Математика в девяти книгах
«Математика в девяти книгах» (кит. трад. 九章算術, упр. 九章算术, пиньинь: jiǔ zhāng suànshù, палл.: Цзю чжан суаньшу) — классическое сочинение, энциклопедия знаний древнекитайских математиков. Представляет собой слабо согласованную компиляцию более ранних трудов разных авторов, написанных в X—II веках до н. э.[1] Окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном (умер в 150 году до н. э.). В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе, то есть рецептурно: формулируется задача, сообщается готовый ответ и (очень кратко и не всегда) указывается способ решения. В книге нет доказательств, чертежей и каких-либо методических разъяснений, большинство задач имеет ясный прикладной характер.
В китайских летописях упоминается не дошедшее до нас математическое сочинение «Цзю шу» (XII век до н. э.), оглавление которого почти совпадает с оглавлением «Математики в девяти книгах»[1]. Из этого можно сделать вывод о значительной древности большинства изложенных в данной книге знаний. Обычно «Математика в девяти книгах» издаётся в редакции и с комментариями Лю Хуэя (263 год).
Содержание
Краткое содержание
Каждая из 9 глав (книг) представляет собой завершённый текст, не ссылающийся на другие главы.
- 方田 Фан тянь, «Измерение полей» — Вычисление площадей: треугольники, многоугольники, круг, сегменты и секторы круга, круговое кольцо (судя по пояснениям, автор принимал, что <math>\pi=3</math>)[2]. Операции с дробями. Алгоритм поиска наибольшего общего делителя двух чисел, аналогичный евклидовскому.
- 粟米 Су ми, «Соотношение злаков» — Правила обмена и торговли, в основном для зерновых культур (задачи на пропорции).
- 衰分 Шуай фэнь, «Деление по ступеням» — Пропорциональное распределение товара.
- 少廣 Шао гуан — Теория делимости. Извлечение квадратных и кубических корней. Измерение круга, сферы и шара.
- 商功 Шан гун, «Оценка работ» — Объёмы различных тел: параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус. Расчёт трудозатрат при строительстве.
- 均輸 Цзюнь шу, «Пропорциональное распределение» — Дополнительные сведения о пропорциональном распределении и задачи разного характера: прогрессии, совместный труд и др.
- 盈不足 Ин бу цзу, «Избыток-недостаток» — Решение систем из двух линейных уравнений с помощью «правила ложного положения».
- 方程 Фан чэн — Решение систем произвольного числа линейных уравнений. В ряде примеров используются отрицательные числа.
- 勾股 Гоу гу — Теорема Пифагора и её приложения.
Примеры задач
Приводимые ниже номера задач были добавлены переводчиком[3] для удобства ссылок, в оригинале задачи не пронумерованы.
Книга 3
2. Буйвол, лошадь и овца потравили чужой посев. Хозяин посева в возмещение убытка потребовал 5 доу зерна [1 доу равен 10 шэнам (около 10 литров)]. Хозяин овцы сказал: «Моя овца потравила половину того, что потравила лошадь». Хозяин лошади сказал: «Моя лошадь потравила половину того, что потравил буйвол». Спрашивается, сколько внесёт каждый, если [убыток] вносится соответственно?
Ответ: хозяин буйвола должен внести 2 доу <math>8 \frac{4}{7}</math> шэна, хозяин лошади должен внести 1 доу <math>4 \frac{2}{7}</math> шэна, хозяин овцы должен внести <math>7 \frac{1}{7}</math> шэна.
Книга 6
12. Быстро идущий проходит 100 бу, медленно идущий [за это же время] проходит 60 бу. Пусть теперь медленно идущий прошёл сначала 100 бу, [после чего] быстро идущий догоняет его. Спрашивается, сколько [пройдут они], пока один догонит [другого]?
Ответ: 250 бу.
14. Заяц сначала пробежал 100 бу. Собака, преследуя его, пробежала 250 бу и, не добежав до него 30 бу, остановилась. Спрашивается, сколько бу должна пробежать, не останавливаясь, собака, чтобы догнать зайца?
Ответ: <math>107 \frac{1}{7}</math> бу.
20. Дикая утка от южного моря до северного летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Ответ: полутора часов не достанет до исхода четвертых суток.
21. А отправился из Чаньаня и достигает княжества Ци за 5 дней. Б отправился из княжества Ци и достигает Чаньаня за 7 дней. [Пусть] теперь Б [находился в пути] уже 2 дня, (когда] А отправляется из Чаньаня. Спрашивается, через сколько дней они встретятся?
Ответ: через 2 дня и 2 часа..
Книга 7
1. Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 [монет], то будут 3 лишних. Если [каждый] человек внесёт по 7 [монет], то 4 не хватит. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.
Ответ: 7 человек, 53 монеты.
13. 1 доу чистого вина стоит 50 цяней, 1 доу разбавленного вина стоит 10 цяней. Когда их перемешали, получилось 2 доу ценою в 30 ляней. Спрашивается, сколько смешали того и другого вина?
Ответ: чистого вина было <math>\frac{1}{4}</math> доу, разбавленного — <math>1 \frac{3}{4}</math> доу.
Книга 8
9. Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек. Их взвесили на весах, и вес всех воробьёв больше веса всех ласточек. Если поменять местами одну ласточку и одного воробья, то вес будет одинаковым. Общий вес всех ласточек и воробьёв: 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.
Ответ: вес воробья <math>\frac{2}{19}</math>, вес ласточки: <math>\frac{3}{38}</math> цзиня.
Книга 9
6. Имеется водоём со стороной в 1 чжан [1 чжан = 10 чи]. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?
Ответ: глубина воды 1 чжан 2 чи, длина камыша 1 чжан 3 чи.
13. Бамбук высотой 10 чжан надломили, часть выше надлома пригнули к земле, и она коснулась земли на расстоянии 3 чи [1 чжан = 10 чи] от основания ствола. На какой высоте бамбук был надломлен?
Ответ: <math>4 \frac{11}{12}</math> чи.
20. Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?
Ответ: 250 бу.
Издания
На русском языке
- «Математика в девяти книгах»/ Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1957. — № 10. — С. 439—584.
На китайском языке
- [chinese.dsturgeon.net/text.pl?node=51058&if=gb 《九章算术》原文 «Математика в девяти книгах» (на китайском языке, традиционные иероглифы)]
На других языках
- Kurt Vogel. Neun Bücher Arithmetischer Technik, Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig 1968
- Shen Kangshen. The Nine Chapters on the Mathematical Art, Oxford, 1999. ISBN 0-19-853936-3
- Chemla, Karine, et Shuchun Guo. Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Paris, Dunod, 2004.
Напишите отзыв о статье "Математика в девяти книгах"
Литература
- Берёзкина Э. И. Древнекитайская математика. М.: Наука, 1987.
- Берёзкина Э. И. [flyonmap.com/b/2i1f1r1f1i1l1j1o1a_3l.2q._2u1a1t1f1n1a1t1j1l1a_2l1r1f1c1o1f1d1p_2s1j1t1a2g._1980.djvu Математика древнего Китая.] М.: Наука, 1980.
- Берёзкина Э. И. О «Математике в девяти книгах» // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1957. — № 10. — С. 427–438.
- Рецензия: Т. Хуан. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7481&option_lang=rus О древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах» в русском переводе]. Успехи математических наук, 1958, 13:5(83), с. 235–237.
- История математики. В 3 т. Под ред. А. П. Юшкевича М.: Наука, 1970. [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени.]
Ссылки
- O'Connor J. J., Robertson E. F. [www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Nine_chapters.html Nine Chapters on the Mathematical Art] в архиве Mac Tutor. (англ.)
Примечания
- ↑ 1 2 Берёзкина Э. И., 1957, с. 427-428.
- ↑ Берёзкина Э. И., 1957, с. 430-434.
- ↑ Берёзкина Э. И., 1957.
Отрывок, характеризующий Математика в девяти книгах
– Да, да, – подтвердил Пьер.Ритор прокашлялся, сложил на груди руки в перчатках и начал говорить:
– Теперь я должен открыть вам главную цель нашего ордена, – сказал он, – и ежели цель эта совпадает с вашею, то вы с пользою вступите в наше братство. Первая главнейшая цель и купно основание нашего ордена, на котором он утвержден, и которого никакая сила человеческая не может низвергнуть, есть сохранение и предание потомству некоего важного таинства… от самых древнейших веков и даже от первого человека до нас дошедшего, от которого таинства, может быть, зависит судьба рода человеческого. Но так как сие таинство такого свойства, что никто не может его знать и им пользоваться, если долговременным и прилежным очищением самого себя не приуготовлен, то не всяк может надеяться скоро обрести его. Поэтому мы имеем вторую цель, которая состоит в том, чтобы приуготовлять наших членов, сколько возможно, исправлять их сердце, очищать и просвещать их разум теми средствами, которые нам преданием открыты от мужей, потрудившихся в искании сего таинства, и тем учинять их способными к восприятию оного. Очищая и исправляя наших членов, мы стараемся в третьих исправлять и весь человеческий род, предлагая ему в членах наших пример благочестия и добродетели, и тем стараемся всеми силами противоборствовать злу, царствующему в мире. Подумайте об этом, и я опять приду к вам, – сказал он и вышел из комнаты.
– Противоборствовать злу, царствующему в мире… – повторил Пьер, и ему представилась его будущая деятельность на этом поприще. Ему представлялись такие же люди, каким он был сам две недели тому назад, и он мысленно обращал к ним поучительно наставническую речь. Он представлял себе порочных и несчастных людей, которым он помогал словом и делом; представлял себе угнетателей, от которых он спасал их жертвы. Из трех поименованных ритором целей, эта последняя – исправление рода человеческого, особенно близка была Пьеру. Некое важное таинство, о котором упомянул ритор, хотя и подстрекало его любопытство, не представлялось ему существенным; а вторая цель, очищение и исправление себя, мало занимала его, потому что он в эту минуту с наслаждением чувствовал себя уже вполне исправленным от прежних пороков и готовым только на одно доброе.
Через полчаса вернулся ритор передать ищущему те семь добродетелей, соответствующие семи ступеням храма Соломона, которые должен был воспитывать в себе каждый масон. Добродетели эти были: 1) скромность , соблюдение тайны ордена, 2) повиновение высшим чинам ордена, 3) добронравие, 4) любовь к человечеству, 5) мужество, 6) щедрость и 7) любовь к смерти.
– В седьмых старайтесь, – сказал ритор, – частым помышлением о смерти довести себя до того, чтобы она не казалась вам более страшным врагом, но другом… который освобождает от бедственной сей жизни в трудах добродетели томившуюся душу, для введения ее в место награды и успокоения.
«Да, это должно быть так», – думал Пьер, когда после этих слов ритор снова ушел от него, оставляя его уединенному размышлению. «Это должно быть так, но я еще так слаб, что люблю свою жизнь, которой смысл только теперь по немногу открывается мне». Но остальные пять добродетелей, которые перебирая по пальцам вспомнил Пьер, он чувствовал в душе своей: и мужество , и щедрость , и добронравие , и любовь к человечеству , и в особенности повиновение , которое даже не представлялось ему добродетелью, а счастьем. (Ему так радостно было теперь избавиться от своего произвола и подчинить свою волю тому и тем, которые знали несомненную истину.) Седьмую добродетель Пьер забыл и никак не мог вспомнить ее.
В третий раз ритор вернулся скорее и спросил Пьера, всё ли он тверд в своем намерении, и решается ли подвергнуть себя всему, что от него потребуется.
– Я готов на всё, – сказал Пьер.
– Еще должен вам сообщить, – сказал ритор, – что орден наш учение свое преподает не словами токмо, но иными средствами, которые на истинного искателя мудрости и добродетели действуют, может быть, сильнее, нежели словесные токмо объяснения. Сия храмина убранством своим, которое вы видите, уже должна была изъяснить вашему сердцу, ежели оно искренно, более нежели слова; вы увидите, может быть, и при дальнейшем вашем принятии подобный образ изъяснения. Орден наш подражает древним обществам, которые открывали свое учение иероглифами. Иероглиф, – сказал ритор, – есть наименование какой нибудь неподверженной чувствам вещи, которая содержит в себе качества, подобные изобразуемой.
Пьер знал очень хорошо, что такое иероглиф, но не смел говорить. Он молча слушал ритора, по всему чувствуя, что тотчас начнутся испытанья.
– Ежели вы тверды, то я должен приступить к введению вас, – говорил ритор, ближе подходя к Пьеру. – В знак щедрости прошу вас отдать мне все драгоценные вещи.
– Но я с собою ничего не имею, – сказал Пьер, полагавший, что от него требуют выдачи всего, что он имеет.
– То, что на вас есть: часы, деньги, кольца…
Пьер поспешно достал кошелек, часы, и долго не мог снять с жирного пальца обручальное кольцо. Когда это было сделано, масон сказал:
– В знак повиновенья прошу вас раздеться. – Пьер снял фрак, жилет и левый сапог по указанию ритора. Масон открыл рубашку на его левой груди, и, нагнувшись, поднял его штанину на левой ноге выше колена. Пьер поспешно хотел снять и правый сапог и засучить панталоны, чтобы избавить от этого труда незнакомого ему человека, но масон сказал ему, что этого не нужно – и подал ему туфлю на левую ногу. С детской улыбкой стыдливости, сомнения и насмешки над самим собою, которая против его воли выступала на лицо, Пьер стоял, опустив руки и расставив ноги, перед братом ритором, ожидая его новых приказаний.
– И наконец, в знак чистосердечия, я прошу вас открыть мне главное ваше пристрастие, – сказал он.
– Мое пристрастие! У меня их было так много, – сказал Пьер.
– То пристрастие, которое более всех других заставляло вас колебаться на пути добродетели, – сказал масон.
Пьер помолчал, отыскивая.
«Вино? Объедение? Праздность? Леность? Горячность? Злоба? Женщины?» Перебирал он свои пороки, мысленно взвешивая их и не зная которому отдать преимущество.
– Женщины, – сказал тихим, чуть слышным голосом Пьер. Масон не шевелился и не говорил долго после этого ответа. Наконец он подвинулся к Пьеру, взял лежавший на столе платок и опять завязал ему глаза.
– Последний раз говорю вам: обратите всё ваше внимание на самого себя, наложите цепи на свои чувства и ищите блаженства не в страстях, а в своем сердце. Источник блаженства не вне, а внутри нас…
Пьер уже чувствовал в себе этот освежающий источник блаженства, теперь радостью и умилением переполнявший его душу.
Скоро после этого в темную храмину пришел за Пьером уже не прежний ритор, а поручитель Вилларский, которого он узнал по голосу. На новые вопросы о твердости его намерения, Пьер отвечал: «Да, да, согласен», – и с сияющею детскою улыбкой, с открытой, жирной грудью, неровно и робко шагая одной разутой и одной обутой ногой, пошел вперед с приставленной Вилларским к его обнаженной груди шпагой. Из комнаты его повели по коридорам, поворачивая взад и вперед, и наконец привели к дверям ложи. Вилларский кашлянул, ему ответили масонскими стуками молотков, дверь отворилась перед ними. Чей то басистый голос (глаза Пьера всё были завязаны) сделал ему вопросы о том, кто он, где, когда родился? и т. п. Потом его опять повели куда то, не развязывая ему глаз, и во время ходьбы его говорили ему аллегории о трудах его путешествия, о священной дружбе, о предвечном Строителе мира, о мужестве, с которым он должен переносить труды и опасности. Во время этого путешествия Пьер заметил, что его называли то ищущим, то страждущим, то требующим, и различно стучали при этом молотками и шпагами. В то время как его подводили к какому то предмету, он заметил, что произошло замешательство и смятение между его руководителями. Он слышал, как шопотом заспорили между собой окружающие люди и как один настаивал на том, чтобы он был проведен по какому то ковру. После этого взяли его правую руку, положили на что то, а левою велели ему приставить циркуль к левой груди, и заставили его, повторяя слова, которые читал другой, прочесть клятву верности законам ордена. Потом потушили свечи, зажгли спирт, как это слышал по запаху Пьер, и сказали, что он увидит малый свет. С него сняли повязку, и Пьер как во сне увидал, в слабом свете спиртового огня, несколько людей, которые в таких же фартуках, как и ритор, стояли против него и держали шпаги, направленные в его грудь. Между ними стоял человек в белой окровавленной рубашке. Увидав это, Пьер грудью надвинулся вперед на шпаги, желая, чтобы они вонзились в него. Но шпаги отстранились от него и ему тотчас же опять надели повязку. – Теперь ты видел малый свет, – сказал ему чей то голос. Потом опять зажгли свечи, сказали, что ему надо видеть полный свет, и опять сняли повязку и более десяти голосов вдруг сказали: sic transit gloria mundi. [так проходит мирская слава.]