Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

<math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math>

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Применение

Производная сложно-показательной функции

Пусть <math>f(x)=u(x)^{g(x)}</math> (для краткости <math>f=u^{g}</math>, где u и g - функции).

Тогда <math>\ln f = \ln u^g =g\ln u</math>, <math>(\ln f)' = (g\ln u)'=g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u}</math>. С другой стороны, <math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math>, т.е. <math>f' = f\cdot(\ln f)'</math>.

Окончательно имеем <math>(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})</math>

Производная произведения функций

Пусть задана функция <math>f(x) = \prod^{n}_{i=1} g_i(x)</math> (для краткости <math>f = \prod^{n}_{i=1} g_i</math>).

Так как <math>f' = f\cdot(\ln f)'= \prod^{n}_{i=1} g_i (\ln \prod^{n}_{j=1} g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i (\sum^{n}_{j=1} \ln g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} (\ln g_j)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}</math>.

Окончательно получаем: <math>f' = (\prod^{n}_{i=1} g_i)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}=f\cdot\sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}</math>.

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если <math>f = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n</math>, то <math>f' = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \left ( \frac{g_1'}{g_1}+\frac{g_2'}{g_2}+\ldots+\frac{g_n'}{g_n} \right )</math>

Раскрыв скобки, получим: <math>f' = g_1'\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n + g_1\cdot g_2'\cdot \ldots\cdot g_n + \ldots + g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n'</math>

В частности, если <math>f=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}</math>, то <math>f'=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}\cdot \left( \alpha_1\cdot\frac{u_1'}{u_1}+\alpha_2\cdot\frac{u_2'}{u_2}+\ldots+\alpha_m\cdot\frac{u_m'}{u_m} - \beta_1\cdot\frac{v_1'}{v_1}-\beta_2\cdot\frac{v_2'}{v_2}-\ldots-\beta_n\cdot\frac{v_n'}{v_n} \right)</math>

Пример

Найдем производную, <math>\frac{df}{dx}</math> от функции <math>f(x) = x^x</math>:

<math>\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)</math>

См. также

• Производная

Отрывок, характеризующий Логарифмическая производная

– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.