Логарифм

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Логарифмические таблицы»)
Перейти к: навигация, поиск

Логари́фм числа <math>b</math> по основанию <math>a</math> (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание <math>a</math>, чтобы получить число <math>b</math>. Обозначение: <math>\log_a b</math>, произносится: «логарифм <math>b</math> по основанию <math>a</math>».

Из определения следует, что нахождение <math>x=\log_a b</math> равносильно решению уравнения <math>a^x=b</math>. Например, <math>\log_2 8 = 3</math>, потому что <math>2^3 = 8</math>.

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа <math>a, b</math> чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов[⇨].

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция <math>y=\log_a x</math> незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями <math>2</math> (двоичный), <math>e</math> (натуральный логарифм) и <math>10</math> (десятичный).





Содержание

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа <math>x=\log_a b</math> по определению есть решение уравнения <math>a^x=b</math>. Случай <math>a=1</math> интереса не представляет, поскольку тогда при <math>b \ne 1</math> это уравнение не имеет решения, а при <math>b=1</math> любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном <math>a</math>; кроме того, значение показательной функции <math>a^x</math> всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного <math>b</math>. Окончательно получаем[5]:

Вещественный логарифм <math>\log_a b</math> имеет смысл при <math>a>0, a \ne 1, b>0</math>


Как известно, показательная функция <math>y=a^x</math> (при выполнении указанных условий для <math>a</math>) существует, монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа[6]. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:

Свойства

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[7]:

<math>a^{\log_a b} = b</math>

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если <math>\log_a b=\log_a c</math>, то <math>a^{\log_a b} = a^{\log_a c}</math>, откуда, согласно основному тождеству: <math>b=c</math>.

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

<math>\log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.</math>

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны[8]:

Формула Пример
Произведение <math> \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)</math> <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5</math>
Частное от деления <math>\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y)</math> <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
Степень <math>\log_a(x^p) = p \log_a (x)</math> <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
Корень <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p</math> <math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

<math>\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|</math>
<math>\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|</math>

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

<math> \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)</math>
<math> \log_a |x_1 x_2 \dots x_n| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2| + \dots + \log_a |x_n|</math>

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел <math>x, y</math> с помощью логарифмических таблиц[⇨] производилось по следующему алгоритму:

  1. найти в таблицах логарифмы чисел <math>x, y</math>;
  2. сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения <math>x \cdot y</math>;
  3. по логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Замена основания логарифма

Логарифм <math>\log_a b</math> по основанию <math>a</math> можно преобразовать[5] в логарифм по другому основанию <math>c</math>:

<math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>

Следствие (при <math>b=c</math> ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

<math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

См. пример такой перестановки в разделе десятичный логарифм.

Коэффициент <math>\frac{1}{\log_c a} = \log_a c</math> в формуле замены основания называется модулем перехода от одного основания к другому[9].

Неравенства

Значение логарифма <math>\log_a{b}</math> положительно тогда и только тогда, когда числа <math>a, b</math> лежат по одну сторону от единицы (то есть либо оба больше единицы, либо оба меньше). Если же <math>a, b</math> лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен[10].

Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный[10].

Другие тождества и свойства

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

<math>{\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}</math>

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание <math>a^q</math> на <math>a</math> по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

<math>\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b</math>

Ещё одно полезное тождество:

<math>c^{\log_a b}=b^{\log_a c}</math>

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию <math>a</math> совпадают (равны <math>\log_a b \cdot \log_a c</math>), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны.

Логарифмическая функция

Основные характеристики

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию <math>y=\log_a x</math>. Она определена при <math>a>0;\ a \ne 1; x>0</math>. Область значений: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>. Эта кривая часто называется логарифмикой[11]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси <math>y</math>; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции <math>y=a^x</math>, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при <math>a > 1</math> (см. далее графики) и строго убывающей при <math>0 < a < 1</math>. График любой логарифмической функции проходит через точку <math>(1;0)</math>. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат (<math>x=0</math>) является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

<math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty</math> при <math>a > 1</math>;
<math>\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty</math> при <math>0 < a < 1</math>.

Производная логарифмической функции равна:

<math>\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \log_e a} = \frac {1} {x \cdot \ln a}</math>

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения[12]:

<math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>

Натуральный логарифм

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:

<math>\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}</math>

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от <math>x=1</math> до <math>x=b</math>, мы получаем:

<math>\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}</math>

Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой <math>y=\frac {1}{x}</math> для указанного интервала x.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

<math>\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C </math>

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции <math>f(x)</math>:

<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}</math>
Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:

{{{2}}} (Ряд 1)

Это ряд сходится при <math>-1 < x \leqslant 1</math>. В частности:

{{{2}}}

Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

{{{2}}} (Ряд 2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы[13].

Десятичный логарифм

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: <math>\lg x</math>) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть <math>[\lg x]</math> логарифма числа <math>x</math> легко определить[14]:

  • Если <math>x \geqslant 1</math>, то <math>[\lg x]</math> на 1 меньше числа цифр в целой части числа <math>x</math>. Например, сразу очевидно, что <math>\lg 345</math> находится в промежутке <math>(2,3)</math>.
  • Если <math>0<x<1</math>, то ближайшее к <math>\lg x</math> целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в <math>x</math> перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, <math>\lg 0{,}0014</math> находится в интервале <math>(-3,-2)</math>.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на <math>n</math> разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на <math>n</math>. Например, <math>\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3</math>. Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от <math>1</math> до <math>10</math>[14].

Связь с натуральным логарифмом[15]:

<math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x, \quad \ln x = \frac {\lg x} {\lg e} = \ln 10 \cdot \lg x = (2{,}30259\dots) \lg x</math>
<math>\lg x \approx 0{,}43429\ \ln x, \quad \lg x = \frac {\ln x} {\ln 10} = \lg e \cdot \ln x = (0{,}43429\dots) \ln x</math>

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[16]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Предельные соотношения

Приведём несколько полезных пределов, содержащих логарифмы[17]:

<math>\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}</math>
<math>\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0) </math>
<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0) </math>
<math>\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right)
             = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)</math>
<math>\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h</math>

Другие свойства

  • Из теоремы Гельфонда следует, что если <math>a, b</math> — алгебраические числа (<math>a \ne 1</math>), то <math>\log_a b</math> либо рационален, либо трансцендентен. При этом логарифм рационален и равен <math>p \over q</math> только в том случае[18], когда числа <math>a, b</math> связаны соотношением <math>a^p=b^q</math>.

Комплексный логарифм

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается <math>\mathrm{Ln}\, z</math> и определяется как решение <math>w</math> уравнения <math>e^w=z</math> (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, <math>e^{\pi i}=-1</math>; однако также <math>e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1</math>. Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом <math>2 \pi</math>)[19], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция <math>w=\mathrm{Ln}\,z</math> является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое <math>z</math> можно представить в показательной форме:

<math>z=r \cdot e^{i \varphi}</math>

Тогда <math>\mathrm{Ln}\,z</math> находится по формуле[20]:

<math>\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)</math>

Здесь <math>\ln\,r= \ln\,|z|</math> — вещественный логарифм, <math>k</math> — произвольное целое число. Отсюда вытекает:

Комплексный логарифм <math>\mathrm{Ln}\, z</math> существует для любого <math>z \ne 0</math>, и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное <math>2\pi</math>.

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале <math>(-\pi, \pi]</math>. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма[11]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается <math>\ln\,z</math>. Иногда через <math>\ln\, z</math> также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если <math>z</math> — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

<math>\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)</math>

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к <math>-\infty</math>.

Логарифм отрицательного числа находится по формуле[20]:

<math>\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) </math>

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма (<math>\ln</math>) и общее его выражение (<math>\mathrm{Ln}</math>) для некоторых аргументов:

<math>\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i</math>
<math>\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi</math>
<math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi</math>

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

<math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math> — явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (<math>k=-1</math>). Причина ошибки — неосторожное использование свойства <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math>, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью[21]. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при <math>z=1</math>. Особые точки: <math>z=0</math> и <math>z=\infty</math> (точки разветвления бесконечного порядка)[22].

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей[23] для комплексной плоскости без точки <math>0</math>.

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая <math>\Gamma</math> начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке <math>w</math> кривой <math>\Gamma</math> можно определить по формуле[22]:

<math>\ln w = \int\limits_\Gamma {du \over u}</math>

Если <math>\Gamma</math> — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

<math>\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma</math>

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на <math>2\pi</math>. Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом <math>(-\pi, \pi]</math>. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой <math>\Gamma</math> пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции[22] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма[19]:

<math>\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}</math>

Для любой окружности <math>S</math>, охватывающей точку <math>0</math>:

<math>\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i</math>

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: ряда 1 или ряда 2, — обобщённых на случай комплексного аргумента. Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями[24][25]:

<math>\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})</math>
<math>\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})</math>
<math>\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>
<math>\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом[25]:

<math>\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})</math> — обратный гиперболический синус
<math>\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right)</math> — обратный гиперболический косинус
<math>\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)</math> — обратный гиперболический тангенс
<math>\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)</math> — обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Предшественники

Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду[26]), что при перемножении степеней их показатели складываются[27]: <math>a^b \cdot a^c = a^{b+c}</math>. Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4[28].

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной[26]. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.

Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» (1544) Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи[29][30]. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным[31] (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке).

Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году[32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты[33]; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[34]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением[35]:

<math> \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M}</math>,

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию <math>\operatorname{LogNap}(x)</math>, то она связана с натуральным логарифмом следующим образом[35]:

<math>\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))</math>

Очевидно, <math>\operatorname{LogNap}(M) = 0</math>, то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для <math>x<M</math> выполняется. <math>\operatorname{LogNap}(0) = \infty</math>.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:

<math>\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)</math>

Дальнейшее развитие

Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака[36]. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)[37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил[38][39].

Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой <math>y=\frac {1}{x}</math> меняется по логарифмическому закону[40]. В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд[41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:

  1. Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел[42].
  2. Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений[43].
  3. Начало работы с бесконечными рядами[41].
  4. Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
  5. Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log: <math>\log_a b</math>. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — <math>\lg, \; \ln</math> для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века[44].

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером[36]. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма[45]. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Расширение логарифма на комплексную область

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма[46]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить <math>\log(-x) = \log(x)</math>, в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число[46]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной[47]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции[48], определяемой как интеграл от <math>\frac{1}{z}</math>. Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм[49].

Некоторые практические применения

Логарифмические зависимости в науке и природе

Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие, то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. ниже такие примеры, как рекурсивные алгоритмы, фракталы или раковины моллюсков. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках.

Теория чисел

Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам[50]:

  1. Число простых чисел в интервале от 1 до <math>n</math> приблизительно равно <math>\frac{n}{\ln n}</math>.
  2. k-е простое число приблизительно равно <math>k \ln k</math>.

Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.

Математический анализ

Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

<math>\int {\operatorname{tg} x} \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln |x+\sqrt{x^2+a}| + C</math>

Теория вероятностей и статистика

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение[51] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных[52].

Закон Бенфорда («закон первой цифры») описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин.

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия[53].

Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.

Информатика и вычислительная математика

В информатике: единица измерения информации (бит). Например, для хранения в компьютере натурального числа <math>N</math> (в обычном для компьютера двоичном формате) понадобится <math>\log_2 N + 1</math> битов.

Информационная энтропия — мера количества информации.

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»[54] — таких как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье и т. п.

Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля и знак, и скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается[55]. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность[56][57].

Фракталы и размерность

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала[58]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

<math>\frac {\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58</math>

Механика и физика

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Химия и физическая химия

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).

Теория музыки

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для <math>\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585</math>. Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[59].

Психология и физиология

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула[60] — громкости звука[61], яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется[62].

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хикса[63].

Биология

Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали[64] — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен:

Разное

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований[65].

Логарифмическая шкала

Неравномерная шкала десятичных логарифмов используется во многих областях науки. Для обеспечения вычислений она наносится на логарифмические линейки. Другие примеры:

Логарифмическая шкала особенно удобна в тех случаях, когда уровни измеряемой величины образуют геометрическую прогрессию, поскольку тогда их логарифмы распределены с постоянным шагом. Например, 12 полутонов классической октавы образуют (приближённо) такую прогрессию[59] со знаменателем <math>\sqrt[12]{2} \approx 1{,}059</math>. Аналогично, каждый уровень шкалы Рихтера соответствует в 10 раз большей энергии, чем предыдущий уровень. Даже при отсутствии геометрической прогрессии логарифмическая шкала может пригодиться для компактного представления широкого диапазона значений измеряемой величины.

Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел «Антилогарифмы») выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)[76].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[77]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[78]:

  1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
  3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с тригонометрическими функциями.
  4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
  5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
  6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Логарифмическая линейка

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера[79]. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций[80]. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Вариации и обобщения

Логарифм как решение уравнения <math>a^x=b</math> можно определить не только для вещественных и комплексных чисел.

См. также

Напишите отзыв о статье "Логарифм"

Примечания

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 186.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 184-186.
  4. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
  5. 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
  6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
  7. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
  8. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
  9. Элементарная математика, 1976, с. 93f.
  10. 1 2 Элементарная математика, 1976, с. 89.
  11. 1 2 Логарифмическая функция. // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 159-160.
  13. Sasaki T., Kanada Y. [ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)] (англ.) // Journal of Information Processing. — 1982. — Vol. 5, fasc. 4. — P. 247–250.
  14. 1 2 Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
  15. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
  16. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
  17. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.
  18. Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. 10.
  19. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522.
  20. 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623.
  21. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92-94.
  22. 1 2 3 Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100.
  23. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. [www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm Наглядная топология]. — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21).
  24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526.
  25. 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624.
  26. 1 2 Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 9.
  27. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 206.
  28. Gupta, R. C. (2000), [books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false "History of Mathematics in India"], in Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, с. 329 
  29. История математики, том II, 1970, с. 54-55.
  30. Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), [books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel Precalculus mathematics], New York: Holt, Rinehart, Winston, с. 182, ISBN 978-0-03-077670-0, <books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel> 
  31. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 210.
  32. Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 13.
  33. История математики, том II, 1970, с. 56.
  34. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 40. — 224 с.
  35. 1 2 История математики, том II, 1970, с. 59.
  36. 1 2 История математики, том II, 1970, с. 61.
  37. Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 39.
  38. История математики, том II, 1970, с. 63.
  39. Charles Hutton. [books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y#v=onepage&q=Speidell%20logarithm&f=false Mathematical Tables.] London, 1811, p. 30.
  40. История математики, том II, 1970, с. 133.
  41. 1 2 Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 52.
  42. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 51, 286, 352.
  43. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 213, 217.
  44. Cajori. Florian. [books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+ A History of Mathematics, 5th ed]. — AMS Bookstore. — P. 152. — ISBN 0821821024.
  45. Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 25.
  46. 1 2 История математики, том III, 1972, с. 325-328.
  47. Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230-231.
  48. Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122-123.
  49. Клейн Ф. [ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm Элементарная математика с точки зрения высшей]. — М.: Наука, 1987. — Т. II. Геометрия. — С. 159-161. — 416 с.
  50. Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  51. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Log-SeriesDistribution.html Log-Series Distribution] (англ.). MathWorld. Проверено 26 апреля 2012.
  52. Логарифмически нормальное распределение // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  53. Максимального правдоподобия метод // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  54. Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing. — New York: Addison-Wesley, 2004. — P. 143. — ISBN 978-0-321-11784-7.
  55. N. G. Kingsburg, P. J. W. Rayner (Jan. 28, 1971). «[scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=ELLEAK000007000002000056000001 Digital filtering using logarithmic arithmetic]». Electronics Letters 7: 55.
  56. R. C. Ismail and J. N. Coleman (July 2011). «ROM-less LNS». 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH): 43–51. DOI:10.1109/ARITH.2011.15.
  57. Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk (June 2010). «[ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=4042464 Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration]». IEEE Conference on Field Programmable Technology: 337. DOI:10.1109/FPT.2006.270342.
  58. Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.
  59. 1 2 3 Шилов Г. Е. [www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы.] М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.
  60. Головин С. Ю. [vocabulary.ru/dictionary/25/word/zakon-vebera-fehnera ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА // Словарь практического психолога]. Проверено 17 апреля 2012. [www.webcitation.org/67yuMtdPX Архивировано из первоисточника 28 мая 2012].
  61. Ирина Алдошина. [rus.625-net.ru/audioproducer/1999/06/2.htm Основы психоакустики] // Звукорежиссёр. — 1999. — Вып. 6.
  62. [enc-dic.com/enc_psy/Fittsa-Zakon-29473.html Закон Фиттса // Психологическая энциклопедия]. Проверено 17 апреля 2012. [www.webcitation.org/67yuO0iyM Архивировано из первоисточника 28 мая 2012].
  63. Welford, A. T. Fundamentals of skill. — London: Methuen, 1968. — P. 61. — ISBN 978-0-416-03000-6.
  64. [reslib.com/book/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj#327 Логарифмическая спираль] // [reslib.com/card/Matematicheskij_enciklopedicheskij_slovarj Математический энциклопедический словарь] / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 328. — 847 с. — ISBN 5-85270-278-1.
  65. Харин А. А. [elibrary.udsu.ru/xmlui/bitstream/handle/123456789/8185/2011348.pdf?sequence=1 Организация и проведение соревнований. Методическое пособие]. — Ижевск: УдГУ, 2011. — С. 27.
  66. Децибел // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.</span>
  67. [www.edu.nstu.ru/courses/msos/ Учебно-методический комплекс: Методы и средства обработки сигналов]. Проверено 28 апреля 2012. [www.webcitation.org/65YVVRjy7 Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012].
  68. Звёздная величина // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.</span>
  69. Бейтс Р. Определение рН. Теория и практика. — 2 изд. — Л.: Химия, 1972.
  70. [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_geo/7041/Рихтера Рихтера шкала]. География. Современная иллюстрированная энциклопедия. — М.: Росмэн. Под редакцией проф. А. П. Горкина. 2006. [www.webcitation.org/619JZufsT Архивировано из первоисточника 23 августа 2011].
  71. Оптическая плотность // Фотокинотехника: Энциклопедия / Главный редактор Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981.
  72. Фотографическая широта // Фотокинотехника: Энциклопедия / Главный редактор Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981.
  73. Кулагин С. В. Выдержка // Фотокинотехника: Энциклопедия / Главный редактор Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981.
  74. Шеин Е. В. Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ, 2005. — 432 с. ISBN 5-211-05021-5.
  75. [www.toehelp.ru/theory/tau/lecture06.htm Понятие частотных характеристик]. Проверено 28 апреля 2012. [www.webcitation.org/67yuQikQO Архивировано из первоисточника 28 мая 2012].
  76. История математики, том II, 1970, с. 62.
  77. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
  78. [dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104256/Логарифмические Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия].
  79. История математики, том II, 1970, с. 65-66.
  80. Березин С. И. Счётная логарифмическая линейка. — М.: Машиностроение, 1968.
  81. David Eberly. [www.geometrictools.com/Documentation/Quaternions.pdf Quaternion algebra and calculus] (англ.) (March 2, 1999). Проверено 12 апреля 2012. [www.webcitation.org/67yuSmIjh Архивировано из первоисточника 28 мая 2012].
  82. Виноградов И. М. [math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел]. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. — С. 97. — 180 с.
  83. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
  84. [planetmath.org/encyclopedia/GeneralPAdicPower.html p-adic exponential and p-adic logarithm] (англ.) // PlanetMath.org.
  85. </ol>

Литература

В Викисловаре есть статья «логарифм»
Теория логарифмов
История логарифмов


Отрывок, характеризующий Логарифм

– C'est un sujet nerveux et bilieux, – сказал Ларрей, – il n'en rechappera pas. [Это человек нервный и желчный, он не выздоровеет.]
Князь Андрей, в числе других безнадежных раненых, был сдан на попечение жителей.


В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.
«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
Но это была она в новом, незнакомом еще ему, сшитом без него платье. Все оставили его, и он побежал к ней. Когда они сошлись, она упала на его грудь рыдая. Она не могла поднять лица и только прижимала его к холодным снуркам его венгерки. Денисов, никем не замеченный, войдя в комнату, стоял тут же и, глядя на них, тер себе глаза.
– Василий Денисов, друг вашего сына, – сказал он, рекомендуясь графу, вопросительно смотревшему на него.
– Милости прошу. Знаю, знаю, – сказал граф, целуя и обнимая Денисова. – Николушка писал… Наташа, Вера, вот он Денисов.
Те же счастливые, восторженные лица обратились на мохнатую фигуру Денисова и окружили его.
– Голубчик, Денисов! – визгнула Наташа, не помнившая себя от восторга, подскочила к нему, обняла и поцеловала его. Все смутились поступком Наташи. Денисов тоже покраснел, но улыбнулся и взяв руку Наташи, поцеловал ее.
Денисова отвели в приготовленную для него комнату, а Ростовы все собрались в диванную около Николушки.
Старая графиня, не выпуская его руки, которую она всякую минуту целовала, сидела с ним рядом; остальные, столпившись вокруг них, ловили каждое его движенье, слово, взгляд, и не спускали с него восторженно влюбленных глаз. Брат и сестры спорили и перехватывали места друг у друга поближе к нему, и дрались за то, кому принести ему чай, платок, трубку.
Ростов был очень счастлив любовью, которую ему выказывали; но первая минута его встречи была так блаженна, что теперешнего его счастия ему казалось мало, и он всё ждал чего то еще, и еще, и еще.
На другое утро приезжие спали с дороги до 10 го часа.
В предшествующей комнате валялись сабли, сумки, ташки, раскрытые чемоданы, грязные сапоги. Вычищенные две пары со шпорами были только что поставлены у стенки. Слуги приносили умывальники, горячую воду для бритья и вычищенные платья. Пахло табаком и мужчинами.
– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
– Николенька, вставай! – опять послышался голос Наташи у двери.
– Сейчас!
В это время Петя, в первой комнате, увидав и схватив сабли, и испытывая тот восторг, который испытывают мальчики, при виде воинственного старшего брата, и забыв, что сестрам неприлично видеть раздетых мужчин, отворил дверь.
– Это твоя сабля? – кричал он. Девочки отскочили. Денисов с испуганными глазами спрятал свои мохнатые ноги в одеяло, оглядываясь за помощью на товарища. Дверь пропустила Петю и опять затворилась. За дверью послышался смех.
– Николенька, выходи в халате, – проговорил голос Наташи.
– Это твоя сабля? – спросил Петя, – или это ваша? – с подобострастным уважением обратился он к усатому, черному Денисову.
Ростов поспешно обулся, надел халат и вышел. Наташа надела один сапог с шпорой и влезала в другой. Соня кружилась и только что хотела раздуть платье и присесть, когда он вышел. Обе были в одинаковых, новеньких, голубых платьях – свежие, румяные, веселые. Соня убежала, а Наташа, взяв брата под руку, повела его в диванную, и у них начался разговор. Они не успевали спрашивать друг друга и отвечать на вопросы о тысячах мелочей, которые могли интересовать только их одних. Наташа смеялась при всяком слове, которое он говорил и которое она говорила, не потому, чтобы было смешно то, что они говорили, но потому, что ей было весело и она не в силах была удерживать своей радости, выражавшейся смехом.
– Ах, как хорошо, отлично! – приговаривала она ко всему. Ростов почувствовал, как под влиянием жарких лучей любви, в первый раз через полтора года, на душе его и на лице распускалась та детская улыбка, которою он ни разу не улыбался с тех пор, как выехал из дома.
– Нет, послушай, – сказала она, – ты теперь совсем мужчина? Я ужасно рада, что ты мой брат. – Она тронула его усы. – Мне хочется знать, какие вы мужчины? Такие ли, как мы? Нет?
– Отчего Соня убежала? – спрашивал Ростов.
– Да. Это еще целая история! Как ты будешь говорить с Соней? Ты или вы?
– Как случится, – сказал Ростов.
– Говори ей вы, пожалуйста, я тебе после скажу.
– Да что же?
– Ну я теперь скажу. Ты знаешь, что Соня мой друг, такой друг, что я руку сожгу для нее. Вот посмотри. – Она засучила свой кисейный рукав и показала на своей длинной, худой и нежной ручке под плечом, гораздо выше локтя (в том месте, которое закрыто бывает и бальными платьями) красную метину.
– Это я сожгла, чтобы доказать ей любовь. Просто линейку разожгла на огне, да и прижала.
Сидя в своей прежней классной комнате, на диване с подушечками на ручках, и глядя в эти отчаянно оживленные глаза Наташи, Ростов опять вошел в тот свой семейный, детский мир, который не имел ни для кого никакого смысла, кроме как для него, но который доставлял ему одни из лучших наслаждений в жизни; и сожжение руки линейкой, для показания любви, показалось ему не бесполезно: он понимал и не удивлялся этому.
– Так что же? только? – спросил он.
– Ну так дружны, так дружны! Это что, глупости – линейкой; но мы навсегда друзья. Она кого полюбит, так навсегда; а я этого не понимаю, я забуду сейчас.
– Ну так что же?
– Да, так она любит меня и тебя. – Наташа вдруг покраснела, – ну ты помнишь, перед отъездом… Так она говорит, что ты это всё забудь… Она сказала: я буду любить его всегда, а он пускай будет свободен. Ведь правда, что это отлично, благородно! – Да, да? очень благородно? да? – спрашивала Наташа так серьезно и взволнованно, что видно было, что то, что она говорила теперь, она прежде говорила со слезами.
Ростов задумался.
– Я ни в чем не беру назад своего слова, – сказал он. – И потом, Соня такая прелесть, что какой же дурак станет отказываться от своего счастия?
– Нет, нет, – закричала Наташа. – Мы про это уже с нею говорили. Мы знали, что ты это скажешь. Но это нельзя, потому что, понимаешь, ежели ты так говоришь – считаешь себя связанным словом, то выходит, что она как будто нарочно это сказала. Выходит, что ты всё таки насильно на ней женишься, и выходит совсем не то.
Ростов видел, что всё это было хорошо придумано ими. Соня и вчера поразила его своей красотой. Нынче, увидав ее мельком, она ему показалась еще лучше. Она была прелестная 16 тилетняя девочка, очевидно страстно его любящая (в этом он не сомневался ни на минуту). Отчего же ему было не любить ее теперь, и не жениться даже, думал Ростов, но теперь столько еще других радостей и занятий! «Да, они это прекрасно придумали», подумал он, «надо оставаться свободным».
– Ну и прекрасно, – сказал он, – после поговорим. Ах как я тебе рад! – прибавил он.
– Ну, а что же ты, Борису не изменила? – спросил брат.
– Вот глупости! – смеясь крикнула Наташа. – Ни об нем и ни о ком я не думаю и знать не хочу.
– Вот как! Так ты что же?
– Я? – переспросила Наташа, и счастливая улыбка осветила ее лицо. – Ты видел Duport'a?
– Нет.
– Знаменитого Дюпора, танцовщика не видал? Ну так ты не поймешь. Я вот что такое. – Наташа взяла, округлив руки, свою юбку, как танцуют, отбежала несколько шагов, перевернулась, сделала антраша, побила ножкой об ножку и, став на самые кончики носков, прошла несколько шагов.
– Ведь стою? ведь вот, – говорила она; но не удержалась на цыпочках. – Так вот я что такое! Никогда ни за кого не пойду замуж, а пойду в танцовщицы. Только никому не говори.
Ростов так громко и весело захохотал, что Денисову из своей комнаты стало завидно, и Наташа не могла удержаться, засмеялась с ним вместе. – Нет, ведь хорошо? – всё говорила она.
– Хорошо, за Бориса уже не хочешь выходить замуж?
Наташа вспыхнула. – Я не хочу ни за кого замуж итти. Я ему то же самое скажу, когда увижу.
– Вот как! – сказал Ростов.
– Ну, да, это всё пустяки, – продолжала болтать Наташа. – А что Денисов хороший? – спросила она.
– Хороший.
– Ну и прощай, одевайся. Он страшный, Денисов?
– Отчего страшный? – спросил Nicolas. – Нет. Васька славный.
– Ты его Васькой зовешь – странно. А, что он очень хорош?
– Очень хорош.
– Ну, приходи скорей чай пить. Все вместе.
И Наташа встала на цыпочках и прошлась из комнаты так, как делают танцовщицы, но улыбаясь так, как только улыбаются счастливые 15 летние девочки. Встретившись в гостиной с Соней, Ростов покраснел. Он не знал, как обойтись с ней. Вчера они поцеловались в первую минуту радости свидания, но нынче они чувствовали, что нельзя было этого сделать; он чувствовал, что все, и мать и сестры, смотрели на него вопросительно и от него ожидали, как он поведет себя с нею. Он поцеловал ее руку и назвал ее вы – Соня . Но глаза их, встретившись, сказали друг другу «ты» и нежно поцеловались. Она просила своим взглядом у него прощения за то, что в посольстве Наташи она смела напомнить ему о его обещании и благодарила его за его любовь. Он своим взглядом благодарил ее за предложение свободы и говорил, что так ли, иначе ли, он никогда не перестанет любить ее, потому что нельзя не любить ее.
– Как однако странно, – сказала Вера, выбрав общую минуту молчания, – что Соня с Николенькой теперь встретились на вы и как чужие. – Замечание Веры было справедливо, как и все ее замечания; но как и от большей части ее замечаний всем сделалось неловко, и не только Соня, Николай и Наташа, но и старая графиня, которая боялась этой любви сына к Соне, могущей лишить его блестящей партии, тоже покраснела, как девочка. Денисов, к удивлению Ростова, в новом мундире, напомаженный и надушенный, явился в гостиную таким же щеголем, каким он был в сражениях, и таким любезным с дамами и кавалерами, каким Ростов никак не ожидал его видеть.


Вернувшись в Москву из армии, Николай Ростов был принят домашними как лучший сын, герой и ненаглядный Николушка; родными – как милый, приятный и почтительный молодой человек; знакомыми – как красивый гусарский поручик, ловкий танцор и один из лучших женихов Москвы.
Знакомство у Ростовых была вся Москва; денег в нынешний год у старого графа было достаточно, потому что были перезаложены все имения, и потому Николушка, заведя своего собственного рысака и самые модные рейтузы, особенные, каких ни у кого еще в Москве не было, и сапоги, самые модные, с самыми острыми носками и маленькими серебряными шпорами, проводил время очень весело. Ростов, вернувшись домой, испытал приятное чувство после некоторого промежутка времени примеривания себя к старым условиям жизни. Ему казалось, что он очень возмужал и вырос. Отчаяние за невыдержанный из закона Божьего экзамен, занимание денег у Гаврилы на извозчика, тайные поцелуи с Соней, он про всё это вспоминал, как про ребячество, от которого он неизмеримо был далек теперь. Теперь он – гусарский поручик в серебряном ментике, с солдатским Георгием, готовит своего рысака на бег, вместе с известными охотниками, пожилыми, почтенными. У него знакомая дама на бульваре, к которой он ездит вечером. Он дирижировал мазурку на бале у Архаровых, разговаривал о войне с фельдмаршалом Каменским, бывал в английском клубе, и был на ты с одним сорокалетним полковником, с которым познакомил его Денисов.
Страсть его к государю несколько ослабела в Москве, так как он за это время не видал его. Но он часто рассказывал о государе, о своей любви к нему, давая чувствовать, что он еще не всё рассказывает, что что то еще есть в его чувстве к государю, что не может быть всем понятно; и от всей души разделял общее в то время в Москве чувство обожания к императору Александру Павловичу, которому в Москве в то время было дано наименование ангела во плоти.
В это короткое пребывание Ростова в Москве, до отъезда в армию, он не сблизился, а напротив разошелся с Соней. Она была очень хороша, мила, и, очевидно, страстно влюблена в него; но он был в той поре молодости, когда кажется так много дела, что некогда этим заниматься, и молодой человек боится связываться – дорожит своей свободой, которая ему нужна на многое другое. Когда он думал о Соне в это новое пребывание в Москве, он говорил себе: Э! еще много, много таких будет и есть там, где то, мне еще неизвестных. Еще успею, когда захочу, заняться и любовью, а теперь некогда. Кроме того, ему казалось что то унизительное для своего мужества в женском обществе. Он ездил на балы и в женское общество, притворяясь, что делал это против воли. Бега, английский клуб, кутеж с Денисовым, поездка туда – это было другое дело: это было прилично молодцу гусару.
В начале марта, старый граф Илья Андреич Ростов был озабочен устройством обеда в английском клубе для приема князя Багратиона.
Граф в халате ходил по зале, отдавая приказания клубному эконому и знаменитому Феоктисту, старшему повару английского клуба, о спарже, свежих огурцах, землянике, теленке и рыбе для обеда князя Багратиона. Граф, со дня основания клуба, был его членом и старшиною. Ему было поручено от клуба устройство торжества для Багратиона, потому что редко кто умел так на широкую руку, хлебосольно устроить пир, особенно потому, что редко кто умел и хотел приложить свои деньги, если они понадобятся на устройство пира. Повар и эконом клуба с веселыми лицами слушали приказания графа, потому что они знали, что ни при ком, как при нем, нельзя было лучше поживиться на обеде, который стоил несколько тысяч.
– Так смотри же, гребешков, гребешков в тортю положи, знаешь! – Холодных стало быть три?… – спрашивал повар. Граф задумался. – Нельзя меньше, три… майонез раз, – сказал он, загибая палец…
– Так прикажете стерлядей больших взять? – спросил эконом. – Что ж делать, возьми, коли не уступают. Да, батюшка ты мой, я было и забыл. Ведь надо еще другую антре на стол. Ах, отцы мои! – Он схватился за голову. – Да кто же мне цветы привезет?
– Митинька! А Митинька! Скачи ты, Митинька, в подмосковную, – обратился он к вошедшему на его зов управляющему, – скачи ты в подмосковную и вели ты сейчас нарядить барщину Максимке садовнику. Скажи, чтобы все оранжереи сюда волок, укутывал бы войлоками. Да чтобы мне двести горшков тут к пятнице были.
Отдав еще и еще разные приказания, он вышел было отдохнуть к графинюшке, но вспомнил еще нужное, вернулся сам, вернул повара и эконома и опять стал приказывать. В дверях послышалась легкая, мужская походка, бряцанье шпор, и красивый, румяный, с чернеющимися усиками, видимо отдохнувший и выхолившийся на спокойном житье в Москве, вошел молодой граф.
– Ах, братец мой! Голова кругом идет, – сказал старик, как бы стыдясь, улыбаясь перед сыном. – Хоть вот ты бы помог! Надо ведь еще песенников. Музыка у меня есть, да цыган что ли позвать? Ваша братия военные это любят.
– Право, папенька, я думаю, князь Багратион, когда готовился к Шенграбенскому сражению, меньше хлопотал, чем вы теперь, – сказал сын, улыбаясь.
Старый граф притворился рассерженным. – Да, ты толкуй, ты попробуй!
И граф обратился к повару, который с умным и почтенным лицом, наблюдательно и ласково поглядывал на отца и сына.
– Какова молодежь то, а, Феоктист? – сказал он, – смеется над нашим братом стариками.
– Что ж, ваше сиятельство, им бы только покушать хорошо, а как всё собрать да сервировать , это не их дело.
– Так, так, – закричал граф, и весело схватив сына за обе руки, закричал: – Так вот же что, попался ты мне! Возьми ты сейчас сани парные и ступай ты к Безухову, и скажи, что граф, мол, Илья Андреич прислали просить у вас земляники и ананасов свежих. Больше ни у кого не достанешь. Самого то нет, так ты зайди, княжнам скажи, и оттуда, вот что, поезжай ты на Разгуляй – Ипатка кучер знает – найди ты там Ильюшку цыгана, вот что у графа Орлова тогда плясал, помнишь, в белом казакине, и притащи ты его сюда, ко мне.
– И с цыганками его сюда привести? – спросил Николай смеясь. – Ну, ну!…
В это время неслышными шагами, с деловым, озабоченным и вместе христиански кротким видом, никогда не покидавшим ее, вошла в комнату Анна Михайловна. Несмотря на то, что каждый день Анна Михайловна заставала графа в халате, всякий раз он конфузился при ней и просил извинения за свой костюм.
– Ничего, граф, голубчик, – сказала она, кротко закрывая глаза. – А к Безухому я съезжу, – сказала она. – Пьер приехал, и теперь мы всё достанем, граф, из его оранжерей. Мне и нужно было видеть его. Он мне прислал письмо от Бориса. Слава Богу, Боря теперь при штабе.
Граф обрадовался, что Анна Михайловна брала одну часть его поручений, и велел ей заложить маленькую карету.
– Вы Безухову скажите, чтоб он приезжал. Я его запишу. Что он с женой? – спросил он.
Анна Михайловна завела глаза, и на лице ее выразилась глубокая скорбь…
– Ах, мой друг, он очень несчастлив, – сказала она. – Ежели правда, что мы слышали, это ужасно. И думали ли мы, когда так радовались его счастию! И такая высокая, небесная душа, этот молодой Безухов! Да, я от души жалею его и постараюсь дать ему утешение, которое от меня будет зависеть.
– Да что ж такое? – спросили оба Ростова, старший и младший.
Анна Михайловна глубоко вздохнула: – Долохов, Марьи Ивановны сын, – сказала она таинственным шопотом, – говорят, совсем компрометировал ее. Он его вывел, пригласил к себе в дом в Петербурге, и вот… Она сюда приехала, и этот сорви голова за ней, – сказала Анна Михайловна, желая выразить свое сочувствие Пьеру, но в невольных интонациях и полуулыбкою выказывая сочувствие сорви голове, как она назвала Долохова. – Говорят, сам Пьер совсем убит своим горем.
– Ну, всё таки скажите ему, чтоб он приезжал в клуб, – всё рассеется. Пир горой будет.
На другой день, 3 го марта, во 2 м часу по полудни, 250 человек членов Английского клуба и 50 человек гостей ожидали к обеду дорогого гостя и героя Австрийского похода, князя Багратиона. В первое время по получении известия об Аустерлицком сражении Москва пришла в недоумение. В то время русские так привыкли к победам, что, получив известие о поражении, одни просто не верили, другие искали объяснений такому странному событию в каких нибудь необыкновенных причинах. В Английском клубе, где собиралось всё, что было знатного, имеющего верные сведения и вес, в декабре месяце, когда стали приходить известия, ничего не говорили про войну и про последнее сражение, как будто все сговорились молчать о нем. Люди, дававшие направление разговорам, как то: граф Ростопчин, князь Юрий Владимирович Долгорукий, Валуев, гр. Марков, кн. Вяземский, не показывались в клубе, а собирались по домам, в своих интимных кружках, и москвичи, говорившие с чужих голосов (к которым принадлежал и Илья Андреич Ростов), оставались на короткое время без определенного суждения о деле войны и без руководителей. Москвичи чувствовали, что что то нехорошо и что обсуждать эти дурные вести трудно, и потому лучше молчать. Но через несколько времени, как присяжные выходят из совещательной комнаты, появились и тузы, дававшие мнение в клубе, и всё заговорило ясно и определенно. Были найдены причины тому неимоверному, неслыханному и невозможному событию, что русские были побиты, и все стало ясно, и во всех углах Москвы заговорили одно и то же. Причины эти были: измена австрийцев, дурное продовольствие войска, измена поляка Пшебышевского и француза Ланжерона, неспособность Кутузова, и (потихоньку говорили) молодость и неопытность государя, вверившегося дурным и ничтожным людям. Но войска, русские войска, говорили все, были необыкновенны и делали чудеса храбрости. Солдаты, офицеры, генералы – были герои. Но героем из героев был князь Багратион, прославившийся своим Шенграбенским делом и отступлением от Аустерлица, где он один провел свою колонну нерасстроенною и целый день отбивал вдвое сильнейшего неприятеля. Тому, что Багратион выбран был героем в Москве, содействовало и то, что он не имел связей в Москве, и был чужой. В лице его отдавалась должная честь боевому, простому, без связей и интриг, русскому солдату, еще связанному воспоминаниями Итальянского похода с именем Суворова. Кроме того в воздаянии ему таких почестей лучше всего показывалось нерасположение и неодобрение Кутузову.
– Ежели бы не было Багратиона, il faudrait l'inventer, [надо бы изобрести его.] – сказал шутник Шиншин, пародируя слова Вольтера. Про Кутузова никто не говорил, и некоторые шопотом бранили его, называя придворною вертушкой и старым сатиром. По всей Москве повторялись слова князя Долгорукова: «лепя, лепя и облепишься», утешавшегося в нашем поражении воспоминанием прежних побед, и повторялись слова Ростопчина про то, что французских солдат надо возбуждать к сражениям высокопарными фразами, что с Немцами надо логически рассуждать, убеждая их, что опаснее бежать, чем итти вперед; но что русских солдат надо только удерживать и просить: потише! Со всex сторон слышны были новые и новые рассказы об отдельных примерах мужества, оказанных нашими солдатами и офицерами при Аустерлице. Тот спас знамя, тот убил 5 ть французов, тот один заряжал 5 ть пушек. Говорили и про Берга, кто его не знал, что он, раненый в правую руку, взял шпагу в левую и пошел вперед. Про Болконского ничего не говорили, и только близко знавшие его жалели, что он рано умер, оставив беременную жену и чудака отца.


3 го марта во всех комнатах Английского клуба стоял стон разговаривающих голосов и, как пчелы на весеннем пролете, сновали взад и вперед, сидели, стояли, сходились и расходились, в мундирах, фраках и еще кое кто в пудре и кафтанах, члены и гости клуба. Пудренные, в чулках и башмаках ливрейные лакеи стояли у каждой двери и напряженно старались уловить каждое движение гостей и членов клуба, чтобы предложить свои услуги. Большинство присутствовавших были старые, почтенные люди с широкими, самоуверенными лицами, толстыми пальцами, твердыми движениями и голосами. Этого рода гости и члены сидели по известным, привычным местам и сходились в известных, привычных кружках. Малая часть присутствовавших состояла из случайных гостей – преимущественно молодежи, в числе которой были Денисов, Ростов и Долохов, который был опять семеновским офицером. На лицах молодежи, особенно военной, было выражение того чувства презрительной почтительности к старикам, которое как будто говорит старому поколению: уважать и почитать вас мы готовы, но помните, что всё таки за нами будущность.
Несвицкий был тут же, как старый член клуба. Пьер, по приказанию жены отпустивший волоса, снявший очки и одетый по модному, но с грустным и унылым видом, ходил по залам. Его, как и везде, окружала атмосфера людей, преклонявшихся перед его богатством, и он с привычкой царствования и рассеянной презрительностью обращался с ними.
По годам он бы должен был быть с молодыми, по богатству и связям он был членом кружков старых, почтенных гостей, и потому он переходил от одного кружка к другому.
Старики из самых значительных составляли центр кружков, к которым почтительно приближались даже незнакомые, чтобы послушать известных людей. Большие кружки составлялись около графа Ростопчина, Валуева и Нарышкина. Ростопчин рассказывал про то, как русские были смяты бежавшими австрийцами и должны были штыком прокладывать себе дорогу сквозь беглецов.
Валуев конфиденциально рассказывал, что Уваров был прислан из Петербурга, для того чтобы узнать мнение москвичей об Аустерлице.
В третьем кружке Нарышкин говорил о заседании австрийского военного совета, в котором Суворов закричал петухом в ответ на глупость австрийских генералов. Шиншин, стоявший тут же, хотел пошутить, сказав, что Кутузов, видно, и этому нетрудному искусству – кричать по петушиному – не мог выучиться у Суворова; но старички строго посмотрели на шутника, давая ему тем чувствовать, что здесь и в нынешний день так неприлично было говорить про Кутузова.
Граф Илья Андреич Ростов, озабоченно, торопливо похаживал в своих мягких сапогах из столовой в гостиную, поспешно и совершенно одинаково здороваясь с важными и неважными лицами, которых он всех знал, и изредка отыскивая глазами своего стройного молодца сына, радостно останавливал на нем свой взгляд и подмигивал ему. Молодой Ростов стоял у окна с Долоховым, с которым он недавно познакомился, и знакомством которого он дорожил. Старый граф подошел к ним и пожал руку Долохову.
– Ко мне милости прошу, вот ты с моим молодцом знаком… вместе там, вместе геройствовали… A! Василий Игнатьич… здорово старый, – обратился он к проходившему старичку, но не успел еще договорить приветствия, как всё зашевелилось, и прибежавший лакей, с испуганным лицом, доложил: пожаловали!
Раздались звонки; старшины бросились вперед; разбросанные в разных комнатах гости, как встряхнутая рожь на лопате, столпились в одну кучу и остановились в большой гостиной у дверей залы.
В дверях передней показался Багратион, без шляпы и шпаги, которые он, по клубному обычаю, оставил у швейцара. Он был не в смушковом картузе с нагайкой через плечо, как видел его Ростов в ночь накануне Аустерлицкого сражения, а в новом узком мундире с русскими и иностранными орденами и с георгиевской звездой на левой стороне груди. Он видимо сейчас, перед обедом, подстриг волосы и бакенбарды, что невыгодно изменяло его физиономию. На лице его было что то наивно праздничное, дававшее, в соединении с его твердыми, мужественными чертами, даже несколько комическое выражение его лицу. Беклешов и Федор Петрович Уваров, приехавшие с ним вместе, остановились в дверях, желая, чтобы он, как главный гость, прошел вперед их. Багратион смешался, не желая воспользоваться их учтивостью; произошла остановка в дверях, и наконец Багратион всё таки прошел вперед. Он шел, не зная куда девать руки, застенчиво и неловко, по паркету приемной: ему привычнее и легче было ходить под пулями по вспаханному полю, как он шел перед Курским полком в Шенграбене. Старшины встретили его у первой двери, сказав ему несколько слов о радости видеть столь дорогого гостя, и недождавшись его ответа, как бы завладев им, окружили его и повели в гостиную. В дверях гостиной не было возможности пройти от столпившихся членов и гостей, давивших друг друга и через плечи друг друга старавшихся, как редкого зверя, рассмотреть Багратиона. Граф Илья Андреич, энергичнее всех, смеясь и приговаривая: – пусти, mon cher, пусти, пусти, – протолкал толпу, провел гостей в гостиную и посадил на средний диван. Тузы, почетнейшие члены клуба, обступили вновь прибывших. Граф Илья Андреич, проталкиваясь опять через толпу, вышел из гостиной и с другим старшиной через минуту явился, неся большое серебряное блюдо, которое он поднес князю Багратиону. На блюде лежали сочиненные и напечатанные в честь героя стихи. Багратион, увидав блюдо, испуганно оглянулся, как бы отыскивая помощи. Но во всех глазах было требование того, чтобы он покорился. Чувствуя себя в их власти, Багратион решительно, обеими руками, взял блюдо и сердито, укоризненно посмотрел на графа, подносившего его. Кто то услужливо вынул из рук Багратиона блюдо (а то бы он, казалось, намерен был держать его так до вечера и так итти к столу) и обратил его внимание на стихи. «Ну и прочту», как будто сказал Багратион и устремив усталые глаза на бумагу, стал читать с сосредоточенным и серьезным видом. Сам сочинитель взял стихи и стал читать. Князь Багратион склонил голову и слушал.
«Славь Александра век
И охраняй нам Тита на престоле,
Будь купно страшный вождь и добрый человек,
Рифей в отечестве а Цесарь в бранном поле.
Да счастливый Наполеон,
Познав чрез опыты, каков Багратион,
Не смеет утруждать Алкидов русских боле…»
Но еще он не кончил стихов, как громогласный дворецкий провозгласил: «Кушанье готово!» Дверь отворилась, загремел из столовой польский: «Гром победы раздавайся, веселися храбрый росс», и граф Илья Андреич, сердито посмотрев на автора, продолжавшего читать стихи, раскланялся перед Багратионом. Все встали, чувствуя, что обед был важнее стихов, и опять Багратион впереди всех пошел к столу. На первом месте, между двух Александров – Беклешова и Нарышкина, что тоже имело значение по отношению к имени государя, посадили Багратиона: 300 человек разместились в столовой по чинам и важности, кто поважнее, поближе к чествуемому гостю: так же естественно, как вода разливается туда глубже, где местность ниже.
Перед самым обедом граф Илья Андреич представил князю своего сына. Багратион, узнав его, сказал несколько нескладных, неловких слов, как и все слова, которые он говорил в этот день. Граф Илья Андреич радостно и гордо оглядывал всех в то время, как Багратион говорил с его сыном.
Николай Ростов с Денисовым и новым знакомцем Долоховым сели вместе почти на середине стола. Напротив них сел Пьер рядом с князем Несвицким. Граф Илья Андреич сидел напротив Багратиона с другими старшинами и угащивал князя, олицетворяя в себе московское радушие.
Труды его не пропали даром. Обеды его, постный и скоромный, были великолепны, но совершенно спокоен он всё таки не мог быть до конца обеда. Он подмигивал буфетчику, шопотом приказывал лакеям, и не без волнения ожидал каждого, знакомого ему блюда. Всё было прекрасно. На втором блюде, вместе с исполинской стерлядью (увидав которую, Илья Андреич покраснел от радости и застенчивости), уже лакеи стали хлопать пробками и наливать шампанское. После рыбы, которая произвела некоторое впечатление, граф Илья Андреич переглянулся с другими старшинами. – «Много тостов будет, пора начинать!» – шепнул он и взяв бокал в руки – встал. Все замолкли и ожидали, что он скажет.
– Здоровье государя императора! – крикнул он, и в ту же минуту добрые глаза его увлажились слезами радости и восторга. В ту же минуту заиграли: «Гром победы раздавайся».Все встали с своих мест и закричали ура! и Багратион закричал ура! тем же голосом, каким он кричал на Шенграбенском поле. Восторженный голос молодого Ростова был слышен из за всех 300 голосов. Он чуть не плакал. – Здоровье государя императора, – кричал он, – ура! – Выпив залпом свой бокал, он бросил его на пол. Многие последовали его примеру. И долго продолжались громкие крики. Когда замолкли голоса, лакеи подобрали разбитую посуду, и все стали усаживаться, и улыбаясь своему крику переговариваться. Граф Илья Андреич поднялся опять, взглянул на записочку, лежавшую подле его тарелки и провозгласил тост за здоровье героя нашей последней кампании, князя Петра Ивановича Багратиона и опять голубые глаза графа увлажились слезами. Ура! опять закричали голоса 300 гостей, и вместо музыки послышались певчие, певшие кантату сочинения Павла Ивановича Кутузова.
«Тщетны россам все препоны,
Храбрость есть побед залог,
Есть у нас Багратионы,
Будут все враги у ног» и т.д.
Только что кончили певчие, как последовали новые и новые тосты, при которых всё больше и больше расчувствовался граф Илья Андреич, и еще больше билось посуды, и еще больше кричалось. Пили за здоровье Беклешова, Нарышкина, Уварова, Долгорукова, Апраксина, Валуева, за здоровье старшин, за здоровье распорядителя, за здоровье всех членов клуба, за здоровье всех гостей клуба и наконец отдельно за здоровье учредителя обеда графа Ильи Андреича. При этом тосте граф вынул платок и, закрыв им лицо, совершенно расплакался.


Пьер сидел против Долохова и Николая Ростова. Он много и жадно ел и много пил, как и всегда. Но те, которые его знали коротко, видели, что в нем произошла в нынешний день какая то большая перемена. Он молчал всё время обеда и, щурясь и морщась, глядел кругом себя или остановив глаза, с видом совершенной рассеянности, потирал пальцем переносицу. Лицо его было уныло и мрачно. Он, казалось, не видел и не слышал ничего, происходящего вокруг него, и думал о чем то одном, тяжелом и неразрешенном.
Этот неразрешенный, мучивший его вопрос, были намеки княжны в Москве на близость Долохова к его жене и в нынешнее утро полученное им анонимное письмо, в котором было сказано с той подлой шутливостью, которая свойственна всем анонимным письмам, что он плохо видит сквозь свои очки, и что связь его жены с Долоховым есть тайна только для одного него. Пьер решительно не поверил ни намекам княжны, ни письму, но ему страшно было теперь смотреть на Долохова, сидевшего перед ним. Всякий раз, как нечаянно взгляд его встречался с прекрасными, наглыми глазами Долохова, Пьер чувствовал, как что то ужасное, безобразное поднималось в его душе, и он скорее отворачивался. Невольно вспоминая всё прошедшее своей жены и ее отношения с Долоховым, Пьер видел ясно, что то, что сказано было в письме, могло быть правда, могло по крайней мере казаться правдой, ежели бы это касалось не его жены. Пьер вспоминал невольно, как Долохов, которому было возвращено всё после кампании, вернулся в Петербург и приехал к нему. Пользуясь своими кутежными отношениями дружбы с Пьером, Долохов прямо приехал к нему в дом, и Пьер поместил его и дал ему взаймы денег. Пьер вспоминал, как Элен улыбаясь выражала свое неудовольствие за то, что Долохов живет в их доме, и как Долохов цинически хвалил ему красоту его жены, и как он с того времени до приезда в Москву ни на минуту не разлучался с ними.
«Да, он очень красив, думал Пьер, я знаю его. Для него была бы особенная прелесть в том, чтобы осрамить мое имя и посмеяться надо мной, именно потому, что я хлопотал за него и призрел его, помог ему. Я знаю, я понимаю, какую соль это в его глазах должно бы придавать его обману, ежели бы это была правда. Да, ежели бы это была правда; но я не верю, не имею права и не могу верить». Он вспоминал то выражение, которое принимало лицо Долохова, когда на него находили минуты жестокости, как те, в которые он связывал квартального с медведем и пускал его на воду, или когда он вызывал без всякой причины на дуэль человека, или убивал из пистолета лошадь ямщика. Это выражение часто было на лице Долохова, когда он смотрел на него. «Да, он бретёр, думал Пьер, ему ничего не значит убить человека, ему должно казаться, что все боятся его, ему должно быть приятно это. Он должен думать, что и я боюсь его. И действительно я боюсь его», думал Пьер, и опять при этих мыслях он чувствовал, как что то страшное и безобразное поднималось в его душе. Долохов, Денисов и Ростов сидели теперь против Пьера и казались очень веселы. Ростов весело переговаривался с своими двумя приятелями, из которых один был лихой гусар, другой известный бретёр и повеса, и изредка насмешливо поглядывал на Пьера, который на этом обеде поражал своей сосредоточенной, рассеянной, массивной фигурой. Ростов недоброжелательно смотрел на Пьера, во первых, потому, что Пьер в его гусарских глазах был штатский богач, муж красавицы, вообще баба; во вторых, потому, что Пьер в сосредоточенности и рассеянности своего настроения не узнал Ростова и не ответил на его поклон. Когда стали пить здоровье государя, Пьер задумавшись не встал и не взял бокала.
– Что ж вы? – закричал ему Ростов, восторженно озлобленными глазами глядя на него. – Разве вы не слышите; здоровье государя императора! – Пьер, вздохнув, покорно встал, выпил свой бокал и, дождавшись, когда все сели, с своей доброй улыбкой обратился к Ростову.
– А я вас и не узнал, – сказал он. – Но Ростову было не до этого, он кричал ура!
– Что ж ты не возобновишь знакомство, – сказал Долохов Ростову.
– Бог с ним, дурак, – сказал Ростов.
– Надо лелеять мужей хорошеньких женщин, – сказал Денисов. Пьер не слышал, что они говорили, но знал, что говорят про него. Он покраснел и отвернулся.
– Ну, теперь за здоровье красивых женщин, – сказал Долохов, и с серьезным выражением, но с улыбающимся в углах ртом, с бокалом обратился к Пьеру.
– За здоровье красивых женщин, Петруша, и их любовников, – сказал он.
Пьер, опустив глаза, пил из своего бокала, не глядя на Долохова и не отвечая ему. Лакей, раздававший кантату Кутузова, положил листок Пьеру, как более почетному гостю. Он хотел взять его, но Долохов перегнулся, выхватил листок из его руки и стал читать. Пьер взглянул на Долохова, зрачки его опустились: что то страшное и безобразное, мутившее его во всё время обеда, поднялось и овладело им. Он нагнулся всем тучным телом через стол: – Не смейте брать! – крикнул он.
Услыхав этот крик и увидав, к кому он относился, Несвицкий и сосед с правой стороны испуганно и поспешно обратились к Безухову.
– Полноте, полно, что вы? – шептали испуганные голоса. Долохов посмотрел на Пьера светлыми, веселыми, жестокими глазами, с той же улыбкой, как будто он говорил: «А вот это я люблю». – Не дам, – проговорил он отчетливо.
Бледный, с трясущейся губой, Пьер рванул лист. – Вы… вы… негодяй!.. я вас вызываю, – проговорил он, и двинув стул, встал из за стола. В ту самую секунду, как Пьер сделал это и произнес эти слова, он почувствовал, что вопрос о виновности его жены, мучивший его эти последние сутки, был окончательно и несомненно решен утвердительно. Он ненавидел ее и навсегда был разорван с нею. Несмотря на просьбы Денисова, чтобы Ростов не вмешивался в это дело, Ростов согласился быть секундантом Долохова, и после стола переговорил с Несвицким, секундантом Безухова, об условиях дуэли. Пьер уехал домой, а Ростов с Долоховым и Денисовым до позднего вечера просидели в клубе, слушая цыган и песенников.
– Так до завтра, в Сокольниках, – сказал Долохов, прощаясь с Ростовым на крыльце клуба.
– И ты спокоен? – спросил Ростов…
Долохов остановился. – Вот видишь ли, я тебе в двух словах открою всю тайну дуэли. Ежели ты идешь на дуэль и пишешь завещания да нежные письма родителям, ежели ты думаешь о том, что тебя могут убить, ты – дурак и наверно пропал; а ты иди с твердым намерением его убить, как можно поскорее и повернее, тогда всё исправно. Как мне говаривал наш костромской медвежатник: медведя то, говорит, как не бояться? да как увидишь его, и страх прошел, как бы только не ушел! Ну так то и я. A demain, mon cher! [До завтра, мой милый!]
На другой день, в 8 часов утра, Пьер с Несвицким приехали в Сокольницкий лес и нашли там уже Долохова, Денисова и Ростова. Пьер имел вид человека, занятого какими то соображениями, вовсе не касающимися до предстоящего дела. Осунувшееся лицо его было желто. Он видимо не спал ту ночь. Он рассеянно оглядывался вокруг себя и морщился, как будто от яркого солнца. Два соображения исключительно занимали его: виновность его жены, в которой после бессонной ночи уже не оставалось ни малейшего сомнения, и невинность Долохова, не имевшего никакой причины беречь честь чужого для него человека. «Может быть, я бы то же самое сделал бы на его месте, думал Пьер. Даже наверное я бы сделал то же самое; к чему же эта дуэль, это убийство? Или я убью его, или он попадет мне в голову, в локоть, в коленку. Уйти отсюда, бежать, зарыться куда нибудь», приходило ему в голову. Но именно в те минуты, когда ему приходили такие мысли. он с особенно спокойным и рассеянным видом, внушавшим уважение смотревшим на него, спрашивал: «Скоро ли, и готово ли?»
Когда всё было готово, сабли воткнуты в снег, означая барьер, до которого следовало сходиться, и пистолеты заряжены, Несвицкий подошел к Пьеру.
– Я бы не исполнил своей обязанности, граф, – сказал он робким голосом, – и не оправдал бы того доверия и чести, которые вы мне сделали, выбрав меня своим секундантом, ежели бы я в эту важную минуту, очень важную минуту, не сказал вам всю правду. Я полагаю, что дело это не имеет достаточно причин, и что не стоит того, чтобы за него проливать кровь… Вы были неправы, не совсем правы, вы погорячились…
– Ах да, ужасно глупо… – сказал Пьер.
– Так позвольте мне передать ваше сожаление, и я уверен, что наши противники согласятся принять ваше извинение, – сказал Несвицкий (так же как и другие участники дела и как и все в подобных делах, не веря еще, чтобы дело дошло до действительной дуэли). – Вы знаете, граф, гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести дело до непоправимого. Обиды ни с одной стороны не было. Позвольте мне переговорить…
– Нет, об чем же говорить! – сказал Пьер, – всё равно… Так готово? – прибавил он. – Вы мне скажите только, как куда ходить, и стрелять куда? – сказал он, неестественно кротко улыбаясь. – Он взял в руки пистолет, стал расспрашивать о способе спуска, так как он до сих пор не держал в руках пистолета, в чем он не хотел сознаваться. – Ах да, вот так, я знаю, я забыл только, – говорил он.
– Никаких извинений, ничего решительно, – говорил Долохов Денисову, который с своей стороны тоже сделал попытку примирения, и тоже подошел к назначенному месту.
Место для поединка было выбрано шагах в 80 ти от дороги, на которой остались сани, на небольшой полянке соснового леса, покрытой истаявшим от стоявших последние дни оттепелей снегом. Противники стояли шагах в 40 ка друг от друга, у краев поляны. Секунданты, размеряя шаги, проложили, отпечатавшиеся по мокрому, глубокому снегу, следы от того места, где они стояли, до сабель Несвицкого и Денисова, означавших барьер и воткнутых в 10 ти шагах друг от друга. Оттепель и туман продолжались; за 40 шагов ничего не было видно. Минуты три всё было уже готово, и всё таки медлили начинать, все молчали.


– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.
– Г…'аз! Два! Т'и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.
– Не…е…т, – проговорил сквозь зубы Долохов, – нет, не кончено, – и сделав еще несколько падающих, ковыляющих шагов до самой сабли, упал на снег подле нее. Левая рука его была в крови, он обтер ее о сюртук и оперся ею. Лицо его было бледно, нахмуренно и дрожало.
– Пожалу… – начал Долохов, но не мог сразу выговорить… – пожалуйте, договорил он с усилием. Пьер, едва удерживая рыдания, побежал к Долохову, и хотел уже перейти пространство, отделяющее барьеры, как Долохов крикнул: – к барьеру! – и Пьер, поняв в чем дело, остановился у своей сабли. Только 10 шагов разделяло их. Долохов опустился головой к снегу, жадно укусил снег, опять поднял голову, поправился, подобрал ноги и сел, отыскивая прочный центр тяжести. Он глотал холодный снег и сосал его; губы его дрожали, но всё улыбаясь; глаза блестели усилием и злобой последних собранных сил. Он поднял пистолет и стал целиться.
– Боком, закройтесь пистолетом, – проговорил Несвицкий.
– 3ак'ойтесь! – не выдержав, крикнул даже Денисов своему противнику.
Пьер с кроткой улыбкой сожаления и раскаяния, беспомощно расставив ноги и руки, прямо своей широкой грудью стоял перед Долоховым и грустно смотрел на него. Денисов, Ростов и Несвицкий зажмурились. В одно и то же время они услыхали выстрел и злой крик Долохова.
– Мимо! – крикнул Долохов и бессильно лег на снег лицом книзу. Пьер схватился за голову и, повернувшись назад, пошел в лес, шагая целиком по снегу и вслух приговаривая непонятные слова:
– Глупо… глупо! Смерть… ложь… – твердил он морщась. Несвицкий остановил его и повез домой.
Ростов с Денисовым повезли раненого Долохова.
Долохов, молча, с закрытыми глазами, лежал в санях и ни слова не отвечал на вопросы, которые ему делали; но, въехав в Москву, он вдруг очнулся и, с трудом приподняв голову, взял за руку сидевшего подле себя Ростова. Ростова поразило совершенно изменившееся и неожиданно восторженно нежное выражение лица Долохова.
– Ну, что? как ты чувствуешь себя? – спросил Ростов.
– Скверно! но не в том дело. Друг мой, – сказал Долохов прерывающимся голосом, – где мы? Мы в Москве, я знаю. Я ничего, но я убил ее, убил… Она не перенесет этого. Она не перенесет…
– Кто? – спросил Ростов.
– Мать моя. Моя мать, мой ангел, мой обожаемый ангел, мать, – и Долохов заплакал, сжимая руку Ростова. Когда он несколько успокоился, он объяснил Ростову, что живет с матерью, что ежели мать увидит его умирающим, она не перенесет этого. Он умолял Ростова ехать к ней и приготовить ее.
Ростов поехал вперед исполнять поручение, и к великому удивлению своему узнал, что Долохов, этот буян, бретёр Долохов жил в Москве с старушкой матерью и горбатой сестрой, и был самый нежный сын и брат.


Пьер в последнее время редко виделся с женою с глазу на глаз. И в Петербурге, и в Москве дом их постоянно бывал полон гостями. В следующую ночь после дуэли, он, как и часто делал, не пошел в спальню, а остался в своем огромном, отцовском кабинете, в том самом, в котором умер граф Безухий.
Он прилег на диван и хотел заснуть, для того чтобы забыть всё, что было с ним, но он не мог этого сделать. Такая буря чувств, мыслей, воспоминаний вдруг поднялась в его душе, что он не только не мог спать, но не мог сидеть на месте и должен был вскочить с дивана и быстрыми шагами ходить по комнате. То ему представлялась она в первое время после женитьбы, с открытыми плечами и усталым, страстным взглядом, и тотчас же рядом с нею представлялось красивое, наглое и твердо насмешливое лицо Долохова, каким оно было на обеде, и то же лицо Долохова, бледное, дрожащее и страдающее, каким оно было, когда он повернулся и упал на снег.
«Что ж было? – спрашивал он сам себя. – Я убил любовника , да, убил любовника своей жены. Да, это было. Отчего? Как я дошел до этого? – Оттого, что ты женился на ней, – отвечал внутренний голос.
«Но в чем же я виноват? – спрашивал он. – В том, что ты женился не любя ее, в том, что ты обманул и себя и ее, – и ему живо представилась та минута после ужина у князя Василья, когда он сказал эти невыходившие из него слова: „Je vous aime“. [Я вас люблю.] Всё от этого! Я и тогда чувствовал, думал он, я чувствовал тогда, что это было не то, что я не имел на это права. Так и вышло». Он вспомнил медовый месяц, и покраснел при этом воспоминании. Особенно живо, оскорбительно и постыдно было для него воспоминание о том, как однажды, вскоре после своей женитьбы, он в 12 м часу дня, в шелковом халате пришел из спальни в кабинет, и в кабинете застал главного управляющего, который почтительно поклонился, поглядел на лицо Пьера, на его халат и слегка улыбнулся, как бы выражая этой улыбкой почтительное сочувствие счастию своего принципала.
«А сколько раз я гордился ею, гордился ее величавой красотой, ее светским тактом, думал он; гордился тем своим домом, в котором она принимала весь Петербург, гордился ее неприступностью и красотой. Так вот чем я гордился?! Я тогда думал, что не понимаю ее. Как часто, вдумываясь в ее характер, я говорил себе, что я виноват, что не понимаю ее, не понимаю этого всегдашнего спокойствия, удовлетворенности и отсутствия всяких пристрастий и желаний, а вся разгадка была в том страшном слове, что она развратная женщина: сказал себе это страшное слово, и всё стало ясно!
«Анатоль ездил к ней занимать у нее денег и целовал ее в голые плечи. Она не давала ему денег, но позволяла целовать себя. Отец, шутя, возбуждал ее ревность; она с спокойной улыбкой говорила, что она не так глупа, чтобы быть ревнивой: пусть делает, что хочет, говорила она про меня. Я спросил у нее однажды, не чувствует ли она признаков беременности. Она засмеялась презрительно и сказала, что она не дура, чтобы желать иметь детей, и что от меня детей у нее не будет».
Потом он вспомнил грубость, ясность ее мыслей и вульгарность выражений, свойственных ей, несмотря на ее воспитание в высшем аристократическом кругу. «Я не какая нибудь дура… поди сам попробуй… allez vous promener», [убирайся,] говорила она. Часто, глядя на ее успех в глазах старых и молодых мужчин и женщин, Пьер не мог понять, отчего он не любил ее. Да я никогда не любил ее, говорил себе Пьер; я знал, что она развратная женщина, повторял он сам себе, но не смел признаться в этом.
И теперь Долохов, вот он сидит на снегу и насильно улыбается, и умирает, может быть, притворным каким то молодечеством отвечая на мое раскаянье!»
Пьер был один из тех людей, которые, несмотря на свою внешнюю, так называемую слабость характера, не ищут поверенного для своего горя. Он переработывал один в себе свое горе.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Логарифм&oldid=80935173#.D0.9B.D0.BE.D0.B3.D0.B0.D1.80.D0.B8.D1.84.D0.BC.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D1.82.D0.B0.D0.B1.D0.BB.D0.B8.D1.86.D1.8B»