Локально компактное пространство
Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, замыкание которой компактно[1][2][3]. Иногда используется более слабое определение: достаточно чтобы каждая точка имела компактную окрестность (открытость окрестности здесь не предполагается)[4][5]. В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.
Примеры
- Любое компактное пространство локально компактно.
- Любое евклидово пространство <math>\mathbb R^n</math> локально компактно. Это следует из леммы Гейне — Бореля, а также из того факта, что произведение конечного числа компактных пространств компактно.
- Однако никакое бесконечномерное нормированное пространство не является локально компактным.
- Любое топологическое многообразие локально компактно.
- Дискретные пространства локально компактны (иногда их называют многообразиями размерности 0), при этом бесконечные дискретные пространства не являются компактными.
- Любое замкнутое подмножество локально компактного пространства локально компактно.
Свойства
Локально компактное хаусдорфово пространство является вполне регулярным пространством.
Одноточечная компактификация топологического пространства <math>X</math> хаусдорфова тогда и только тогда, когда <math>X</math> локально компактно и хаусдорфово.
Подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно тогда и только тогда, когда существуют замкнутые подмножества A и B, такие что <math>X=A\backslash B</math>. Из этого следует, что плотное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно тогда и только тогда, когда оно открыто. Более того, если подпространство произвольного хаусдорфова пространства локально компактно, то его можно записать в виде разности двух замкнутых подмножеств; обратное утверждение в этом случае уже неверно.
Произведение семейства топологических пространств локально компактно тогда и только тогда, когда все пространства из семейства локально компактны и все они, возможно за исключением конечного числа, компактны.
Образ локально компактного пространства при непрерывном открытом отображении на хаусдорфово пространство локально компактен.
Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств являются компактно порождёнными. Обратно, любое компактно порождённое хаусдорфово пространство является факторпространством некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.
Локально компактные группы
Определение локальной компактности особенно важно при изучении топологических групп, так как на любой хаусдорфовой локально компактной группе можно ввести меру Хаара, позволяющую интегрировать функции на этой группе. Мера Лебега на <math>\R</math> является частным случаем меры Хаара.
Группа, двойственная по Понтрягину к абелевой топологической группе A, локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна. Более точно, категория локально компактных абелевых групп является самодвойственной относительно двойственности Понтрягина. Локально компактные абелевы группы применяются в гармоническом анализе, один из современных разделов которого основывается на их изучении.
Напишите отзыв о статье "Локально компактное пространство"
Примечания
- ↑ О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
- ↑ П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
- ↑ Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Т. М. Фоменко. Введение в топологию. 2-е изд., доп. — М.: Наука. Физматлит., 1995. ISBN 5-02-014118-6.
- ↑ Дж. Л. Келли. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
- ↑ Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Литература
- Энгелькинг Р.[en]. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Отрывок, характеризующий Локально компактное пространство
Ко фронту подъехал полковник, сердито ответил что то на вопросы офицеров и, как человек, отчаянно настаивающий на своем, отдал какое то приказание. Никто ничего определенного не говорил, но по эскадрону пронеслась молва об атаке. Раздалась команда построения, потом визгнули сабли, вынутые из ножен. Но всё еще никто не двигался. Войска левого фланга, и пехота и гусары, чувствовали, что начальство само не знает, что делать, и нерешимость начальников сообщалась войскам.«Поскорее, поскорее бы», думал Ростов, чувствуя, что наконец то наступило время изведать наслаждение атаки, про которое он так много слышал от товарищей гусаров.
– С Богом, г'ебята, – прозвучал голос Денисова, – г'ысыо, маг'ш!
В переднем ряду заколыхались крупы лошадей. Грачик потянул поводья и сам тронулся.
Справа Ростов видел первые ряды своих гусар, а еще дальше впереди виднелась ему темная полоса, которую он не мог рассмотреть, но считал неприятелем. Выстрелы были слышны, но в отдалении.
– Прибавь рыси! – послышалась команда, и Ростов чувствовал, как поддает задом, перебивая в галоп, его Грачик.
Он вперед угадывал его движения, и ему становилось все веселее и веселее. Он заметил одинокое дерево впереди. Это дерево сначала было впереди, на середине той черты, которая казалась столь страшною. А вот и перешли эту черту, и не только ничего страшного не было, но всё веселее и оживленнее становилось. «Ох, как я рубану его», думал Ростов, сжимая в руке ефес сабли.
– О о о а а а!! – загудели голоса. «Ну, попадись теперь кто бы ни был», думал Ростов, вдавливая шпоры Грачику, и, перегоняя других, выпустил его во весь карьер. Впереди уже виден был неприятель. Вдруг, как широким веником, стегнуло что то по эскадрону. Ростов поднял саблю, готовясь рубить, но в это время впереди скакавший солдат Никитенко отделился от него, и Ростов почувствовал, как во сне, что продолжает нестись с неестественною быстротой вперед и вместе с тем остается на месте. Сзади знакомый гусар Бандарчук наскакал на него и сердито посмотрел. Лошадь Бандарчука шарахнулась, и он обскакал мимо.
«Что же это? я не подвигаюсь? – Я упал, я убит…» в одно мгновение спросил и ответил Ростов. Он был уже один посреди поля. Вместо двигавшихся лошадей и гусарских спин он видел вокруг себя неподвижную землю и жнивье. Теплая кровь была под ним. «Нет, я ранен, и лошадь убита». Грачик поднялся было на передние ноги, но упал, придавив седоку ногу. Из головы лошади текла кровь. Лошадь билась и не могла встать. Ростов хотел подняться и упал тоже: ташка зацепилась за седло. Где были наши, где были французы – он не знал. Никого не было кругом.
Высвободив ногу, он поднялся. «Где, с какой стороны была теперь та черта, которая так резко отделяла два войска?» – он спрашивал себя и не мог ответить. «Уже не дурное ли что нибудь случилось со мной? Бывают ли такие случаи, и что надо делать в таких случаях?» – спросил он сам себя вставая; и в это время почувствовал, что что то лишнее висит на его левой онемевшей руке. Кисть ее была, как чужая. Он оглядывал руку, тщетно отыскивая на ней кровь. «Ну, вот и люди, – подумал он радостно, увидав несколько человек, бежавших к нему. – Они мне помогут!» Впереди этих людей бежал один в странном кивере и в синей шинели, черный, загорелый, с горбатым носом. Еще два и еще много бежало сзади. Один из них проговорил что то странное, нерусское. Между задними такими же людьми, в таких же киверах, стоял один русский гусар. Его держали за руки; позади его держали его лошадь.
«Верно, наш пленный… Да. Неужели и меня возьмут? Что это за люди?» всё думал Ростов, не веря своим глазам. «Неужели французы?» Он смотрел на приближавшихся французов, и, несмотря на то, что за секунду скакал только затем, чтобы настигнуть этих французов и изрубить их, близость их казалась ему теперь так ужасна, что он не верил своим глазам. «Кто они? Зачем они бегут? Неужели ко мне? Неужели ко мне они бегут? И зачем? Убить меня? Меня, кого так любят все?» – Ему вспомнилась любовь к нему его матери, семьи, друзей, и намерение неприятелей убить его показалось невозможно. «А может, – и убить!» Он более десяти секунд стоял, не двигаясь с места и не понимая своего положения. Передний француз с горбатым носом подбежал так близко, что уже видно было выражение его лица. И разгоряченная чуждая физиономия этого человека, который со штыком на перевес, сдерживая дыханье, легко подбегал к нему, испугала Ростова. Он схватил пистолет и, вместо того чтобы стрелять из него, бросил им в француза и побежал к кустам что было силы. Не с тем чувством сомнения и борьбы, с каким он ходил на Энский мост, бежал он, а с чувством зайца, убегающего от собак. Одно нераздельное чувство страха за свою молодую, счастливую жизнь владело всем его существом. Быстро перепрыгивая через межи, с тою стремительностью, с которою он бегал, играя в горелки, он летел по полю, изредка оборачивая свое бледное, доброе, молодое лицо, и холод ужаса пробегал по его спине. «Нет, лучше не смотреть», подумал он, но, подбежав к кустам, оглянулся еще раз. Французы отстали, и даже в ту минуту как он оглянулся, передний только что переменил рысь на шаг и, обернувшись, что то сильно кричал заднему товарищу. Ростов остановился. «Что нибудь не так, – подумал он, – не может быть, чтоб они хотели убить меня». А между тем левая рука его была так тяжела, как будто двухпудовая гиря была привешана к ней. Он не мог бежать дальше. Француз остановился тоже и прицелился. Ростов зажмурился и нагнулся. Одна, другая пуля пролетела, жужжа, мимо него. Он собрал последние силы, взял левую руку в правую и побежал до кустов. В кустах были русские стрелки.
