Линейное отображение

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции <math>y=kx</math>) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства <math>L_K</math> над полем <math>K</math> в векторное пространство <math>M_K</math> над тем же полем <math>K</math> (лине́йным опера́тором из <math>L_K</math> в <math>M_K</math>) называется отображение

<math>f\colon L_K\to M_K</math>,

удовлетворяющее условию линейности

<math>f(x + y) = f(x) + f(y)</math>,

<math>f(\alpha x) = \alpha f(x)</math>.

для всех <math>x,y\in L_K</math> и <math>\alpha\in K</math>.

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля <math>K</math> как

• <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)\quad \forall x\in L_K</math>
• <math>(kf)(x) = kf(x)\quad \forall x\in L_K, \forall k\in K</math>

множество всех линейных отображений из <math>L_K</math> в <math>M_K</math> превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как <math>\mathcal{L}(L_K, M_K)</math>

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства <math>L_K</math> и <math>M_K</math> являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что <math>\forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}</math>. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

<math>\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.</math>

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство <math>M_K</math> — банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Оператор <math>A^{-1}</math> называется обратным линейному оператору <math>A</math>, если выполняется соотношение: <math>A^{-1}A=AA^{-1}=1</math>

Оператор <math>A^{-1}</math>, обратный линейному оператору <math>A</math>, также является линейным оператором. Если <math>A</math>- линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис <math>\mathbf{e}_k</math>. Пусть <math>\mathbf{x}</math> — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

<math>\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k</math>,

где <math>x^k</math> — координаты вектора <math>\mathbf{x}</math> в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть <math>\mathbf{A}</math> — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

<math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>.

Вектора <math>\mathbf{Ae}_k</math> также разложим в выбранном базисе, получим

<math>\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j</math>,

где <math>a^j_k</math> — <math>j</math>-я координата <math>k</math>-го вектора из <math>\mathbf{Ae}_k</math>.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

<math>\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j</math>.

Выражение <math>a^j_kx^k</math>, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица <math>a^j_k</math> при умножении на столбец <math>x^k</math> даёт в результате координаты вектора <math>\mathbf{Ax}</math>, возникшего от действия оператора <math>\mathbf{A}</math> на вектор <math>\mathbf{x}</math>, что и требовалось получить.

 Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов <math>\mathbf{e}_k</math>. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

Пример преобразования

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида

<math>

\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\, </math>

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d). Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы A на каждый вектор-столбец <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> и <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>. Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R². Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.

Горизонтальный сдвиг (m=1.25)	Горизонтальное отражение	Сжатие (r=3/2)	Масштабирование (3/2)	Поворот (π/6R = 30°)
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1.25 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>	<math>\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>	<math>\begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 2/3 \end{bmatrix}</math>	<math>\begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 3/2 \end{bmatrix}</math>	<math>\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}</math>

Важные частные случаи

• Линейная форма — линейный оператор, для которого <math> M = K</math>:
      <math>f\colon L_K\to K</math>
• Линейный эндоморфизм — линейный оператор, для которого <math>L = M</math>:
      <math>f\colon L_K\to L_K</math>
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор <math>x \mapsto x</math>, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент <math>L_K</math> в нулевой элемент <math>M_K</math>.
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому <math>x</math> его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору <math>A \in L(V)</math> — оператор <math>A^*</math> на <math>V^*</math>, заданный соотношением <math>A^*f(x) := f(Ax)</math>.
• Самосопряжённый оператор — оператор на гильбертовом пространстве, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов или симметрический оператор — такой оператор <math>A</math>, определённый на подпространстве гильбертова пространства, что <math>(Ax,y)=(x,Ay)</math> для всех пар <math>x,y</math> из области определения <math>A</math>. Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение <math>(Ax,Ay)=(x,y)</math>; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора <math>\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|</math>. Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором <math>A^{-1}=A^*</math>; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным.
• Положительно определённый оператор. Пусть <math>L_K,\ M_K</math> — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если <math>\forall x\in X, (Ax, x)>0</math>.

Связанные понятия

• Образом подмножества <math>M\subset L_K</math> относительно линейного отображения A называется множество <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math>.
• Ядром линейного отображения <math>f\colon A\to B</math> называется подмножество <math>A</math>, которое отображается в нуль:

  <math>\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}</math>

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве <math>A</math>.

• Образом линейного отображения <math>f</math> называется следующее подмножество <math>B</math>:

  <math>\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}</math>

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве <math>B</math>.

• Отображение <math>f\colon A\times B \to C</math> прямого произведения линейных пространств <math>A</math> и <math>B</math> в линейное пространство <math>C</math> называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств <math>f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B</math> называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
• Оператор <math>\tilde L</math> называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид

  <math>\tilde L = L + v</math>

где <math>L</math> — линейный оператор, а <math>v</math> — вектор.

• Пусть <math>A:L_K\to L_K</math>. Подпространство <math>M\subset L_K</math> называется инвариантным относительно линейного отображения, если <math>\forall x\in M, Ax\in M</math>.

Критерий инвариантности. Пусть <math>M\subset X</math> — подпространство,такое что <math>X</math> разлагается в прямую сумму: <math>X=M\oplus N</math>. Тогда <math>M</math> инвариантно относительно линейного отображения <math>A</math> тогда и только тогда, когда <math>P_MAP_M=AP_M</math>, где <math>P_M</math> - проектор на подпространство <math>M</math>.

• Фактор-операторы. Пусть <math>A:L_K\to L_K</math> — линейный оператор и пусть <math>M</math> — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем факторпространство <math>L_K/\,\overset{M}{\sim}</math> по подпространству <math>M</math>. Тогда фактор-оператором называется оператор <math>A^+</math> действующий на <math>L_K/\,\overset{M}{\sim}</math> по правилу: <math>\forall x^+\in L_K/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]</math>, где <math>[Ax]</math> — класс из фактор-пространства, содержащий <math>Ax</math>.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: <math>L\{x(\cdot)\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}</math>;
• оператор интегрирования: <math>y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau</math>;
• оператор умножения на определённую функцию <math>\varphi(t)\colon y(t)=\varphi(t)x(t)</math>;
• оператор интегрирования с заданным «весом» <math>\varphi(t)\colon y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau){\varphi}(\tau)\,d\tau</math>
• оператор взятия значения функции <math>f</math> в конкретной точке <math>x_0</math>: <math>L\{f\}=f(x_0)</math>;
• оператор умножения вектора на матрицу: <math>b=Ax</math>;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• <math>y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\varphi(t)</math>;
• <math>y(t)=\int\limits_0^t\!x(\tau)\,d\tau+\varphi(t)</math>;
• <math>y(t)=\varphi_1(t)x(t)+\varphi_2(t)</math>;

где <math>\varphi(t)</math>, <math>\varphi_1(t)</math>, <math>\varphi_2(t)</math> — вполне определённые функции, а <math>x(t)</math> — преобразуемая оператором функция.

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал

Отрывок, характеризующий Линейное отображение

Он перекрестился на передний угол и подошел к Долохову, протягивая черную, небольшую руку.
– Федору Ивановичу! – сказал он, кланяясь.
– Здорово, брат. – Ну вот и он.
– Здравствуй, ваше сиятельство, – сказал он входившему Анатолю и тоже протянул руку.
– Я тебе говорю, Балага, – сказал Анатоль, кладя ему руки на плечи, – любишь ты меня или нет? А? Теперь службу сослужи… На каких приехал? А?
– Как посол приказал, на ваших на зверьях, – сказал Балага.
– Ну, слышишь, Балага! Зарежь всю тройку, а чтобы в три часа приехать. А?
– Как зарежешь, на чем поедем? – сказал Балага, подмигивая.
– Ну, я тебе морду разобью, ты не шути! – вдруг, выкатив глаза, крикнул Анатоль.
– Что ж шутить, – посмеиваясь сказал ямщик. – Разве я для своих господ пожалею? Что мочи скакать будет лошадям, то и ехать будем.
– А! – сказал Анатоль. – Ну садись.
– Что ж, садись! – сказал Долохов.
– Постою, Федор Иванович.
– Садись, врешь, пей, – сказал Анатоль и налил ему большой стакан мадеры. Глаза ямщика засветились на вино. Отказываясь для приличия, он выпил и отерся шелковым красным платком, который лежал у него в шапке.
– Что ж, когда ехать то, ваше сиятельство?
– Да вот… (Анатоль посмотрел на часы) сейчас и ехать. Смотри же, Балага. А? Поспеешь?
– Да как выезд – счастлив ли будет, а то отчего же не поспеть? – сказал Балага. – Доставляли же в Тверь, в семь часов поспевали. Помнишь небось, ваше сиятельство.
– Ты знаешь ли, на Рожество из Твери я раз ехал, – сказал Анатоль с улыбкой воспоминания, обращаясь к Макарину, который во все глаза умиленно смотрел на Курагина. – Ты веришь ли, Макарка, что дух захватывало, как мы летели. Въехали в обоз, через два воза перескочили. А?
– Уж лошади ж были! – продолжал рассказ Балага. – Я тогда молодых пристяжных к каурому запрег, – обратился он к Долохову, – так веришь ли, Федор Иваныч, 60 верст звери летели; держать нельзя, руки закоченели, мороз был. Бросил вожжи, держи, мол, ваше сиятельство, сам, так в сани и повалился. Так ведь не то что погонять, до места держать нельзя. В три часа донесли черти. Издохла левая только.


Анатоль вышел из комнаты и через несколько минут вернулся в подпоясанной серебряным ремнем шубке и собольей шапке, молодцовато надетой на бекрень и очень шедшей к его красивому лицу. Поглядевшись в зеркало и в той самой позе, которую он взял перед зеркалом, став перед Долоховым, он взял стакан вина.
– Ну, Федя, прощай, спасибо за всё, прощай, – сказал Анатоль. – Ну, товарищи, друзья… он задумался… – молодости… моей, прощайте, – обратился он к Макарину и другим.
Несмотря на то, что все они ехали с ним, Анатоль видимо хотел сделать что то трогательное и торжественное из этого обращения к товарищам. Он говорил медленным, громким голосом и выставив грудь покачивал одной ногой. – Все возьмите стаканы; и ты, Балага. Ну, товарищи, друзья молодости моей, покутили мы, пожили, покутили. А? Теперь, когда свидимся? за границу уеду. Пожили, прощай, ребята. За здоровье! Ура!.. – сказал он, выпил свой стакан и хлопнул его об землю.
– Будь здоров, – сказал Балага, тоже выпив свой стакан и обтираясь платком. Макарин со слезами на глазах обнимал Анатоля. – Эх, князь, уж как грустно мне с тобой расстаться, – проговорил он.
– Ехать, ехать! – закричал Анатоль.
Балага было пошел из комнаты.
– Нет, стой, – сказал Анатоль. – Затвори двери, сесть надо. Вот так. – Затворили двери, и все сели.
– Ну, теперь марш, ребята! – сказал Анатоль вставая.
Лакей Joseph подал Анатолю сумку и саблю, и все вышли в переднюю.
– А шуба где? – сказал Долохов. – Эй, Игнатка! Поди к Матрене Матвеевне, спроси шубу, салоп соболий. Я слыхал, как увозят, – сказал Долохов, подмигнув. – Ведь она выскочит ни жива, ни мертва, в чем дома сидела; чуть замешкаешься, тут и слезы, и папаша, и мамаша, и сейчас озябла и назад, – а ты в шубу принимай сразу и неси в сани.
Лакей принес женский лисий салоп.
– Дурак, я тебе сказал соболий. Эй, Матрешка, соболий! – крикнул он так, что далеко по комнатам раздался его голос.
Красивая, худая и бледная цыганка, с блестящими, черными глазами и с черными, курчавыми сизого отлива волосами, в красной шали, выбежала с собольим салопом на руке.
– Что ж, мне не жаль, ты возьми, – сказала она, видимо робея перед своим господином и жалея салопа.
Долохов, не отвечая ей, взял шубу, накинул ее на Матрешу и закутал ее.
– Вот так, – сказал Долохов. – И потом вот так, – сказал он, и поднял ей около головы воротник, оставляя его только перед лицом немного открытым. – Потом вот так, видишь? – и он придвинул голову Анатоля к отверстию, оставленному воротником, из которого виднелась блестящая улыбка Матреши.
– Ну прощай, Матреша, – сказал Анатоль, целуя ее. – Эх, кончена моя гульба здесь! Стешке кланяйся. Ну, прощай! Прощай, Матреша; ты мне пожелай счастья.
– Ну, дай то вам Бог, князь, счастья большого, – сказала Матреша, с своим цыганским акцентом.
У крыльца стояли две тройки, двое молодцов ямщиков держали их. Балага сел на переднюю тройку, и, высоко поднимая локти, неторопливо разобрал вожжи. Анатоль и Долохов сели к нему. Макарин, Хвостиков и лакей сели в другую тройку.
– Готовы, что ль? – спросил Балага.
– Пущай! – крикнул он, заматывая вокруг рук вожжи, и тройка понесла бить вниз по Никитскому бульвару.
– Тпрру! Поди, эй!… Тпрру, – только слышался крик Балаги и молодца, сидевшего на козлах. На Арбатской площади тройка зацепила карету, что то затрещало, послышался крик, и тройка полетела по Арбату.
Дав два конца по Подновинскому Балага стал сдерживать и, вернувшись назад, остановил лошадей у перекрестка Старой Конюшенной.
Молодец соскочил держать под уздцы лошадей, Анатоль с Долоховым пошли по тротуару. Подходя к воротам, Долохов свистнул. Свисток отозвался ему и вслед за тем выбежала горничная.
– На двор войдите, а то видно, сейчас выйдет, – сказала она.
Долохов остался у ворот. Анатоль вошел за горничной на двор, поворотил за угол и вбежал на крыльцо.
Гаврило, огромный выездной лакей Марьи Дмитриевны, встретил Анатоля.
– К барыне пожалуйте, – басом сказал лакей, загораживая дорогу от двери.
– К какой барыне? Да ты кто? – запыхавшимся шопотом спрашивал Анатоль.
– Пожалуйте, приказано привесть.
– Курагин! назад, – кричал Долохов. – Измена! Назад!
Долохов у калитки, у которой он остановился, боролся с дворником, пытавшимся запереть за вошедшим Анатолем калитку. Долохов последним усилием оттолкнул дворника и схватив за руку выбежавшего Анатоля, выдернул его за калитку и побежал с ним назад к тройке.


Марья Дмитриевна, застав заплаканную Соню в коридоре, заставила ее во всем признаться. Перехватив записку Наташи и прочтя ее, Марья Дмитриевна с запиской в руке взошла к Наташе.
– Мерзавка, бесстыдница, – сказала она ей. – Слышать ничего не хочу! – Оттолкнув удивленными, но сухими глазами глядящую на нее Наташу, она заперла ее на ключ и приказав дворнику пропустить в ворота тех людей, которые придут нынче вечером, но не выпускать их, а лакею приказав привести этих людей к себе, села в гостиной, ожидая похитителей.
Когда Гаврило пришел доложить Марье Дмитриевне, что приходившие люди убежали, она нахмурившись встала и заложив назад руки, долго ходила по комнатам, обдумывая то, что ей делать. В 12 часу ночи она, ощупав ключ в кармане, пошла к комнате Наташи. Соня, рыдая, сидела в коридоре.
– Марья Дмитриевна, пустите меня к ней ради Бога! – сказала она. Марья Дмитриевна, не отвечая ей, отперла дверь и вошла. «Гадко, скверно… В моем доме… Мерзавка, девчонка… Только отца жалко!» думала Марья Дмитриевна, стараясь утолить свой гнев. «Как ни трудно, уж велю всем молчать и скрою от графа». Марья Дмитриевна решительными шагами вошла в комнату. Наташа лежала на диване, закрыв голову руками, и не шевелилась. Она лежала в том самом положении, в котором оставила ее Марья Дмитриевна.
– Хороша, очень хороша! – сказала Марья Дмитриевна. – В моем доме любовникам свидания назначать! Притворяться то нечего. Ты слушай, когда я с тобой говорю. – Марья Дмитриевна тронула ее за руку. – Ты слушай, когда я говорю. Ты себя осрамила, как девка самая последняя. Я бы с тобой то сделала, да мне отца твоего жалко. Я скрою. – Наташа не переменила положения, но только всё тело ее стало вскидываться от беззвучных, судорожных рыданий, которые душили ее. Марья Дмитриевна оглянулась на Соню и присела на диване подле Наташи.
– Счастье его, что он от меня ушел; да я найду его, – сказала она своим грубым голосом; – слышишь ты что ли, что я говорю? – Она поддела своей большой рукой под лицо Наташи и повернула ее к себе. И Марья Дмитриевна, и Соня удивились, увидав лицо Наташи. Глаза ее были блестящи и сухи, губы поджаты, щеки опустились.
– Оставь… те… что мне… я… умру… – проговорила она, злым усилием вырвалась от Марьи Дмитриевны и легла в свое прежнее положение.
– Наталья!… – сказала Марья Дмитриевна. – Я тебе добра желаю. Ты лежи, ну лежи так, я тебя не трону, и слушай… Я не стану говорить, как ты виновата. Ты сама знаешь. Ну да теперь отец твой завтра приедет, что я скажу ему? А?
Опять тело Наташи заколебалось от рыданий.
– Ну узнает он, ну брат твой, жених!
– У меня нет жениха, я отказала, – прокричала Наташа.
– Всё равно, – продолжала Марья Дмитриевна. – Ну они узнают, что ж они так оставят? Ведь он, отец твой, я его знаю, ведь он, если его на дуэль вызовет, хорошо это будет? А?
– Ах, оставьте меня, зачем вы всему помешали! Зачем? зачем? кто вас просил? – кричала Наташа, приподнявшись на диване и злобно глядя на Марью Дмитриевну.
– Да чего ж ты хотела? – вскрикнула опять горячась Марья Дмитриевна, – что ж тебя запирали что ль? Ну кто ж ему мешал в дом ездить? Зачем же тебя, как цыганку какую, увозить?… Ну увез бы он тебя, что ж ты думаешь, его бы не нашли? Твой отец, или брат, или жених. А он мерзавец, негодяй, вот что!
– Он лучше всех вас, – вскрикнула Наташа, приподнимаясь. – Если бы вы не мешали… Ах, Боже мой, что это, что это! Соня, за что? Уйдите!… – И она зарыдала с таким отчаянием, с каким оплакивают люди только такое горе, которого они чувствуют сами себя причиной. Марья Дмитриевна начала было опять говорить; но Наташа закричала: – Уйдите, уйдите, вы все меня ненавидите, презираете. – И опять бросилась на диван.
Марья Дмитриевна продолжала еще несколько времени усовещивать Наташу и внушать ей, что всё это надо скрыть от графа, что никто не узнает ничего, ежели только Наташа возьмет на себя всё забыть и не показывать ни перед кем вида, что что нибудь случилось. Наташа не отвечала. Она и не рыдала больше, но с ней сделались озноб и дрожь. Марья Дмитриевна подложила ей подушку, накрыла ее двумя одеялами и сама принесла ей липового цвета, но Наташа не откликнулась ей. – Ну пускай спит, – сказала Марья Дмитриевна, уходя из комнаты, думая, что она спит. Но Наташа не спала и остановившимися раскрытыми глазами из бледного лица прямо смотрела перед собою. Всю эту ночь Наташа не спала, и не плакала, и не говорила с Соней, несколько раз встававшей и подходившей к ней.
На другой день к завтраку, как и обещал граф Илья Андреич, он приехал из Подмосковной. Он был очень весел: дело с покупщиком ладилось и ничто уже не задерживало его теперь в Москве и в разлуке с графиней, по которой он соскучился. Марья Дмитриевна встретила его и объявила ему, что Наташа сделалась очень нездорова вчера, что посылали за доктором, но что теперь ей лучше. Наташа в это утро не выходила из своей комнаты. С поджатыми растрескавшимися губами, сухими остановившимися глазами, она сидела у окна и беспокойно вглядывалась в проезжающих по улице и торопливо оглядывалась на входивших в комнату. Она очевидно ждала известий об нем, ждала, что он сам приедет или напишет ей.
Когда граф взошел к ней, она беспокойно оборотилась на звук его мужских шагов, и лицо ее приняло прежнее холодное и даже злое выражение. Она даже не поднялась на встречу ему.