Малая теорема Ферма

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — теорема теории чисел, которая утверждает, что:

Если <math>p</math> — простое число и <math>a</math> — целое число, не делящееся на <math>p,</math> то <math> a^{p-1}-1</math> делится на <math>p</math>, то есть <math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p </math> .

Иначе говоря:

<math>a^{p-1}</math> сравнимо с 1 по простому модулю <math>p</math>.

К примеру, если <math>a = 2; p = 7,</math> то <math>2^6 = 64,</math> и <math>64-1 = 63 = 7 \cdot 9.</math>

Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кармайкла и теоремы Лагранжа для групп для конечных циклических групп. Теорему высказал без доказательства Пьер Ферма, первое доказательство дали Леонард Эйлер и Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Малая теорема Ферма стала одной из главных теорем для исследований не только в теории целых чисел, но и в более широких областях.

История

Пьер Ферма сформулировал исходное утверждение теоремы к 1640 году. «Меня озарило ярким светом», — писал Ферма, впервые сообщая об этом своем открытии в письме (1640). Интересно, что данная фраза — «mi par di veder un gran lume» написана по-итальянски, хотя всё письмо на французском языке.

Письмо от 18 октября 1640 года Пьера Ферма к французскому математику Бернару Френиклю (фр. Bernard Frénicle de Bessy) содержало следующее положение:

Каждое простое число делит [в оригинале — «измеряет»] одну из степеней любой прогрессии минус 1, для которой показатель степени является делителем данного простого числа минус 1; и после того, как была найдена первая степень, удовлетворяющая этому свойству, все числа, имеющие показатели степени, кратные показателю первой, удовлетворяют тому же свойству.

Оригинальный текст (фр.)  

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances −1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné −1; et, après qu’on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l’exposant de la première satisfont tout de même à la question.

В качестве примера Ферма приводит прогрессию 3, 9, 27, 81, 243, 729… и простое число 13. 13 делит 27 − 1 (показатель степени для 27 равен 3, а 3 делит 13 − 1), из чего следует, что 13 также делит 729 − 1 (показатель степени для 729 равен 6 и кратен 3).

Сам Ферма оставил свою теорему без доказательства. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, из рукописей которого следует, что доказательство ему было известно до 1683 года. Лейбниц не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо. Однако работа Лейбница не была опубликована, и доказательство в 1736 году обнародовал Эйлер в статье Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio. Доказательство малой теоремы Ферма, основанное на том, что если <math>x</math> пробегает полную систему вычетов по модулю <math>p</math>, то для любого <math>a: (a, p) = 1</math> произведение <math>ax</math> также пробегает полную систему вычетов по модулю <math>p</math>, было опубликовано в 1806 году Джеймсом Айвори.

Альтернативная формулировка

Следующая формулировка отличается отсутствием требования, чтобы число <math>a</math> не делилось на <math>p</math>:

Если <math>p</math> — простое число и <math>a</math> — любое целое число, то <math>a^p</math> сравнимо с <math>a</math> по модулю <math>p</math>, то есть <math>a^p\equiv a \pmod p</math> .

К примеру, если <math>a = 7; p = 5</math>, то <math>7^5 = 16807 = 5 \cdot 3361 + 2,</math> и <math>7 = 5 \cdot 1 + 2.</math>.

Легко показать что эта формулировка сводится к изначальной. Так, если <math>a</math> делится на <math>p</math>, то <math>a\equiv 0 \pmod p</math> и <math>a^p\equiv 0 \pmod p</math>, т.е. <math>a^p\equiv a \pmod p</math>. Если же <math>a</math> не делится на <math>p</math>, то выражение <math>a^{p}\equiv a \pmod p </math> эквивалентно выражению <math>a^{p-1}\equiv 1 \pmod p </math>.

Доказательства

Доказательство теоремы, предложенное Лейбницем  

Рассмотрим однородный многочлен степени p с n переменными:

<math>S(x,y,z,\dots,w) = (x+y+z+\dots+w)^p - (x^p+y^p+z^p+\dots+w^p).</math>

Раскрывая скобки, получим коэффициент при одночлене <math>Mx^{\alpha}y^{\beta}z^{\gamma}\cdot \ldots \cdot w^{\nu}</math> (где хотя бы две из степеней <math>\alpha, \beta, \gamma \ldots \nu</math> не равны нулю, а сумма всех степеней равна p) называется мультиномиальным коэффициентом и вычисляется по формуле

<math>M = \frac{p!}{\alpha!\beta!\gamma! \dots \nu!}.</math>

Поскольку степени <math> \alpha , \beta , \gamma ... </math> меньше, чем <math>p,</math> то знаменатель мультиномиального коэффициента не содержит множителей, которые могли бы сократиться с <math>p,</math> следовательно, все коэффициенты многочлена <math>S</math> кратны <math>p.</math> Таким образом, верно следующее тождество:

<math>(x+y+z+\dots+w)^p - (x^p+y^p+z^p+\dots+w^p)= pH(x,y,z,\dots,w),</math>

где <math>H(x,y,z,...,w)</math> — многочлен с положительными целыми коэффициентами.

Пусть теперь в этом тождестве <math>x = y = ... = w = 1, H(1,1,1,...,1) = N,</math> тогда <math>n^p - n = Np</math> (здесь n — число переменных в исходном полиномиальном выражении), следовательно, <math>n(n^{p-1} - 1)</math> кратно <math>p</math>. Если <math>n</math> не делится на простое число <math>p,</math> то на него делится <math>n^{p-1}-1</math>.

Доказательство с помощью индукции  

Докажем, что для любого простого p и целого неотрицательного a, a^p − a делится на p. Доказываем индукцией по a.

База. Для a = 0, a^p − a = 0 и делится на p.

Переход. Пусть утверждение верно для a = k. Докажем его для a = k + 1.

<math> a^p-a = (k+1)^p-(k+1) = k^p+1+\sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l} k^l - k-1 = k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}</math>

Но k^p − k делится на p по предположению индукции. В остальных слагаемых присутствует множитель <math>{p \choose l} = {p! \over l!(p-l)!}</math>. Для <math>1 \leqslant l \leqslant p-1</math>, числитель этой дроби делится на p, а знаменатель — взаимно прост с p, следовательно, <math>{p \choose l}</math> делится на p. Так как все отдельные слагаемые делятся на p, вся сумма <math> k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}</math> также делится на p.

Для отрицательных a и нечётных p теорему легко доказать подстановкой b = −a. Для отрицательных a и p = 2 истинность теоремы следует из a² − a = a(a − 1).

Доказательство с помощью теории групп  

Одно из самых простых доказательств Малой теоремы Ферма основано на следствии теоремы Лагранжа из теории групп, утверждающей, что порядок элемента конечной группы делит порядок группы.

Напомним, что порядком конечной группы <math>G</math> называется число её элементов, а порядком элемента <math>g\in G</math> — наименьший показатель его степени, равной единичному элементу <math>e</math> группы <math>G</math>.

Пусть <math>G</math> — конечная группа порядка <math>n</math>. Из того, что порядок элемента <math>g\in G</math> делит <math>n</math>, следует, что <math>g^n=e</math>.

Рассмотрим поле <math>\mathbb Z_p</math> вычетов по модулю <math>p</math>. Вычет целого числа <math>a</math> будем обозначать через <math>a</math>. Ненулевые элементы поля <math>\mathbb Z_p</math> образуют группу относительно умножения.

Порядок этой группы, очевидно, равен <math>p-1</math>. Её единичным элементом является <math>1</math>. Отсюда следует, что для каждого числа <math>a</math>, не делящегося на <math>p</math>, <math>a^{p-1}=1</math>, но это как раз означает сравнение <math>a^{p-1}\equiv 1\pmod p</math>

Элементарное доказательство  

Лемма. Для любого простого числа <math>p</math> и целого числа <math>k</math>, не кратного <math>p</math>, произведения <math>k</math> и чисел <math>1, 2, 3, \ldots , p-1 </math> при делении по модулю на <math>p</math> в остатке дают те же самые числа <math>1, 2, 3, \ldots , p-1, </math> возможно, записанные в некотором другом порядке.

Доказательство леммы  

Произведение <math>k</math> и любого из чисел <math>1, 2, 3, \ldots, p-1 </math> не кратно <math>p</math>, следовательно, в остатке не может получиться <math>0</math>. Все остатки разные. Докажем последнее утверждение от противного. Пусть два произведения <math>ak</math> и <math>bk</math> дают при делении на <math>p</math> одинаковые остатки, тогда разность <math>ak-bk=(a-b)k</math> кратна <math>p</math>, что невозможно, поскольку <math>a-b</math> не кратно <math>p</math>. Всего существует <math>p-1</math> различных ненулевых остатков от деления на <math>p</math>.

Поскольку согласно выше приведенной лемме остатки от деления чисел a, 2a, 3a, ..., (p − 1)a — это с точностью до перестановки числа 1, 2, 3, ..., p − 1, то <math>a\cdot 2a\cdot 3a\ldots(p-1)a\equiv1\cdot2\cdot3\ldots(p-1) \pmod p</math>. Отсюда <math>a^{p-1}(p-1)!\equiv(p-1)! \pmod p</math>. Последнее соотношение можно сократить на (p − 1)!, поскольку все сомножители являются числами, взаимно простыми с основанием p, в результате получаем требуемое утверждение <math>a^{p-1}\equiv1 \pmod p</math>.

Следствия и обобщения

• Если <math>p</math> — простое число, то в поле <math>\mathbb Z_p</math> выполняется равенство <math>a^{-1} = a^{p-2}</math>.
• Если <math>p</math> — простое число, отличное от 2 и 5, то число <math>10^{p-1} - 1</math>, в десятичной записи которого присутствуют только цифры <math>9</math>, делится на <math>p</math>. Отсюда следует, что для любого целого числа <math>N</math>, которое не делится ни на 2, ни на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на <math>N</math>. Этот факт используется в теории признаков делимости и периодических дробей.
• Малая теорема Ферма позволяет находить простые делители чисел вида <math>a^4+a^3+a^2+a+1</math> и <math>a^{2^n}+1</math>..
• Обобщением малой теоремы Ферма на алгебраические числа является теорема, сформулированная Шёнеманом</span>^ru_de в 1839 году: пусть <math>a_1,\dots,a_d</math> — корни нормированного многочлена <math>f\in \mathbb Z[x]</math> степени d, а p — простое число. Тогда <math>a_1^p + a_2^p + \dots + a_d^p \equiv a_1 + \dots + a_d\pmod p </math>.
• Из малой теоремы Ферма следует теорема Вильсона: Натуральное число <math>p>1</math> является простым тогда и только тогда, когда <math>(p-1)!+1</math> делится на p.

Доказательство теоремы Вильсона  

Теорема Лагранжа в теории чисел</span>^ru_en утверждает, что если многочлен степени <math>n</math> делится на простое число <math>p</math> при более чем <math>n</math> неконгруэнтных по модолю <math>p</math> (т.е. имеющих разные остатки при делении на <math>p</math> ) значениях переменной <math>x</math>, то он делится на <math>p</math> при любом значении <math>x</math>.

Рассмотрим многочлен

<math> G(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)... (x - (p - 1)) - (x^{p-1}- 1),</math> где <math>p</math> — простое число.

Тогда мы находим:

<math>G(1) = 0,G(2) = 1-2^{p-1}, G(3) = 1-3^{p-1}, ..., G(p-1) =1- (p-1)^{p-1}.</math>

В силу малой теоремы Ферма все эти числа делятся на простое число <math>p</math>, поэтому сравнение <math>G(x) \equiv 0\pmod p</math> имеет <math>p-1</math> неконгруэнтных решений. С другой стороны, степень многочлена равна всего лишь <math>p-2;</math> отсюда следует, что многочлен <math>G(x)</math> делится на <math>p</math> при всех значениях <math>x,</math> и в частности при <math>x = 0.</math>

Значит <math>G(0) = [(p- 1)! + 1] \equiv 0\pmod p.</math>

А если в дополнение к этому доказать, что для всех непростых натуральных <math>n</math>, кроме <math>n=4</math>, <math>(n-1)! \equiv 0 \pmod n</math>, то получим доказательство теоремы.

Приложения

Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простоту

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если <math>(a^p-a)</math> не делится на <math>p</math>, то p — составное число. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если <math>a</math> и <math>p</math> — взаимно простые числа и <math>a^{p-1} - 1</math> делится на p, то число <math>p</math> может быть как простым, так и составным. В случае, когда <math>p</math> является составным, оно называется псевдопростым Ферма по основанию a.

К примеру, китайская гипотеза</span>^ru_en утверждает, что <math>p</math> является простым числом тогда и только тогда, когда <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math>. Здесь прямое утверждение о том, что если <math>p</math> простое, то <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math>, является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если <math>2^p \equiv 2 \pmod{p}</math>, то <math>p</math> простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: Саррус в 1820 году нашёл, что число <math>N = 2^{341-1} - 1</math> делится на <math>341</math>, так как <math>N</math> делится на <math>2^{10}-1=3 \cdot 341</math>. Однако <math>341</math> — составное число: <math>341 = 11 \cdot 31</math>. Таким образом, 341 — псевдопростое число по основанию 2.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. Контрпримером в общем случае являются числа Кармайкла: это числа p, являющиеся псевдопростыми по основанию a для всех a, взаимно простых с p. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что p — простое число. Тем не менее, малая теорема Ферма лежит в основе теста Ферма на простоту. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой вероятностью. Среди других вероятностных методов можно отметить: тест Соловея — Штрассена и тест Миллера — Рабина, последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма. Также существует и детерминированный алгоритм: Тест Агравала — Каяла — Саксены.

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара (2, n) удовлетворяют сравнению <math>a^{n-1}\equiv1\pmod{n}</math>, то и пара чисел <math>(2, 2^{n}-1)</math> также ему удовлетворяют. Для любого простого числа n и любого a > 2 такого, что <math>(a^{2}-1, n)=1</math>, значение <math>\frac{a^{2n}-1}{a^{2}-1}</math> является псевдопростым числом Ферма по основанию a.

Алгоритм RSA

Малая теорема Ферма также используется при доказательстве корректности алгоритма шифрования RSA.

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Эйлера
• Сильное псевдопростое число
• RSA

Литература

• Гиндикин С. Г. [kvant.mccme.ru/1972/10/malaya_teorema_ferma.htm} "Малая теорема Ферма"]. — Квант, 1972. — № 10.
• Данциг, Т. [www.vixri.ru/d/Dancig%20T.%20%20_Chisla%20-%20jazyk%20nauki.pdf Числа — язык науки]. — М.: Техносфера, 2008. — ISBN 978-5-94836-172-7.
• Александров П. C., Маркушевич А.И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. Том I: арифметика. — 1951.
• З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. [lib.org.by/info/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Borevich%20Z.I.,%20Shafarevich%20I.R.%20Teorija%20chisel%20(3e%20izd.)(ru)(T)(510s).djvu Теория чисел]. — М.: Наука, 1972. — 510 с.
• Сендеров В, Спивак А. [kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/kv0100senderov.pdf Малая теорема Ферма] // Квант. — 2000. — № 1.
• Сендеров В, Спивак А. [kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/kv0300senderov.pdf Малая теорема Ферма] // Квант. — 2000. — № 3.
• Нестеренко Ю. В. [www.mccme.ru/free-books/matpros3.html Алгоритмические проблемы теории чисел]. — 1997. — Вып. 2. — № третья серия.

Отрывок, характеризующий Малая теорема Ферма

«Она во всем, во всем она одна виновата, – говорил он сам себе; – но что ж из этого? Зачем я себя связал с нею, зачем я ей сказал этот: „Je vous aime“, [Я вас люблю?] который был ложь и еще хуже чем ложь, говорил он сам себе. Я виноват и должен нести… Что? Позор имени, несчастие жизни? Э, всё вздор, – подумал он, – и позор имени, и честь, всё условно, всё независимо от меня.
«Людовика XVI казнили за то, что они говорили, что он был бесчестен и преступник (пришло Пьеру в голову), и они были правы с своей точки зрения, так же как правы и те, которые за него умирали мученической смертью и причисляли его к лику святых. Потом Робеспьера казнили за то, что он был деспот. Кто прав, кто виноват? Никто. А жив и живи: завтра умрешь, как мог я умереть час тому назад. И стоит ли того мучиться, когда жить остается одну секунду в сравнении с вечностью? – Но в ту минуту, как он считал себя успокоенным такого рода рассуждениями, ему вдруг представлялась она и в те минуты, когда он сильнее всего выказывал ей свою неискреннюю любовь, и он чувствовал прилив крови к сердцу, и должен был опять вставать, двигаться, и ломать, и рвать попадающиеся ему под руки вещи. «Зачем я сказал ей: „Je vous aime?“ все повторял он сам себе. И повторив 10 й раз этот вопрос, ему пришло в голову Мольерово: mais que diable allait il faire dans cette galere? [но за каким чортом понесло его на эту галеру?] и он засмеялся сам над собою.
Ночью он позвал камердинера и велел укладываться, чтоб ехать в Петербург. Он не мог оставаться с ней под одной кровлей. Он не мог представить себе, как бы он стал теперь говорить с ней. Он решил, что завтра он уедет и оставит ей письмо, в котором объявит ей свое намерение навсегда разлучиться с нею.
Утром, когда камердинер, внося кофе, вошел в кабинет, Пьер лежал на отоманке и с раскрытой книгой в руке спал.
Он очнулся и долго испуганно оглядывался не в силах понять, где он находится.
– Графиня приказала спросить, дома ли ваше сиятельство? – спросил камердинер.
Но не успел еще Пьер решиться на ответ, который он сделает, как сама графиня в белом, атласном халате, шитом серебром, и в простых волосах (две огромные косы en diademe [в виде диадемы] огибали два раза ее прелестную голову) вошла в комнату спокойно и величественно; только на мраморном несколько выпуклом лбе ее была морщинка гнева. Она с своим всёвыдерживающим спокойствием не стала говорить при камердинере. Она знала о дуэли и пришла говорить о ней. Она дождалась, пока камердинер уставил кофей и вышел. Пьер робко чрез очки посмотрел на нее, и, как заяц, окруженный собаками, прижимая уши, продолжает лежать в виду своих врагов, так и он попробовал продолжать читать: но чувствовал, что это бессмысленно и невозможно и опять робко взглянул на нее. Она не села, и с презрительной улыбкой смотрела на него, ожидая пока выйдет камердинер.
– Это еще что? Что вы наделали, я вас спрашиваю, – сказала она строго.
– Я? что я? – сказал Пьер.
– Вот храбрец отыскался! Ну, отвечайте, что это за дуэль? Что вы хотели этим доказать! Что? Я вас спрашиваю. – Пьер тяжело повернулся на диване, открыл рот, но не мог ответить.
– Коли вы не отвечаете, то я вам скажу… – продолжала Элен. – Вы верите всему, что вам скажут, вам сказали… – Элен засмеялась, – что Долохов мой любовник, – сказала она по французски, с своей грубой точностью речи, выговаривая слово «любовник», как и всякое другое слово, – и вы поверили! Но что же вы этим доказали? Что вы доказали этой дуэлью! То, что вы дурак, que vous etes un sot, [что вы дурак,] так это все знали! К чему это поведет? К тому, чтобы я сделалась посмешищем всей Москвы; к тому, чтобы всякий сказал, что вы в пьяном виде, не помня себя, вызвали на дуэль человека, которого вы без основания ревнуете, – Элен всё более и более возвышала голос и одушевлялась, – который лучше вас во всех отношениях…
– Гм… гм… – мычал Пьер, морщась, не глядя на нее и не шевелясь ни одним членом.
– И почему вы могли поверить, что он мой любовник?… Почему? Потому что я люблю его общество? Ежели бы вы были умнее и приятнее, то я бы предпочитала ваше.
– Не говорите со мной… умоляю, – хрипло прошептал Пьер.
– Отчего мне не говорить! Я могу говорить и смело скажу, что редкая та жена, которая с таким мужем, как вы, не взяла бы себе любовников (des аmants), а я этого не сделала, – сказала она. Пьер хотел что то сказать, взглянул на нее странными глазами, которых выражения она не поняла, и опять лег. Он физически страдал в эту минуту: грудь его стесняло, и он не мог дышать. Он знал, что ему надо что то сделать, чтобы прекратить это страдание, но то, что он хотел сделать, было слишком страшно.
– Нам лучше расстаться, – проговорил он прерывисто.
– Расстаться, извольте, только ежели вы дадите мне состояние, – сказала Элен… Расстаться, вот чем испугали!
Пьер вскочил с дивана и шатаясь бросился к ней.
– Я тебя убью! – закричал он, и схватив со стола мраморную доску, с неизвестной еще ему силой, сделал шаг к ней и замахнулся на нее.
Лицо Элен сделалось страшно: она взвизгнула и отскочила от него. Порода отца сказалась в нем. Пьер почувствовал увлечение и прелесть бешенства. Он бросил доску, разбил ее и, с раскрытыми руками подступая к Элен, закричал: «Вон!!» таким страшным голосом, что во всем доме с ужасом услыхали этот крик. Бог знает, что бы сделал Пьер в эту минуту, ежели бы
Элен не выбежала из комнаты.

Через неделю Пьер выдал жене доверенность на управление всеми великорусскими имениями, что составляло большую половину его состояния, и один уехал в Петербург.


Прошло два месяца после получения известий в Лысых Горах об Аустерлицком сражении и о погибели князя Андрея, и несмотря на все письма через посольство и на все розыски, тело его не было найдено, и его не было в числе пленных. Хуже всего для его родных было то, что оставалась всё таки надежда на то, что он был поднят жителями на поле сражения, и может быть лежал выздоравливающий или умирающий где нибудь один, среди чужих, и не в силах дать о себе вести. В газетах, из которых впервые узнал старый князь об Аустерлицком поражении, было написано, как и всегда, весьма кратко и неопределенно, о том, что русские после блестящих баталий должны были отретироваться и ретираду произвели в совершенном порядке. Старый князь понял из этого официального известия, что наши были разбиты. Через неделю после газеты, принесшей известие об Аустерлицкой битве, пришло письмо Кутузова, который извещал князя об участи, постигшей его сына.
«Ваш сын, в моих глазах, писал Кутузов, с знаменем в руках, впереди полка, пал героем, достойным своего отца и своего отечества. К общему сожалению моему и всей армии, до сих пор неизвестно – жив ли он, или нет. Себя и вас надеждой льщу, что сын ваш жив, ибо в противном случае в числе найденных на поле сражения офицеров, о коих список мне подан через парламентеров, и он бы поименован был».
Получив это известие поздно вечером, когда он был один в. своем кабинете, старый князь, как и обыкновенно, на другой день пошел на свою утреннюю прогулку; но был молчалив с приказчиком, садовником и архитектором и, хотя и был гневен на вид, ничего никому не сказал.
Когда, в обычное время, княжна Марья вошла к нему, он стоял за станком и точил, но, как обыкновенно, не оглянулся на нее.
– А! Княжна Марья! – вдруг сказал он неестественно и бросил стамеску. (Колесо еще вертелось от размаха. Княжна Марья долго помнила этот замирающий скрип колеса, который слился для нее с тем,что последовало.)
Княжна Марья подвинулась к нему, увидала его лицо, и что то вдруг опустилось в ней. Глаза ее перестали видеть ясно. Она по лицу отца, не грустному, не убитому, но злому и неестественно над собой работающему лицу, увидала, что вот, вот над ней повисло и задавит ее страшное несчастие, худшее в жизни, несчастие, еще не испытанное ею, несчастие непоправимое, непостижимое, смерть того, кого любишь.
– Mon pere! Andre? [Отец! Андрей?] – Сказала неграциозная, неловкая княжна с такой невыразимой прелестью печали и самозабвения, что отец не выдержал ее взгляда, и всхлипнув отвернулся.
– Получил известие. В числе пленных нет, в числе убитых нет. Кутузов пишет, – крикнул он пронзительно, как будто желая прогнать княжну этим криком, – убит!
Княжна не упала, с ней не сделалось дурноты. Она была уже бледна, но когда она услыхала эти слова, лицо ее изменилось, и что то просияло в ее лучистых, прекрасных глазах. Как будто радость, высшая радость, независимая от печалей и радостей этого мира, разлилась сверх той сильной печали, которая была в ней. Она забыла весь страх к отцу, подошла к нему, взяла его за руку, потянула к себе и обняла за сухую, жилистую шею.
– Mon pere, – сказала она. – Не отвертывайтесь от меня, будемте плакать вместе.
– Мерзавцы, подлецы! – закричал старик, отстраняя от нее лицо. – Губить армию, губить людей! За что? Поди, поди, скажи Лизе. – Княжна бессильно опустилась в кресло подле отца и заплакала. Она видела теперь брата в ту минуту, как он прощался с ней и с Лизой, с своим нежным и вместе высокомерным видом. Она видела его в ту минуту, как он нежно и насмешливо надевал образок на себя. «Верил ли он? Раскаялся ли он в своем неверии? Там ли он теперь? Там ли, в обители вечного спокойствия и блаженства?» думала она.
– Mon pere, [Отец,] скажите мне, как это было? – спросила она сквозь слезы.
– Иди, иди, убит в сражении, в котором повели убивать русских лучших людей и русскую славу. Идите, княжна Марья. Иди и скажи Лизе. Я приду.
Когда княжна Марья вернулась от отца, маленькая княгиня сидела за работой, и с тем особенным выражением внутреннего и счастливо спокойного взгляда, свойственного только беременным женщинам, посмотрела на княжну Марью. Видно было, что глаза ее не видали княжну Марью, а смотрели вглубь – в себя – во что то счастливое и таинственное, совершающееся в ней.
– Marie, – сказала она, отстраняясь от пялец и переваливаясь назад, – дай сюда твою руку. – Она взяла руку княжны и наложила ее себе на живот.
Глаза ее улыбались ожидая, губка с усиками поднялась, и детски счастливо осталась поднятой.
Княжна Марья стала на колени перед ней, и спрятала лицо в складках платья невестки.
– Вот, вот – слышишь? Мне так странно. И знаешь, Мари, я очень буду любить его, – сказала Лиза, блестящими, счастливыми глазами глядя на золовку. Княжна Марья не могла поднять головы: она плакала.
– Что с тобой, Маша?
– Ничего… так мне грустно стало… грустно об Андрее, – сказала она, отирая слезы о колени невестки. Несколько раз, в продолжение утра, княжна Марья начинала приготавливать невестку, и всякий раз начинала плакать. Слезы эти, которых причину не понимала маленькая княгиня, встревожили ее, как ни мало она была наблюдательна. Она ничего не говорила, но беспокойно оглядывалась, отыскивая чего то. Перед обедом в ее комнату вошел старый князь, которого она всегда боялась, теперь с особенно неспокойным, злым лицом и, ни слова не сказав, вышел. Она посмотрела на княжну Марью, потом задумалась с тем выражением глаз устремленного внутрь себя внимания, которое бывает у беременных женщин, и вдруг заплакала.
– Получили от Андрея что нибудь? – сказала она.
– Нет, ты знаешь, что еще не могло притти известие, но mon реrе беспокоится, и мне страшно.
– Так ничего?
– Ничего, – сказала княжна Марья, лучистыми глазами твердо глядя на невестку. Она решилась не говорить ей и уговорила отца скрыть получение страшного известия от невестки до ее разрешения, которое должно было быть на днях. Княжна Марья и старый князь, каждый по своему, носили и скрывали свое горе. Старый князь не хотел надеяться: он решил, что князь Андрей убит, и не смотря на то, что он послал чиновника в Австрию розыскивать след сына, он заказал ему в Москве памятник, который намерен был поставить в своем саду, и всем говорил, что сын его убит. Он старался не изменяя вести прежний образ жизни, но силы изменяли ему: он меньше ходил, меньше ел, меньше спал, и с каждым днем делался слабее. Княжна Марья надеялась. Она молилась за брата, как за живого и каждую минуту ждала известия о его возвращении.


– Ma bonne amie, [Мой добрый друг,] – сказала маленькая княгиня утром 19 го марта после завтрака, и губка ее с усиками поднялась по старой привычке; но как и во всех не только улыбках, но звуках речей, даже походках в этом доме со дня получения страшного известия была печаль, то и теперь улыбка маленькой княгини, поддавшейся общему настроению, хотя и не знавшей его причины, – была такая, что она еще более напоминала об общей печали.
– Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Фока – повар) de ce matin ne m'aie pas fait du mal. [Дружочек, боюсь, чтоб от нынешнего фриштика (как называет его повар Фока) мне не было дурно.]
– А что с тобой, моя душа? Ты бледна. Ах, ты очень бледна, – испуганно сказала княжна Марья, своими тяжелыми, мягкими шагами подбегая к невестке.
– Ваше сиятельство, не послать ли за Марьей Богдановной? – сказала одна из бывших тут горничных. (Марья Богдановна была акушерка из уездного города, жившая в Лысых Горах уже другую неделю.)
– И в самом деле, – подхватила княжна Марья, – может быть, точно. Я пойду. Courage, mon ange! [Не бойся, мой ангел.] Она поцеловала Лизу и хотела выйти из комнаты.
– Ах, нет, нет! – И кроме бледности, на лице маленькой княгини выразился детский страх неотвратимого физического страдания.
– Non, c'est l'estomac… dites que c'est l'estomac, dites, Marie, dites…, [Нет это желудок… скажи, Маша, что это желудок…] – и княгиня заплакала детски страдальчески, капризно и даже несколько притворно, ломая свои маленькие ручки. Княжна выбежала из комнаты за Марьей Богдановной.
– Mon Dieu! Mon Dieu! [Боже мой! Боже мой!] Oh! – слышала она сзади себя.
Потирая полные, небольшие, белые руки, ей навстречу, с значительно спокойным лицом, уже шла акушерка.
– Марья Богдановна! Кажется началось, – сказала княжна Марья, испуганно раскрытыми глазами глядя на бабушку.
– Ну и слава Богу, княжна, – не прибавляя шага, сказала Марья Богдановна. – Вам девицам про это знать не следует.
– Но как же из Москвы доктор еще не приехал? – сказала княжна. (По желанию Лизы и князя Андрея к сроку было послано в Москву за акушером, и его ждали каждую минуту.)
– Ничего, княжна, не беспокойтесь, – сказала Марья Богдановна, – и без доктора всё хорошо будет.
Через пять минут княжна из своей комнаты услыхала, что несут что то тяжелое. Она выглянула – официанты несли для чего то в спальню кожаный диван, стоявший в кабинете князя Андрея. На лицах несших людей было что то торжественное и тихое.
Княжна Марья сидела одна в своей комнате, прислушиваясь к звукам дома, изредка отворяя дверь, когда проходили мимо, и приглядываясь к тому, что происходило в коридоре. Несколько женщин тихими шагами проходили туда и оттуда, оглядывались на княжну и отворачивались от нее. Она не смела спрашивать, затворяла дверь, возвращалась к себе, и то садилась в свое кресло, то бралась за молитвенник, то становилась на колена пред киотом. К несчастию и удивлению своему, она чувствовала, что молитва не утишала ее волнения. Вдруг дверь ее комнаты тихо отворилась и на пороге ее показалась повязанная платком ее старая няня Прасковья Савишна, почти никогда, вследствие запрещения князя,не входившая к ней в комнату.
– С тобой, Машенька, пришла посидеть, – сказала няня, – да вот княжовы свечи венчальные перед угодником зажечь принесла, мой ангел, – сказала она вздохнув.
– Ах как я рада, няня.
– Бог милостив, голубка. – Няня зажгла перед киотом обвитые золотом свечи и с чулком села у двери. Княжна Марья взяла книгу и стала читать. Только когда слышались шаги или голоса, княжна испуганно, вопросительно, а няня успокоительно смотрели друг на друга. Во всех концах дома было разлито и владело всеми то же чувство, которое испытывала княжна Марья, сидя в своей комнате. По поверью, что чем меньше людей знает о страданиях родильницы, тем меньше она страдает, все старались притвориться незнающими; никто не говорил об этом, но во всех людях, кроме обычной степенности и почтительности хороших манер, царствовавших в доме князя, видна была одна какая то общая забота, смягченность сердца и сознание чего то великого, непостижимого, совершающегося в эту минуту.