Лямбда-матрицы

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени <math>\ l</math>, и нет элементов матрицы степени большей чем <math>\ l</math>, то <math>\ l</math> — степень λ-матрицы.

<math>A\left(\lambda\right)=

\begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & \cdots & a_{nn}(\lambda) \end{bmatrix}, a_{ij}(\lambda)=a_{ij}^{(l)}\lambda^l+a_{ij}^{(l-1)}\lambda^{l-1}+\cdots+a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)}.</math> Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

<math>A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0.</math>

В случае если определитель матрицы <math>\ A_l</math> отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример:

<math>A\left(\lambda\right)= \begin{bmatrix} \lambda^4+\lambda^2+\lambda-1 & \lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 \\ 2\lambda^3-\lambda & 2\lambda^2+2\lambda \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\lambda^4+ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\lambda^3+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\lambda^2+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\lambda+ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.</math>

Отметим, что матрица нерегулярна.

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение λ-матриц

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть <math>A\left(\lambda\right)</math> и <math>B\left(\lambda\right)</math> — λ-матрицы порядков <math>\ l</math> и <math>\ m</math> соответственно, и <math>\ k=max(l,m)</math>, тогда

<math>A\left(\lambda\right)=A_k\lambda^k+A_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0</math>;

<math>B\left(\lambda\right)=B_k\lambda^k+B_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+B_1\lambda+B_0</math>,

где хотя-бы одна из матриц <math>\ A_k, B_k</math> — ненулевая, имеем

<math>A\left(\lambda\right)+B\left(\lambda\right)=(A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\cdots+(A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0)</math>;

<math>A\left(\lambda\right)B\left(\lambda\right)=A_kB_k\lambda^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda^{2k-1}+\cdots+(A_1B_0+A_0B_1)\lambda+(A_0B_0)</math>;

Деление λ-матриц

Предположим, что <math>\ B(\lambda)</math> — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы <math>\ Q(\lambda), R(\lambda)</math> с <math>\ R(\lambda)\equiv 0</math> или со степенью <math>\ R(\lambda)</math>, меньшей степени <math>\ B(\lambda)</math>, что

<math>\ A(\lambda)=Q(\lambda)B(\lambda)+R(\lambda)</math>.

В этом случае <math>\ Q(\lambda)</math> называется правым частным <math>\ A(\lambda)</math> при делении на <math>\ B(\lambda)</math>, а <math>\ R(\lambda)</math> — правым остатком. Подобно этому <math>\hat Q(\lambda)</math> и <math>\hat R(\lambda)</math> — левое частное и левый остаток при делении <math>\ A(\lambda)</math> на <math>\ B(\lambda)</math>, если

<math>A(\lambda)=B(\lambda)\hat Q(\lambda)+\hat R(\lambda)</math>

и <math>\hat R(\lambda)\equiv 0</math> или степень <math>\hat R(\lambda)</math> меньше степени <math>\ B(\lambda)</math>.

Если правый (левый) остаток равен 0, то <math>\ Q(\lambda)</math>   <math>(\hat Q(\lambda))</math> называется правым (левым) делителем <math>\ A(\lambda)</math> при делении на <math>\ B(\lambda)</math>.

Если <math>\ B(\lambda)</math> — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении <math>\ A(\lambda)</math> на <math>\ B(\lambda)</math> существуют и единственны.

Доказательство  

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

<math>a_l\lambda^l+a_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=\lambda^la_l+\lambda^{l-1}a_{l-1}+\cdots+\lambda a_1+a_0</math>,

поэтому мы определяем правое значение <math>\ A(B)</math> λ-матрицы <math>\ A(\lambda)</math> в матрице <math>\ B</math> как

<math>A\left(B\right)=A_lB^l+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots+A_1B+A_0</math>, если <math>A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0</math>;

и левое значение <math>\hat A(B)</math> как

<math>\hat A\left(B\right)=B^lA_l+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots+B A_1+A_0</math>,

и в общем случае <math>A(B) \ne\hat A(B)</math>.

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:

Теорема Безу для λ-матриц Правым и левым остатком от деления λ-матрицы <math>\ A(\lambda)</math> на <math>\ \lambda E-B</math>, где <math>\ E</math> — единичная матрица является <math>\ A(B)</math> и <math>\hat A(B)</math> соответственно.

Доказательство  

Разложение на множители

<math>\ \lambda^jE-B^j=(\lambda^{j-1}E+\lambda^{j-2}B+\cdots+\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B)</math>

может быть непосредственно проверено выполнением раскрытия скобок. Умножим обе части этого равенства на <math>\ A_{l-j}</math> слева и сложим все полученные равенства при <math>\ j=1,\cdots,l</math>. Правая часть полученного равенства будет иметь вид <math>\ C(\lambda)(\lambda E-B)</math>, где <math>\ C(\lambda)</math> — некоторая λ-матрица.

Левая часть равенства

<math>\sum_{j=1}^l\lambda^jA_{l-j}-\sum_{j=1}^lA_{l-j}B^j=\sum_{j=0}^l\lambda^jA_{l-j}-\sum_{j=0}^lA_{l-j}B^j=A(\lambda)-A(B)</math>.

Таким образом

<math>\ A(\lambda)=C(\lambda)(\lambda E-B)+A(B)</math>.

Результат теперь следует из единственности правого остатка.

Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на <math>\ A_{l-j}</math> справа и суммированием.

Следствие Для того чтобы λ-матрица <math>\ A(\lambda)</math> делилась без остатка на <math>\ \lambda E-B</math> справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы <math>\ A(B)=0</math>    <math>\left(\hat A(B)=0\right)</math>.

См. также

• Матрица (математика)
• Категория:Функции от матриц
• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Теорема Гамильтона-Кэли

Литература

• Гантмахер Ф. Р.[eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gantmaxer_matric_1966ru.djvu Теория матриц (2-е изд.).] М.: Наука, 1966
• Ланкастер П. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lankaster1973ru.djvu Теория матриц] М.: Наука, 1973

Отрывок, характеризующий Лямбда-матрицы

– Что ж вы не начинаете, Михаил Ларионович? – поспешно обратился император Александр к Кутузову, в то же время учтиво взглянув на императора Франца.
– Я поджидаю, ваше величество, – отвечал Кутузов, почтительно наклоняясь вперед.
Император пригнул ухо, слегка нахмурясь и показывая, что он не расслышал.
– Поджидаю, ваше величество, – повторил Кутузов (князь Андрей заметил, что у Кутузова неестественно дрогнула верхняя губа, в то время как он говорил это поджидаю ). – Не все колонны еще собрались, ваше величество.
Государь расслышал, но ответ этот, видимо, не понравился ему; он пожал сутуловатыми плечами, взглянул на Новосильцева, стоявшего подле, как будто взглядом этим жалуясь на Кутузова.
– Ведь мы не на Царицыном лугу, Михаил Ларионович, где не начинают парада, пока не придут все полки, – сказал государь, снова взглянув в глаза императору Францу, как бы приглашая его, если не принять участие, то прислушаться к тому, что он говорит; но император Франц, продолжая оглядываться, не слушал.
– Потому и не начинаю, государь, – сказал звучным голосом Кутузов, как бы предупреждая возможность не быть расслышанным, и в лице его еще раз что то дрогнуло. – Потому и не начинаю, государь, что мы не на параде и не на Царицыном лугу, – выговорил он ясно и отчетливо.
В свите государя на всех лицах, мгновенно переглянувшихся друг с другом, выразился ропот и упрек. «Как он ни стар, он не должен бы, никак не должен бы говорить этак», выразили эти лица.
Государь пристально и внимательно посмотрел в глаза Кутузову, ожидая, не скажет ли он еще чего. Но Кутузов, с своей стороны, почтительно нагнув голову, тоже, казалось, ожидал. Молчание продолжалось около минуты.
– Впрочем, если прикажете, ваше величество, – сказал Кутузов, поднимая голову и снова изменяя тон на прежний тон тупого, нерассуждающего, но повинующегося генерала.
Он тронул лошадь и, подозвав к себе начальника колонны Милорадовича, передал ему приказание к наступлению.
Войско опять зашевелилось, и два батальона Новгородского полка и батальон Апшеронского полка тронулись вперед мимо государя.
В то время как проходил этот Апшеронский батальон, румяный Милорадович, без шинели, в мундире и орденах и со шляпой с огромным султаном, надетой набекрень и с поля, марш марш выскакал вперед и, молодецки салютуя, осадил лошадь перед государем.
– С Богом, генерал, – сказал ему государь.
– Ma foi, sire, nous ferons ce que qui sera dans notre possibilite, sire, [Право, ваше величество, мы сделаем, что будет нам возможно сделать, ваше величество,] – отвечал он весело, тем не менее вызывая насмешливую улыбку у господ свиты государя своим дурным французским выговором.
Милорадович круто повернул свою лошадь и стал несколько позади государя. Апшеронцы, возбуждаемые присутствием государя, молодецким, бойким шагом отбивая ногу, проходили мимо императоров и их свиты.
– Ребята! – крикнул громким, самоуверенным и веселым голосом Милорадович, видимо, до такой степени возбужденный звуками стрельбы, ожиданием сражения и видом молодцов апшеронцев, еще своих суворовских товарищей, бойко проходивших мимо императоров, что забыл о присутствии государя. – Ребята, вам не первую деревню брать! – крикнул он.
– Рады стараться! – прокричали солдаты.
Лошадь государя шарахнулась от неожиданного крика. Лошадь эта, носившая государя еще на смотрах в России, здесь, на Аустерлицком поле, несла своего седока, выдерживая его рассеянные удары левой ногой, настораживала уши от звуков выстрелов, точно так же, как она делала это на Марсовом поле, не понимая значения ни этих слышавшихся выстрелов, ни соседства вороного жеребца императора Франца, ни всего того, что говорил, думал, чувствовал в этот день тот, кто ехал на ней.
Государь с улыбкой обратился к одному из своих приближенных, указывая на молодцов апшеронцев, и что то сказал ему.


Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.