Магнитостатика

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Никола Тесла Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

См. также: Портал:Физика

Магнитоста́тика  — раздел классической электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных токов посредством создаваемого ими постоянного магнитного поля и способы расчета магнитного поля в этом случае. Под случаем магнитостатики или приближением магнитостатики понимают выполнение этих условий (постоянства токов и полей — или достаточно медленное их изменение со временем), чтобы можно было пользоваться методами магнитостатики в качестве практически точных или хотя бы приближенных. Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой частный случай (или приближение) классической электродинамики; их можно использовать совместно и независимо (расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей — в отличие от общего электродинамического случая).

Основные уравнения

Все основные уравнения магнитостатики линейны (как и классической электродинамики вообще, частным случаем которой магнитостатика является). Это подразумевает важную роль в магнитостатике (тоже как и во всей электродинамике) принципа суперпозиции.

• Принцип суперпозиции для магнитостатики может быть сформулирован так: Магнитное поле, создаваемое несколькими токами, есть векторная сумма полей, которые бы создавались каждым из этих токов по отдельности.

Этот принцип одинаково формулируется и в принципе одинаково используется для вектора магнитной индукции и для векторного потенциала и применяется при расчетах повсеместно. Особенно очевидным и прямым образом это проявляется, когда при применении закона Био — Савара (см. ниже) для расчета магнитного поля <math>\vec{B}</math> производится суммирование (интегрирование) бесконечно малых вкладов <math>d\vec{B}</math>, создаваемых каждым бесконечно малым элементом тока, текущих в разных точках пространства (точно так же и при применении варианта этого закона для векторного потенциала).

Основные уравнения, используемые в магнитостатике:

• Закон Био — Савара — Лапласа (величина магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока)

  <math>d\vec{B} = \frac{I}{c}\frac{\left[\vec{dl}\times\vec r\right]}{r^3}</math>

  <math>d\vec{B} = \frac{1}{c}\frac{\left[\vec{j} dV\times\vec r\right]}{r^3}</math>

• Теорема о циркуляции магнитного поля

  <math>\oint\vec B\cdot\vec{dl} = \frac{4\pi}{c} I

\equiv \frac{4\pi}{c} \int \vec j\cdot\vec{dS}</math>

• она же в дифференциальной форме:

  <math>\mathrm{rot}\vec B = \frac{4\pi}{c}\vec j</math>

• Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле)

  <math>\vec F = \frac{q}{c}\left[\vec v\times\vec B\right]</math>

• Выражение для силы Ампера (силы, с которой на элемент тока действует магнитное поле)

  <math>d\vec{F} = \frac{I}{c}\left[\vec{dl}\times\vec B\right]</math>

(уравнения выше записаны в гауссовой системе единиц); в других системах единиц эти формулы отличаются только постоянными коэффициентами, например:

в системе СИ  

В системе СИ эти уравнения (также для вакуума) выглядят вот как:

• Закон Био — Савара — Лапласа:

  <math>d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\left[I\vec{dl}\times\vec r\right]}{r^3}</math>

  <math>d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\left[\vec{j}dV\times\vec r\right]}{r^3}</math>

• Теорема о циркуляции магнитного поля:

  <math>\oint\vec B\cdot\vec{dl} =

\mu_0 I \equiv \mu_0 \int \vec j\cdot\vec{dS}</math>

• она же в дифференциальной форме:

  <math>\mathrm{rot}\vec B = \mu_0\vec j</math>

• Сила Лоренца:

  <math>\vec F = q\left[\vec v\times\vec B\right]</math>

• Сила Ампера:

  <math>d\vec{F} = I\left[\vec{dl}\times\vec B\right]</math>

Здесь <math>\vec{B}</math> — вектор магнитной индукции, I — сила тока в проводнике (а в теореме о циркуляции — суммарный ток через поверхность), <math>\vec{dl}</math> — элемент проводника (в теореме о циркуляции — элемент контура интегрирования), <math>\vec{r}</math> — радиус-вектор, проведённый из элемента тока в точку, в которой определяется магнитное поле, <math>\vec{j}</math> — плотность тока, <math>q, \vec{v}</math> — величина заряда и скорость заряженной частицы.

• Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, делающим аналогию магнитостатики с электростатикой более детальной и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля (например, магнитом или катушкой), так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Уравнения магнитостатики в среде

Уравнения «для вакуума», приведенные в начале статьи, являются наиболее фундаментальными и простыми (в принципе) уравнениями магнитостатики.

Однако если речь идет о вычислении магнитного поля в среде магнетика, более удобными для практических вычислений, а до некоторой степени и в теоретическом плане, являются менее фундаментальные, однако хорошо приспособленные к этой ситуации, так называемые уравнения для среды (или в среде).

• Говоря о терминологии, следует заметить, что термины уравнения для вакуума и уравнения для среды можно считать в заметной мере условными, однако эта терминология имеет довольно ясное оправдание (см. предыдущее примечание); кроме того, она достаточно устоявшаяся и поэтому не приводит к путанице.

Итак, уравнения для среды используются в магнитостатике для того, чтобы исследовать магнитное поле в случае, когда всё пространство или некоторые его области заполнено магнитной средой (магнетиками). Подразумевается обычно, что среда рассматривается макроскопически (то есть микроскопические поля — поля на атомных масштабах — усредняются, атомные, молекулярные токи и магнитные моменты также рассматриваются только в их совокупности). На микроскопическом уровне действуют фундаментальные уравнения для вакуума, описанные в статье выше, поэтому в контексте исследования в среде уравнения для ваккма называются также микроскопическими уравнениями в противоположность самим макроскопическим уравнениям для поля в среде.

Формулы для действия поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера) для случая магнитных сред сохраняются полностью неизменными, такими же, как и для вакуума.

Что касается остальных уравнений, они претерпевают для среды определенные изменения по сравнению с вакуумом (имеются в виду, конечно, макроскопические уравнения, микроскопические остаются теми же, что и для вакуума).

В принципе, можно вводить эти изменения по-разному, но весьма общий, традиционный и удобный подход, являющийся общепринятым и стандартным : записать уравнения с использованием вспомогательной физической величины напряженность магнитного поля <math>\vec H</math>, специально вводимой в этом случае.

<math>\vec H= \frac{1}{\mu_0}\vec B - \vec M</math>, где <math>\mu_0</math>

— в системе СИ,

<math>\vec H = \vec B - 4\pi \vec M</math>

— в системе СГС.

• Здесь <math>\vec M</math> — вектор намагниченности, характеризующий магнитную поляризацию среды.

Смысл её введения состоит в том, что с её помощью можно переписать все основные уравнения в виде, очень похожем на тот, что имеют фундаментальные уравнения (для вакуума), а всё касающееся реальной среды поместить по возможности в отдельное уравнение, что позволяет лучше логически структурировать задачу. В сравнительно простых, но важных случаях, к которым относится и практически вся магнитостатика, это удается сделать настолько хорошо, что, в принципе, действительно всё, касающееся конкретной среды, оказывается полностью спрятано в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу) вида <math>\vec M = f(\vec H)</math> (для случая ферромагнетиков, если требовать точности описания, несколько сложнее, но ненамного).

При этом, что также ценно, уравнения для вакуума становятся частным случаем уравнений для среды (случаем среды с всегда нулевой намагниченностью).

• В простейшем, но практически важном случае линейного отклика среды на намагничивающее поле, <math>\vec B</math> просто пропорционально <math>\vec H</math>, а если среда изотропна по своим магнитным свойствам, то это сводится просто к умножению на число:

<math>\vec B = \mu_0\mu\vec H</math>

в СИ.

Основные уравнения магнитостатики для среды (в системе СИ)  

• Закон Био — Савара — Лапласа:

  <math>d\vec{H} = \frac{1}{4\pi}\frac{\left[I\vec{dl}\times\vec r\right]}{r^3}</math>

  <math>d\vec{H} = \frac{1}{4\pi}\frac{\left[\vec{j}dV\times\vec r\right]}{r^3}</math>

• Теорема о циркуляции магнитного поля:

  <math>\oint\vec H\cdot\vec{dl} =

I \equiv \int \vec j\cdot\vec{dS}</math>

• она же в дифференциальной форме:

  <math>\mathrm{rot}\vec H = \vec j</math>

• Сила Лоренца (точно так же, как для вакуума):

  <math>\vec F = q\left[\vec v\times\vec B\right]</math>

• Сила Ампера (точно так же, как для вакуума):

  <math>d\vec{F} = I\left[\vec{dl}\times\vec B\right]</math>

Отрывок, характеризующий Магнитостатика

Человек без убеждений, без привычек, без преданий, без имени, даже не француз, самыми, кажется, странными случайностями продвигается между всеми волнующими Францию партиями и, не приставая ни к одной из них, выносится на заметное место.
Невежество сотоварищей, слабость и ничтожество противников, искренность лжи и блестящая и самоуверенная ограниченность этого человека выдвигают его во главу армии. Блестящий состав солдат итальянской армии, нежелание драться противников, ребяческая дерзость и самоуверенность приобретают ему военную славу. Бесчисленное количество так называемых случайностей сопутствует ему везде. Немилость, в которую он впадает у правителей Франции, служит ему в пользу. Попытки его изменить предназначенный ему путь не удаются: его не принимают на службу в Россию, и не удается ему определение в Турцию. Во время войн в Италии он несколько раз находится на краю гибели и всякий раз спасается неожиданным образом. Русские войска, те самые, которые могут разрушить его славу, по разным дипломатическим соображениям, не вступают в Европу до тех пор, пока он там.
По возвращении из Италии он находит правительство в Париже в том процессе разложения, в котором люди, попадающие в это правительство, неизбежно стираются и уничтожаются. И сам собой для него является выход из этого опасного положения, состоящий в бессмысленной, беспричинной экспедиции в Африку. Опять те же так называемые случайности сопутствуют ему. Неприступная Мальта сдается без выстрела; самые неосторожные распоряжения увенчиваются успехом. Неприятельский флот, который не пропустит после ни одной лодки, пропускает целую армию. В Африке над безоружными почти жителями совершается целый ряд злодеяний. И люди, совершающие злодеяния эти, и в особенности их руководитель, уверяют себя, что это прекрасно, что это слава, что это похоже на Кесаря и Александра Македонского и что это хорошо.
Тот идеал славы и величия, состоящий в том, чтобы не только ничего не считать для себя дурным, но гордиться всяким своим преступлением, приписывая ему непонятное сверхъестественное значение, – этот идеал, долженствующий руководить этим человеком и связанными с ним людьми, на просторе вырабатывается в Африке. Все, что он ни делает, удается ему. Чума не пристает к нему. Жестокость убийства пленных не ставится ему в вину. Ребячески неосторожный, беспричинный и неблагородный отъезд его из Африки, от товарищей в беде, ставится ему в заслугу, и опять неприятельский флот два раза упускает его. В то время как он, уже совершенно одурманенный совершенными им счастливыми преступлениями, готовый для своей роли, без всякой цели приезжает в Париж, то разложение республиканского правительства, которое могло погубить его год тому назад, теперь дошло до крайней степени, и присутствие его, свежего от партий человека, теперь только может возвысить его.
Он не имеет никакого плана; он всего боится; но партии ухватываются за него и требуют его участия.
Он один, с своим выработанным в Италии и Египте идеалом славы и величия, с своим безумием самообожания, с своею дерзостью преступлений, с своею искренностью лжи, – он один может оправдать то, что имеет совершиться.
Он нужен для того места, которое ожидает его, и потому, почти независимо от его воли и несмотря на его нерешительность, на отсутствие плана, на все ошибки, которые он делает, он втягивается в заговор, имеющий целью овладение властью, и заговор увенчивается успехом.
Его вталкивают в заседание правителей. Испуганный, он хочет бежать, считая себя погибшим; притворяется, что падает в обморок; говорит бессмысленные вещи, которые должны бы погубить его. Но правители Франции, прежде сметливые и гордые, теперь, чувствуя, что роль их сыграна, смущены еще более, чем он, говорят не те слова, которые им нужно бы было говорить, для того чтоб удержать власть и погубить его.
Случайность, миллионы случайностей дают ему власть, и все люди, как бы сговорившись, содействуют утверждению этой власти. Случайности делают характеры тогдашних правителей Франции, подчиняющимися ему; случайности делают характер Павла I, признающего его власть; случайность делает против него заговор, не только не вредящий ему, но утверждающий его власть. Случайность посылает ему в руки Энгиенского и нечаянно заставляет его убить, тем самым, сильнее всех других средств, убеждая толпу, что он имеет право, так как он имеет силу. Случайность делает то, что он напрягает все силы на экспедицию в Англию, которая, очевидно, погубила бы его, и никогда не исполняет этого намерения, а нечаянно нападает на Мака с австрийцами, которые сдаются без сражения. Случайность и гениальность дают ему победу под Аустерлицем, и случайно все люди, не только французы, но и вся Европа, за исключением Англии, которая и не примет участия в имеющих совершиться событиях, все люди, несмотря на прежний ужас и отвращение к его преступлениям, теперь признают за ним его власть, название, которое он себе дал, и его идеал величия и славы, который кажется всем чем то прекрасным и разумным.
Как бы примериваясь и приготовляясь к предстоящему движению, силы запада несколько раз в 1805 м, 6 м, 7 м, 9 м году стремятся на восток, крепчая и нарастая. В 1811 м году группа людей, сложившаяся во Франции, сливается в одну огромную группу с серединными народами. Вместе с увеличивающейся группой людей дальше развивается сила оправдания человека, стоящего во главе движения. В десятилетний приготовительный период времени, предшествующий большому движению, человек этот сводится со всеми коронованными лицами Европы. Разоблаченные владыки мира не могут противопоставить наполеоновскому идеалу славы и величия, не имеющего смысла, никакого разумного идеала. Один перед другим, они стремятся показать ему свое ничтожество. Король прусский посылает свою жену заискивать милости великого человека; император Австрии считает за милость то, что человек этот принимает в свое ложе дочь кесарей; папа, блюститель святыни народов, служит своей религией возвышению великого человека. Не столько сам Наполеон приготовляет себя для исполнения своей роли, сколько все окружающее готовит его к принятию на себя всей ответственности того, что совершается и имеет совершиться. Нет поступка, нет злодеяния или мелочного обмана, который бы он совершил и который тотчас же в устах его окружающих не отразился бы в форме великого деяния. Лучший праздник, который могут придумать для него германцы, – это празднование Иены и Ауерштета. Не только он велик, но велики его предки, его братья, его пасынки, зятья. Все совершается для того, чтобы лишить его последней силы разума и приготовить к его страшной роли. И когда он готов, готовы и силы.
Нашествие стремится на восток, достигает конечной цели – Москвы. Столица взята; русское войско более уничтожено, чем когда нибудь были уничтожены неприятельские войска в прежних войнах от Аустерлица до Ваграма. Но вдруг вместо тех случайностей и гениальности, которые так последовательно вели его до сих пор непрерывным рядом успехов к предназначенной цели, является бесчисленное количество обратных случайностей, от насморка в Бородине до морозов и искры, зажегшей Москву; и вместо гениальности являются глупость и подлость, не имеющие примеров.
Нашествие бежит, возвращается назад, опять бежит, и все случайности постоянно теперь уже не за, а против него.
Совершается противодвижение с востока на запад с замечательным сходством с предшествовавшим движением с запада на восток. Те же попытки движения с востока на запад в 1805 – 1807 – 1809 годах предшествуют большому движению; то же сцепление и группу огромных размеров; то же приставание серединных народов к движению; то же колебание в середине пути и та же быстрота по мере приближения к цели.
Париж – крайняя цель достигнута. Наполеоновское правительство и войска разрушены. Сам Наполеон не имеет больше смысла; все действия его очевидно жалки и гадки; но опять совершается необъяснимая случайность: союзники ненавидят Наполеона, в котором они видят причину своих бедствий; лишенный силы и власти, изобличенный в злодействах и коварствах, он бы должен был представляться им таким, каким он представлялся им десять лет тому назад и год после, – разбойником вне закона. Но по какой то странной случайности никто не видит этого. Роль его еще не кончена. Человека, которого десять лет тому назад и год после считали разбойником вне закона, посылают в два дня переезда от Франции на остров, отдаваемый ему во владение с гвардией и миллионами, которые платят ему за что то.


Движение народов начинает укладываться в свои берега. Волны большого движения отхлынули, и на затихшем море образуются круги, по которым носятся дипломаты, воображая, что именно они производят затишье движения.
Но затихшее море вдруг поднимается. Дипломатам кажется, что они, их несогласия, причиной этого нового напора сил; они ждут войны между своими государями; положение им кажется неразрешимым. Но волна, подъем которой они чувствуют, несется не оттуда, откуда они ждут ее. Поднимается та же волна, с той же исходной точки движения – Парижа. Совершается последний отплеск движения с запада; отплеск, который должен разрешить кажущиеся неразрешимыми дипломатические затруднения и положить конец воинственному движению этого периода.
Человек, опустошивший Францию, один, без заговора, без солдат, приходит во Францию. Каждый сторож может взять его; но, по странной случайности, никто не только не берет, но все с восторгом встречают того человека, которого проклинали день тому назад и будут проклинать через месяц.
Человек этот нужен еще для оправдания последнего совокупного действия.
Действие совершено. Последняя роль сыграна. Актеру велено раздеться и смыть сурьму и румяны: он больше не понадобится.
И проходят несколько лет в том, что этот человек, в одиночестве на своем острове, играет сам перед собой жалкую комедию, мелочно интригует и лжет, оправдывая свои деяния, когда оправдание это уже не нужно, и показывает всему миру, что такое было то, что люди принимали за силу, когда невидимая рука водила им.
Распорядитель, окончив драму и раздев актера, показал его нам.
– Смотрите, чему вы верили! Вот он! Видите ли вы теперь, что не он, а Я двигал вас?
Но, ослепленные силой движения, люди долго не понимали этого.
Еще большую последовательность и необходимость представляет жизнь Александра I, того лица, которое стояло во главе противодвижения с востока на запад.
Что нужно для того человека, который бы, заслоняя других, стоял во главе этого движения с востока на запад?
Нужно чувство справедливости, участие к делам Европы, но отдаленное, не затемненное мелочными интересами; нужно преобладание высоты нравственной над сотоварищами – государями того времени; нужна кроткая и привлекательная личность; нужно личное оскорбление против Наполеона. И все это есть в Александре I; все это подготовлено бесчисленными так называемыми случайностями всей его прошедшей жизни: и воспитанием, и либеральными начинаниями, и окружающими советниками, и Аустерлицем, и Тильзитом, и Эрфуртом.
Во время народной войны лицо это бездействует, так как оно не нужно. Но как скоро является необходимость общей европейской войны, лицо это в данный момент является на свое место и, соединяя европейские народы, ведет их к цели.
Цель достигнута. После последней войны 1815 года Александр находится на вершине возможной человеческой власти. Как же он употребляет ее?
Александр I, умиротворитель Европы, человек, с молодых лет стремившийся только к благу своих народов, первый зачинщик либеральных нововведений в своем отечестве, теперь, когда, кажется, он владеет наибольшей властью и потому возможностью сделать благо своих народов, в то время как Наполеон в изгнании делает детские и лживые планы о том, как бы он осчастливил человечество, если бы имел власть, Александр I, исполнив свое призвание и почуяв на себе руку божию, вдруг признает ничтожность этой мнимой власти, отворачивается от нее, передает ее в руки презираемых им и презренных людей и говорит только: