Логнормальное распределение

Логнормальное

Плотность вероятности μ=0
Функция распределения μ=0
Обозначение	<math>\ln N(\mu,\sigma^2)</math>, <math>LN(\mu,\sigma^2)</math>
Параметры	<math>\sigma \ge 0</math> <math>-\infty \le \mu \le \infty</math>
Носитель	<math>x \in (0; +\infty)</math>
Плотность вероятности	<math>\exp\left(-\left.\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}\right]^2\right/2\right) \left/ \left(x\sigma\sqrt{2\pi}\right) \right.</math>
Функция распределения	<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2
Математическое ожидание	{{{mean}}}
Медиана	{{{median}}}
Мода	{{{mode}}}
Дисперсия	{{{variance}}}
Коэффициент асимметрии	{{{skewness}}}
Коэффициент эксцесса	{{{kurtosis}}}
Дифференциальная энтропия	{{{entropy}}}
Производящая функция моментов	{{{mgf}}}
Характеристическая функция	{{{char}}}

\right]</math>|

 mean       =<math>e^{\mu+\sigma^2/2}</math>|
 median     =<math>e^{\mu}</math>|
 mode       =<math>e^{\mu-\sigma^2}</math>|
 variance   =<math>(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}</math>|
 skewness   =<math>(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}</math>|
 kurtosis   =<math>e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6</math>|
 entropy    =<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu</math>|
 mgf        =<math>\operatorname{E}[X^s] = e^{s\mu + \tfrac{1}{2}s^2\sigma^2}.</math>|
 char       =<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>|

}}

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

<math display="block">f_X(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2},</math>

где <math>x > 0,\; \sigma>0,\; \mu\in \mathbb{R}</math>. Тогда говорят, что <math>X</math> имеет логнормальное распределение с параметрами <math>\mu</math> и <math>\sigma</math>. Пишут: <math>X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ </math>.

Моменты

Формула для <math>k</math>-го момента логнормальной случайной величины <math>X</math> имеет вид:

<math>\mathbb{E}\left[X^k\right] = e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}},\; k \in \mathbb{N},</math>

откуда в частности:

<math>\mathbb{E}[X] = e^{\mu + {\sigma^2 \over 2}}</math>,

<math>\mathrm{D}[X] =\left(e^{\sigma^2}-1\right) e^{2\mu + \sigma^2}</math>.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

<math>\alpha_{n} = e^{ (\mu, n) + \frac{1}{2}(n, \Sigma n)}</math>, где <math>\mu</math> и <math>\Sigma</math> — параметры многомерного совместного распределения. <math>n</math> — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, <math>n=(2,0)</math> — второй нецентральный момент первой компоненты, <math>n=(1,1)</math> — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Если <math>X_1,\ldots, X_n</math> — независимые логнормальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{LogN}(\mu, \sigma_i^2)</math>, то их произведение также логнормально:

<math>Y = \prod\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{LogN}\left(n\mu, \sum\limits_{i=1}^n \sigma^2_i\right)</math>.

Связь с другими распределениями

• Если <math>X \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ </math>, то <math>Y = \ln(X) \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ </math>.

И наоборот, если <math>Y \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) \ </math>, то <math>X = \exp(Y) \sim \mathrm{LogN}(\mu,\sigma^2) \ </math>.

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна.

Приложения

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако на самом деле здесь есть исключения, например, на самом деле распределение по размерам астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение.

</center>

Отрывок, характеризующий Логнормальное распределение

В то время как проходил этот Апшеронский батальон, румяный Милорадович, без шинели, в мундире и орденах и со шляпой с огромным султаном, надетой набекрень и с поля, марш марш выскакал вперед и, молодецки салютуя, осадил лошадь перед государем.
– С Богом, генерал, – сказал ему государь.
– Ma foi, sire, nous ferons ce que qui sera dans notre possibilite, sire, [Право, ваше величество, мы сделаем, что будет нам возможно сделать, ваше величество,] – отвечал он весело, тем не менее вызывая насмешливую улыбку у господ свиты государя своим дурным французским выговором.
Милорадович круто повернул свою лошадь и стал несколько позади государя. Апшеронцы, возбуждаемые присутствием государя, молодецким, бойким шагом отбивая ногу, проходили мимо императоров и их свиты.
– Ребята! – крикнул громким, самоуверенным и веселым голосом Милорадович, видимо, до такой степени возбужденный звуками стрельбы, ожиданием сражения и видом молодцов апшеронцев, еще своих суворовских товарищей, бойко проходивших мимо императоров, что забыл о присутствии государя. – Ребята, вам не первую деревню брать! – крикнул он.
– Рады стараться! – прокричали солдаты.
Лошадь государя шарахнулась от неожиданного крика. Лошадь эта, носившая государя еще на смотрах в России, здесь, на Аустерлицком поле, несла своего седока, выдерживая его рассеянные удары левой ногой, настораживала уши от звуков выстрелов, точно так же, как она делала это на Марсовом поле, не понимая значения ни этих слышавшихся выстрелов, ни соседства вороного жеребца императора Франца, ни всего того, что говорил, думал, чувствовал в этот день тот, кто ехал на ней.
Государь с улыбкой обратился к одному из своих приближенных, указывая на молодцов апшеронцев, и что то сказал ему.


Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.