Локально тривиальное расслоение

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Локально тривиальное расслоениерасслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.





Определение

Пусть <math>E</math>, <math>B</math> и <math>F</math> суть топологические пространства. Сюрьективное отображение <math>\pi \colon E\to B</math> называется локально тривиальным расслоением пространства <math>E</math> над базой <math>B</math> со слоем <math>F</math>  если для всякой точки базы <math>x\in B</math> существует окрестность <math>U \sub B</math>, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм <math>\phi\colon \pi^{-1}(U)\to U\times F</math>, такой что коммутативна диаграмма

.

Здесь <math>\mathrm{proj_1}:\, U\times F \to U</math> — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство <math>E</math> также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения

  • Сечение расслоения — это отображение <math>s: B \to E</math>, такое что <math>\pi \circ s = \mathrm{id}_B</math>. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть <math>M</math> — многообразие, а <math>E \to M</math> — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении <math>TM</math>. Тогда сечение расслоения <math>E</math> — это векторное поле без нулей на <math>M</math>. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
  • Множество <math>F_x = \pi^{-1}\{x\}</math> называется слоем расслоения <math>\pi</math> над точкой <math>x\in B</math>. Каждый слой гомеоморфен пространству <math>F</math>, поэтому пространство <math>F</math> называется общим (или модельным) слоем расслоения <math>\pi</math>,
  • Гомеоморфизм <math>\varphi</math>, отождествляющий ограничение расслоения <math>\pi</math> над окрестностью точки <math>x</math> с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения <math>\pi</math> над окрестностью точки <math>x</math>.
  • Если <math>\{U_{\alpha}\}</math> — покрытие базы <math>B</math> открытыми множествами, и <math>\varphi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha}) \to U_{\alpha}\times F</math> — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство <math>\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}</math> называется тривиализующим атласом расслоения <math>\pi:E\to B</math>.
  • Предположим локально тривиальное расслоение <math>\pi:E\to B</math> снабжено покрытием <math>\{U_\alpha\}</math> базы <math>B</math> с выделенной тривиализацией <math>\phi_\alpha : U_\alpha\times F\to \pi^{-1}(U_\alpha)</math> и сужение любого отображения сличения <math>\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta</math> на слой принадлежит некоторой подгруппе <math>G</math> группы всех автоморфизмов <math>F</math>. Тогда <math>\pi</math> называется локально тривиальным расслоением со структурной группой <math>G</math>.

Примеры

  • Тривиальное расслоение, то есть проекция <math>B\times F\to B</math> на первый сомножитель.
  • Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
  • Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
  • Если на пространстве <math>E</math> задано непрерывное свободное действие группы <math>G</math>, то естественное отображение <math>E\to E/G</math> является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
  • Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
  • Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение <math>S^3 \to S^2=S^3/S^1</math>. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой <math>U(1)</math>, а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
  • Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство <math>B</math>), общий слой (пространство <math>F</math>) и отображения перехода (1-коцикл Чеха <math>\{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}</math>) для какого-нибудь открытого покрытия пространства <math>B</math>. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида <math>\{(\alpha, x, f_{\alpha}):\,x\in U_{\alpha},\, f_{\alpha}\in F\}</math> с правилом отождествления:
<math>(\alpha, x, f_{\alpha}) = (\beta, x, f_{\beta})</math>, если <math>f_{\beta} = u_{\beta\alpha}f_{\alpha}</math>

Свойства

  • Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы <math>\pi: E\to B</math> — локально тривиальное расслоение, отображения <math>g\colon M\to B</math> и <math>f\colon M \to E</math>, так что <math>g = \pi \circ f</math>, и гомотопия <math>\tilde g\colon M\times [0;1] \to B</math> отображения <math>g</math> (<math>\tilde g(m,0) = g(m)</math>). Тогда существует гомотопия <math>\tilde f\colon M\times [0;1] \to E</math> отображения <math>f</math>, такая что диаграмма коммутативна
<math>\begin{matrix}

M\times [0;1] \! && \stackrel{\tilde f}{\longrightarrow} \! && E \\ \\

 && \tilde g \searrow  && \downarrow \pi \\

\\

 &&  && B
\end{matrix}</math>
  • Пусть имеется локально тривиальное расслоение <math>E\to B</math> со слоем <math>F</math> (иногда записываемое формально как <math>F\to E \to B</math>). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
<math>\dots \to \pi_2(F) \to \pi_2(E) \to \pi_2(B) \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F)</math>
  • Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
Если <math>x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\gamma}</math>, то <math>u_{\beta\alpha}(x) = u_{\beta\gamma}(x)\circ u_{\gamma\alpha}(x)</math>.
  • Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа <math>\mathrm{Aut}\, F</math> некоммутативна, одномерные когомологии <math>H^1(B,\mathrm{Aut}\, F)</math> не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха <math>C^0(B,\mathrm{Aut}\, F)</math>:
    <math>u_{\alpha\beta}'(x) = f_{\alpha}(x)\circ u_{\alpha\beta}(x) \circ f_{\beta}(x)^{-1}</math>,
где <math>\{f_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}</math> — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха <math>\{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta}\to \mathrm{Aut}\, F\}</math>. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)
  • Для любого локально тривиального расслоения <math>\pi:X\to B</math> и непрерывного отображения <math>f:B'\to B</math> индуцированное расслоение <math>f^*(\pi)</math> является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

  • Если пространства <math>E, B, F</math> — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение <math>\pi</math> — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
  • Расслоение называется голоморфным, если пространства <math>E, B, F</math> — комплексные многообразия, отображение <math>\pi</math> — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
  • Главное расслоение.

См. Также

Напишите отзыв о статье "Локально тривиальное расслоение"

Литература

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.


Отрывок, характеризующий Локально тривиальное расслоение

Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»
Носилки тронулись. При каждом толчке он опять чувствовал невыносимую боль; лихорадочное состояние усилилось, и он начинал бредить. Те мечтания об отце, жене, сестре и будущем сыне и нежность, которую он испытывал в ночь накануне сражения, фигура маленького, ничтожного Наполеона и над всем этим высокое небо, составляли главное основание его горячечных представлений.
Тихая жизнь и спокойное семейное счастие в Лысых Горах представлялись ему. Он уже наслаждался этим счастием, когда вдруг являлся маленький Напoлеон с своим безучастным, ограниченным и счастливым от несчастия других взглядом, и начинались сомнения, муки, и только небо обещало успокоение. К утру все мечтания смешались и слились в хаос и мрак беспамятства и забвения, которые гораздо вероятнее, по мнению самого Ларрея, доктора Наполеона, должны были разрешиться смертью, чем выздоровлением.
– C'est un sujet nerveux et bilieux, – сказал Ларрей, – il n'en rechappera pas. [Это человек нервный и желчный, он не выздоровеет.]
Князь Андрей, в числе других безнадежных раненых, был сдан на попечение жителей.


В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.
«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.