Математика в девяти книгах

«Математика в девяти книгах» (кит. трад. 九章算術, упр. 九章算术, пиньинь: jiǔ zhāng suànshù, палл.: Цзю чжан суаньшу) — классическое сочинение, энциклопедия знаний древнекитайских математиков. Представляет собой слабо согласованную компиляцию более ранних трудов разных авторов, написанных в X—II веках до н. э. Окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном (умер в 150 году до н. э.). В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе, то есть рецептурно: формулируется задача, сообщается готовый ответ и (очень кратко и не всегда) указывается способ решения. В книге нет доказательств, чертежей и каких-либо методических разъяснений, большинство задач имеет ясный прикладной характер.

В китайских летописях упоминается не дошедшее до нас математическое сочинение «Цзю шу» (XII век до н. э.), оглавление которого почти совпадает с оглавлением «Математики в девяти книгах». Из этого можно сделать вывод о значительной древности большинства изложенных в данной книге знаний. Обычно «Математика в девяти книгах» издаётся в редакции и с комментариями Лю Хуэя (263 год).

Краткое содержание

Каждая из 9 глав (книг) представляет собой завершённый текст, не ссылающийся на другие главы.

1. 方田 Фан тянь, «Измерение полей» — Вычисление площадей: треугольники, многоугольники, круг, сегменты и секторы круга, круговое кольцо (судя по пояснениям, автор принимал, что <math>\pi=3</math>). Операции с дробями. Алгоритм поиска наибольшего общего делителя двух чисел, аналогичный евклидовскому.
2. 粟米 Су ми, «Соотношение злаков» — Правила обмена и торговли, в основном для зерновых культур (задачи на пропорции).
3. 衰分 Шуай фэнь, «Деление по ступеням» — Пропорциональное распределение товара.
4. 少廣 Шао гуан — Теория делимости. Извлечение квадратных и кубических корней. Измерение круга, сферы и шара.
5. 商功 Шан гун, «Оценка работ» — Объёмы различных тел: параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус. Расчёт трудозатрат при строительстве.
6. 均輸 Цзюнь шу, «Пропорциональное распределение» — Дополнительные сведения о пропорциональном распределении и задачи разного характера: прогрессии, совместный труд и др.
7. 盈不足 Ин бу цзу, «Избыток-недостаток» — Решение систем из двух линейных уравнений с помощью «правила ложного положения».
8. 方程 Фан чэн — Решение систем произвольного числа линейных уравнений. В ряде примеров используются отрицательные числа.
9. 勾股 Гоу гу — Теорема Пифагора и её приложения.

Примеры задач

Приводимые ниже номера задач были добавлены переводчиком для удобства ссылок, в оригинале задачи не пронумерованы.

Книга 3

2. Буйвол, лошадь и овца потравили чужой посев. Хозяин посева в возмещение убытка потребовал 5 доу зерна [1 доу равен 10 шэнам (около 10 литров)]. Хозяин овцы сказал: «Моя овца потравила половину того, что потравила лошадь». Хозяин лошади сказал: «Моя лошадь потравила половину того, что потравил буйвол». Спрашивается, сколько внесёт каждый, если [убыток] вносится соответственно?

Ответ: хозяин буйвола должен внести 2 доу <math>8 \frac{4}{7}</math> шэна, хозяин лошади должен внести 1 доу <math>4 \frac{2}{7}</math> шэна, хозяин овцы должен внести <math>7 \frac{1}{7}</math> шэна.

Книга 6

12. Быстро идущий проходит 100 бу, медленно идущий [за это же время] проходит 60 бу. Пусть теперь медленно идущий прошёл сначала 100 бу, [после чего] быстро идущий догоняет его. Спрашивается, сколько [пройдут они], пока один догонит [другого]?

Ответ: 250 бу.

14. Заяц сначала пробежал 100 бу. Собака, преследуя его, пробежала 250 бу и, не добежав до него 30 бу, остано­вилась. Спрашивается, сколько бу должна пробежать, не останавливаясь, собака, чтобы догнать зайца?

Ответ: <math>107 \frac{1}{7}</math> бу.

20. Дикая утка от южного моря до северного летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Ответ: полутора часов не достанет до исхода четвертых суток.

21. А отправился из Чаньаня и достигает княжества Ци за 5 дней. Б отправился из княжества Ци и достигает Чаньаня за 7 дней. [Пусть] теперь Б [находился в пути] уже 2 дня, (когда] А отправляется из Чаньаня. Спрашивается, через сколько дней они встре­тятся?

Ответ: через 2 дня и 2 часа..

Книга 7

1. Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 [монет], то будут 3 лишних. Если [каждый] человек внесёт по 7 [монет], то 4 не хватит. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Ответ: 7 человек, 53 монеты.

13. 1 доу чистого вина стоит 50 цяней, 1 доу разбавленного вина стоит 10 цяней. Когда их перемешали, получи­лось 2 доу ценою в 30 ляней. Спрашивается, сколько смешали того и другого вина?

Ответ: чистого вина было <math>\frac{1}{4}</math> доу, разбавленного — <math>1 \frac{3}{4}</math> доу.

Книга 8

9. Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек. Их взвесили на весах, и вес всех воробьёв больше веса всех ласточек. Если поменять местами одну ласточку и одного воробья, то вес будет одинаковым. Общий вес всех ласточек и воробьёв: 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.

Ответ: вес воробья <math>\frac{2}{19}</math>, вес ласточки: <math>\frac{3}{38}</math> цзиня.

Книга 9

6. Имеется водоём со стороной в 1 чжан [1 чжан = 10 чи]. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Ответ: глубина воды 1 чжан 2 чи, длина камыша 1 чжан 3 чи.

13. Бамбук высотой 10 чжан надломили, часть выше надлома пригнули к земле, и она коснулась земли на расстоянии 3 чи [1 чжан = 10 чи] от основания ствола. На какой высоте бамбук был надломлен?

Ответ: <math>4 \frac{11}{12}</math> чи.

20. Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?

Ответ: 250 бу.

Издания

На русском языке

• «Математика в девяти книгах»/ Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1957. — № 10. — С. 439—584.

На китайском языке

• [chinese.dsturgeon.net/text.pl?node=51058&if=gb 《九章算术》原文 «Математика в девяти книгах» (на китайском языке, традиционные иероглифы)]

На других языках

• Kurt Vogel. Neun Bücher Arithmetischer Technik, Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig 1968
• Shen Kangshen. The Nine Chapters on the Mathematical Art, Oxford, 1999. ISBN 0-19-853936-3
• Chemla, Karine, et Shuchun Guo. Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Paris, Dunod, 2004.

Литература

• Берёзкина Э. И. Древнекитайская математика. М.: Наука, 1987.
• Берёзкина Э. И. [flyonmap.com/b/2i1f1r1f1i1l1j1o1a_3l.2q._2u1a1t1f1n1a1t1j1l1a_2l1r1f1c1o1f1d1p_2s1j1t1a2g._1980.djvu Математика древнего Китая.] М.: Наука, 1980.
• Берёзкина Э. И. О «Математике в девяти книгах» // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1957. — № 10. — С. 427–438.
  • Рецензия: Т. Хуан. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7481&option_lang=rus О древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах» в русском переводе]. Успехи математических наук, 1958, 13:5(83), с. 235–237.
• История математики. В 3 т. Под ред. А. П. Юшкевича М.: Наука, 1970. [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени.]

Ссылки

• O'Connor J. J., Robertson E. F. [www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Nine_chapters.html Nine Chapters on the Mathematical Art] в архиве Mac Tutor.  (англ.)

Отрывок, характеризующий Математика в девяти книгах

– Да, да, – подтвердил Пьер.
Ритор прокашлялся, сложил на груди руки в перчатках и начал говорить:
– Теперь я должен открыть вам главную цель нашего ордена, – сказал он, – и ежели цель эта совпадает с вашею, то вы с пользою вступите в наше братство. Первая главнейшая цель и купно основание нашего ордена, на котором он утвержден, и которого никакая сила человеческая не может низвергнуть, есть сохранение и предание потомству некоего важного таинства… от самых древнейших веков и даже от первого человека до нас дошедшего, от которого таинства, может быть, зависит судьба рода человеческого. Но так как сие таинство такого свойства, что никто не может его знать и им пользоваться, если долговременным и прилежным очищением самого себя не приуготовлен, то не всяк может надеяться скоро обрести его. Поэтому мы имеем вторую цель, которая состоит в том, чтобы приуготовлять наших членов, сколько возможно, исправлять их сердце, очищать и просвещать их разум теми средствами, которые нам преданием открыты от мужей, потрудившихся в искании сего таинства, и тем учинять их способными к восприятию оного. Очищая и исправляя наших членов, мы стараемся в третьих исправлять и весь человеческий род, предлагая ему в членах наших пример благочестия и добродетели, и тем стараемся всеми силами противоборствовать злу, царствующему в мире. Подумайте об этом, и я опять приду к вам, – сказал он и вышел из комнаты.
– Противоборствовать злу, царствующему в мире… – повторил Пьер, и ему представилась его будущая деятельность на этом поприще. Ему представлялись такие же люди, каким он был сам две недели тому назад, и он мысленно обращал к ним поучительно наставническую речь. Он представлял себе порочных и несчастных людей, которым он помогал словом и делом; представлял себе угнетателей, от которых он спасал их жертвы. Из трех поименованных ритором целей, эта последняя – исправление рода человеческого, особенно близка была Пьеру. Некое важное таинство, о котором упомянул ритор, хотя и подстрекало его любопытство, не представлялось ему существенным; а вторая цель, очищение и исправление себя, мало занимала его, потому что он в эту минуту с наслаждением чувствовал себя уже вполне исправленным от прежних пороков и готовым только на одно доброе.
Через полчаса вернулся ритор передать ищущему те семь добродетелей, соответствующие семи ступеням храма Соломона, которые должен был воспитывать в себе каждый масон. Добродетели эти были: 1) скромность , соблюдение тайны ордена, 2) повиновение высшим чинам ордена, 3) добронравие, 4) любовь к человечеству, 5) мужество, 6) щедрость и 7) любовь к смерти.
– В седьмых старайтесь, – сказал ритор, – частым помышлением о смерти довести себя до того, чтобы она не казалась вам более страшным врагом, но другом… который освобождает от бедственной сей жизни в трудах добродетели томившуюся душу, для введения ее в место награды и успокоения.
«Да, это должно быть так», – думал Пьер, когда после этих слов ритор снова ушел от него, оставляя его уединенному размышлению. «Это должно быть так, но я еще так слаб, что люблю свою жизнь, которой смысл только теперь по немногу открывается мне». Но остальные пять добродетелей, которые перебирая по пальцам вспомнил Пьер, он чувствовал в душе своей: и мужество , и щедрость , и добронравие , и любовь к человечеству , и в особенности повиновение , которое даже не представлялось ему добродетелью, а счастьем. (Ему так радостно было теперь избавиться от своего произвола и подчинить свою волю тому и тем, которые знали несомненную истину.) Седьмую добродетель Пьер забыл и никак не мог вспомнить ее.
В третий раз ритор вернулся скорее и спросил Пьера, всё ли он тверд в своем намерении, и решается ли подвергнуть себя всему, что от него потребуется.
– Я готов на всё, – сказал Пьер.
– Еще должен вам сообщить, – сказал ритор, – что орден наш учение свое преподает не словами токмо, но иными средствами, которые на истинного искателя мудрости и добродетели действуют, может быть, сильнее, нежели словесные токмо объяснения. Сия храмина убранством своим, которое вы видите, уже должна была изъяснить вашему сердцу, ежели оно искренно, более нежели слова; вы увидите, может быть, и при дальнейшем вашем принятии подобный образ изъяснения. Орден наш подражает древним обществам, которые открывали свое учение иероглифами. Иероглиф, – сказал ритор, – есть наименование какой нибудь неподверженной чувствам вещи, которая содержит в себе качества, подобные изобразуемой.
Пьер знал очень хорошо, что такое иероглиф, но не смел говорить. Он молча слушал ритора, по всему чувствуя, что тотчас начнутся испытанья.
– Ежели вы тверды, то я должен приступить к введению вас, – говорил ритор, ближе подходя к Пьеру. – В знак щедрости прошу вас отдать мне все драгоценные вещи.
– Но я с собою ничего не имею, – сказал Пьер, полагавший, что от него требуют выдачи всего, что он имеет.
– То, что на вас есть: часы, деньги, кольца…
Пьер поспешно достал кошелек, часы, и долго не мог снять с жирного пальца обручальное кольцо. Когда это было сделано, масон сказал:
– В знак повиновенья прошу вас раздеться. – Пьер снял фрак, жилет и левый сапог по указанию ритора. Масон открыл рубашку на его левой груди, и, нагнувшись, поднял его штанину на левой ноге выше колена. Пьер поспешно хотел снять и правый сапог и засучить панталоны, чтобы избавить от этого труда незнакомого ему человека, но масон сказал ему, что этого не нужно – и подал ему туфлю на левую ногу. С детской улыбкой стыдливости, сомнения и насмешки над самим собою, которая против его воли выступала на лицо, Пьер стоял, опустив руки и расставив ноги, перед братом ритором, ожидая его новых приказаний.
– И наконец, в знак чистосердечия, я прошу вас открыть мне главное ваше пристрастие, – сказал он.
– Мое пристрастие! У меня их было так много, – сказал Пьер.
– То пристрастие, которое более всех других заставляло вас колебаться на пути добродетели, – сказал масон.
Пьер помолчал, отыскивая.
«Вино? Объедение? Праздность? Леность? Горячность? Злоба? Женщины?» Перебирал он свои пороки, мысленно взвешивая их и не зная которому отдать преимущество.
– Женщины, – сказал тихим, чуть слышным голосом Пьер. Масон не шевелился и не говорил долго после этого ответа. Наконец он подвинулся к Пьеру, взял лежавший на столе платок и опять завязал ему глаза.
– Последний раз говорю вам: обратите всё ваше внимание на самого себя, наложите цепи на свои чувства и ищите блаженства не в страстях, а в своем сердце. Источник блаженства не вне, а внутри нас…
Пьер уже чувствовал в себе этот освежающий источник блаженства, теперь радостью и умилением переполнявший его душу.


Скоро после этого в темную храмину пришел за Пьером уже не прежний ритор, а поручитель Вилларский, которого он узнал по голосу. На новые вопросы о твердости его намерения, Пьер отвечал: «Да, да, согласен», – и с сияющею детскою улыбкой, с открытой, жирной грудью, неровно и робко шагая одной разутой и одной обутой ногой, пошел вперед с приставленной Вилларским к его обнаженной груди шпагой. Из комнаты его повели по коридорам, поворачивая взад и вперед, и наконец привели к дверям ложи. Вилларский кашлянул, ему ответили масонскими стуками молотков, дверь отворилась перед ними. Чей то басистый голос (глаза Пьера всё были завязаны) сделал ему вопросы о том, кто он, где, когда родился? и т. п. Потом его опять повели куда то, не развязывая ему глаз, и во время ходьбы его говорили ему аллегории о трудах его путешествия, о священной дружбе, о предвечном Строителе мира, о мужестве, с которым он должен переносить труды и опасности. Во время этого путешествия Пьер заметил, что его называли то ищущим, то страждущим, то требующим, и различно стучали при этом молотками и шпагами. В то время как его подводили к какому то предмету, он заметил, что произошло замешательство и смятение между его руководителями. Он слышал, как шопотом заспорили между собой окружающие люди и как один настаивал на том, чтобы он был проведен по какому то ковру. После этого взяли его правую руку, положили на что то, а левою велели ему приставить циркуль к левой груди, и заставили его, повторяя слова, которые читал другой, прочесть клятву верности законам ордена. Потом потушили свечи, зажгли спирт, как это слышал по запаху Пьер, и сказали, что он увидит малый свет. С него сняли повязку, и Пьер как во сне увидал, в слабом свете спиртового огня, несколько людей, которые в таких же фартуках, как и ритор, стояли против него и держали шпаги, направленные в его грудь. Между ними стоял человек в белой окровавленной рубашке. Увидав это, Пьер грудью надвинулся вперед на шпаги, желая, чтобы они вонзились в него. Но шпаги отстранились от него и ему тотчас же опять надели повязку. – Теперь ты видел малый свет, – сказал ему чей то голос. Потом опять зажгли свечи, сказали, что ему надо видеть полный свет, и опять сняли повязку и более десяти голосов вдруг сказали: sic transit gloria mundi. [так проходит мирская слава.]