопотом приговаривая: «январь, февраль, март, апрель, май».
– Говорите, мама, что же вы молчите? Говорите, – сказала она, оглядываясь на мать, которая нежным взглядом смотрела на дочь и из за этого созерцания, казалось, забыла всё, что она хотела сказать.
– Это не годится, душа моя. Не все поймут вашу детскую связь, а видеть его таким близким с тобой может повредить тебе в глазах других молодых людей, которые к нам ездят, и, главное, напрасно мучает его. Он, может быть, нашел себе партию по себе, богатую; а теперь он с ума сходит.
– Сходит? – повторила Наташа.
– Я тебе про себя скажу. У меня был один cousin…
– Знаю – Кирилла Матвеич, да ведь он старик?
– Не всегда был старик. Но вот что, Наташа, я поговорю с Борей. Ему не надо так часто ездить…
– Отчего же не надо, коли ему хочется?