Мартингал

О системе в азартных играх см. Мартингейл

Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}</math>;
2. <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}</math>.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин <math>\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Тогда последовательность случайных величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> называется мартингалом относительно <math>\{Y_n\}</math> или <math>\{Y_n\}</math>-мартингалом, если

1. <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}</math>;
2. <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}</math>.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> с заданной на нём фильтрацией <math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math>, где <math>T \subset \mathbb{R}</math>. Тогда случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \in T}</math> называется мартингалом относительно <math>\{\mathcal{F}_t\}</math>, если

1. <math>X_t</math> измерима относительно <math>\mathcal{F}_t</math> для любого <math>t \in T</math>.
2. <math>\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T</math>.
3. <math>\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s</math> почти наверное, <math>\quad \forall s,t\in T,\; s \le t</math>.

Если в качестве <math>\{\mathcal{F}_t\}</math> взята естественная фильтрация <math>\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}</math>, то <math>\{X_t\}</math> называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин <math>\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Тогда последовательность случайных величин <math>\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> называется су́б(су́пер)мартингалом относительно <math>\{Y_n\}</math>, если

1. <math>\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};</math>
2. <math>\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.</math>

• Случайный процесс <math>\{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R}</math> называется суб(супер)мартингалом относительно <math>\{\mathcal{F}_t\}</math>, если

1. <math>X_t</math> измерима относительно <math>\mathcal{F}_t</math> для любого <math>t \in T</math>.
2. <math>\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T</math>.
3. <math>\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t</math>.

Если в качестве <math>\{\mathcal{F}_t\}</math> взята естественная фильтрация <math>\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}</math>, то <math>\{X_t\}</math> называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если <math>\{X_t\}</math> — мартингал, то <math>\mathsf{E}X_t = \mathrm{const}</math>.
• Если <math>\{X_t\}</math> — субмартингал, то <math>\{-X_t\}</math> — супермартингал.
• Если <math>\{X_t\}</math> является мартингалом, а <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая функция, то <math>\{f(X_t)\}</math> — субмартингал. Если <math>f</math> — вогнутая функция, то <math>\{f(X_t)\}</math> — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.

Отрывок, характеризующий Мартингал

В отношении увеселений народа и войска театрами, дело точно так же не удалось. Учрежденные в Кремле и в доме Познякова театры тотчас же закрылись, потому что ограбили актрис и актеров.
Благотворительность и та не принесла желаемых результатов. Фальшивые ассигнации и нефальшивые наполняли Москву и не имели цены. Для французов, собиравших добычу, нужно было только золото. Не только фальшивые ассигнации, которые Наполеон так милостиво раздавал несчастным, не имели цены, но серебро отдавалось ниже своей стоимости за золото.
Но самое поразительное явление недействительности высших распоряжений в то время было старание Наполеона остановить грабежи и восстановить дисциплину.
Вот что доносили чины армии.
«Грабежи продолжаются в городе, несмотря на повеление прекратить их. Порядок еще не восстановлен, и нет ни одного купца, отправляющего торговлю законным образом. Только маркитанты позволяют себе продавать, да и то награбленные вещи».
«La partie de mon arrondissement continue a etre en proie au pillage des soldats du 3 corps, qui, non contents d'arracher aux malheureux refugies dans des souterrains le peu qui leur reste, ont meme la ferocite de les blesser a coups de sabre, comme j'en ai vu plusieurs exemples».
«Rien de nouveau outre que les soldats se permettent de voler et de piller. Le 9 octobre».
«Le vol et le pillage continuent. Il y a une bande de voleurs dans notre district qu'il faudra faire arreter par de fortes gardes. Le 11 octobre».
[«Часть моего округа продолжает подвергаться грабежу солдат 3 го корпуса, которые не довольствуются тем, что отнимают скудное достояние несчастных жителей, попрятавшихся в подвалы, но еще и с жестокостию наносят им раны саблями, как я сам много раз видел».
«Ничего нового, только что солдаты позволяют себе грабить и воровать. 9 октября».
«Воровство и грабеж продолжаются. Существует шайка воров в нашем участке, которую надо будет остановить сильными мерами. 11 октября».]
«Император чрезвычайно недоволен, что, несмотря на строгие повеления остановить грабеж, только и видны отряды гвардейских мародеров, возвращающиеся в Кремль. В старой гвардии беспорядки и грабеж сильнее, нежели когда либо, возобновились вчера, в последнюю ночь и сегодня. С соболезнованием видит император, что отборные солдаты, назначенные охранять его особу, долженствующие подавать пример подчиненности, до такой степени простирают ослушание, что разбивают погреба и магазины, заготовленные для армии. Другие унизились до того, что не слушали часовых и караульных офицеров, ругали их и били».
«Le grand marechal du palais se plaint vivement, – писал губернатор, – que malgre les defenses reiterees, les soldats continuent a faire leurs besoins dans toutes les cours et meme jusque sous les fenetres de l'Empereur».
[«Обер церемониймейстер дворца сильно жалуется на то, что, несмотря на все запрещения, солдаты продолжают ходить на час во всех дворах и даже под окнами императора».]
Войско это, как распущенное стадо, топча под ногами тот корм, который мог бы спасти его от голодной смерти, распадалось и гибло с каждым днем лишнего пребывания в Москве.
Но оно не двигалось.
Оно побежало только тогда, когда его вдруг охватил панический страх, произведенный перехватами обозов по Смоленской дороге и Тарутинским сражением. Это же самое известие о Тарутинском сражении, неожиданно на смотру полученное Наполеоном, вызвало в нем желание наказать русских, как говорит Тьер, и он отдал приказание о выступлении, которого требовало все войско.