Математические основы квантовой механики

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
   Квантовая механика
<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений. Были созданы Луи де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности).





Наблюдаемые величины и векторы состояний

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний).[5] Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[5] Физическая величина <math>A</math> может принимать только собственные значения оператора <math>\widehat{A}</math>.[5] Математическое ожидание <math>\overline{A}</math> значений величины <math>A</math> в состоянии <math>\psi</math> вычисляется как <math>\overline{A} = (\psi, \widehat{A}\psi)</math>. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).[5] Векторы состояний <math>\psi_1</math> и <math>\psi_2</math> описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда <math>\psi_2=c\psi_1 , </math> где <math>c</math> — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.[6] Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины <math>A</math> в состоянии <math>\psi</math> задаются мерой[7]:

<math>dm_{\widehat{A}, \psi}(a) = d(E_{a}\psi, \psi)</math>,

где <math>\widehat{A}</math> — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине <math>a</math>, <math>\psi</math> — вектор состояния, <math>E_{a}</math> — спектральная функция оператора <math>\widehat{A}</math>, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

<math>\psi \rightarrow U \psi, A \rightarrow UAU^{-1}</math>

В этом случае любая имеющая смысл физическая величина <math>(A\psi, \psi)</math> не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов <math>A_{i}, i=1,...k</math> образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности (<math>\left [ A_i, A_j \right ] = 0</math> для всех <math>i, j = 1, ...k</math>, взаимной независимости (ни один из операторов <math>A_{i}</math> не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми <math>A_{i}</math> и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций <math>\psi(a_1,...a_k)</math> со скалярным произведением:

<math>(\psi_1, \psi_2)=\int \psi_1(a_1,...a_k)\overline{\psi_2(a_1,...a_k)}d \mu(a_1,...a_k)</math>

Операторы <math>A_{i}</math> являются операторами умножения на соответствующие переменные:

<math>A_i \psi (a_1,...a_k) = a_i \psi (a_1,...a_k)</math>

Совместное распределение значений наблюдаемых:

<math>P(a_1,...a_k) = \left | \psi (a_1,...a_k) \right |^2 d \mu(a_1,...a_k)</math>

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы

В случае частицы в трёхмерном пространстве <math>x = (x_1, x_2, x_3)</math> наблюдаемыми величинами являются координаты <math>Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}</math> и импульсы <math>P_{1}, P_{2}, P_{3}</math>.

В представлении Шредингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции <math>\psi(x)</math> со скалярным произведением:

<math>(\psi_1, \psi_2) = \int \psi_1(x) \overline{\psi_2(x)} dx</math>

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

<math>\widehat{x_{j}}\psi(x) = x_{j}\psi(x), j=1, 2, 3</math>

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

<math>\widehat{p_{j}}\psi(x) = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{j}} \psi(x), j=1, 2, 3</math>

Соотношения коммутации

Операторы декартовых координат <math>\widehat{x_i}</math> и операторы импульсов <math>\widehat{p_i}</math> удовлетворяют соотношениям коммутации:

<math>\left [ \widehat{p_i}, \widehat{x_k} \right ] = -i\hbar \delta_{ik}</math>
<math>\left [ \widehat{p_i}, \widehat{p_k} \right ] = 0</math>
<math>\left [ \widehat{x_i}, \widehat{x_k} \right ] = 0</math>

Здесь <math>\hbar</math> — постоянная Планка.[5]

Уравнения Гамильтона

Матричные элементы операторов декартовых координат <math>\widehat{x_i}</math> и операторов импульсов <math>\widehat{p_i}</math> удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

<math>\frac{d}{dt}(f, \widehat{p_i}g) = - (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{x_i}}g)</math>
<math>\frac{d}{dt}(f, \widehat{x_i}g) = (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{p_i}}g)</math>

Здесь <math>\widehat{H}</math> — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[5]

Уравнение Шрёдингера

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

<math>i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi , </math>
где <math>\hat{H}</math> — гамильтониан:
<math>{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .</math>
Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:
<math>{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}} .</math>

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[8]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. также

Напишите отзыв о статье "Математические основы квантовой механики"

Примечания

  1. ↑ L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
  2. ↑ W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
  3. ↑ E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
  4. ↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
  5. ↑ 1 2 3 4 5 6 Елютин, 1976, с. 25.
  6. ↑ Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
  7. ↑ C. Г. Крейн. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
  8. ↑ Хотя это и не обязательно.

Литература

  • [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/BogolyubovLogunovTodorov1969ru.djvu Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.]
  • Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
  • [de.dleex.com/read/?2526 Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.]
  • [ru.dleex.com/read/?3039 Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.]
  • [de.dleex.com/read/?5890 Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.]
  • [de.dleex.com/read/?4412 Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.]
  • Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
  • Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
  • Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.

Отрывок, характеризующий Математические основы квантовой механики

«Боже мой! что ж это такое? – думал Ростов. – И здесь, где всякую минуту государь может увидать их… Но нет, это, верно, только несколько мерзавцев. Это пройдет, это не то, это не может быть, – думал он. – Только поскорее, поскорее проехать их!»
Мысль о поражении и бегстве не могла притти в голову Ростову. Хотя он и видел французские орудия и войска именно на Праценской горе, на той самой, где ему велено было отыскивать главнокомандующего, он не мог и не хотел верить этому.


Около деревни Праца Ростову велено было искать Кутузова и государя. Но здесь не только не было их, но не было ни одного начальника, а были разнородные толпы расстроенных войск.
Он погонял уставшую уже лошадь, чтобы скорее проехать эти толпы, но чем дальше он подвигался, тем толпы становились расстроеннее. По большой дороге, на которую он выехал, толпились коляски, экипажи всех сортов, русские и австрийские солдаты, всех родов войск, раненые и нераненые. Всё это гудело и смешанно копошилось под мрачный звук летавших ядер с французских батарей, поставленных на Праценских высотах.
– Где государь? где Кутузов? – спрашивал Ростов у всех, кого мог остановить, и ни от кого не мог получить ответа.
Наконец, ухватив за воротник солдата, он заставил его ответить себе.
– Э! брат! Уж давно все там, вперед удрали! – сказал Ростову солдат, смеясь чему то и вырываясь.
Оставив этого солдата, который, очевидно, был пьян, Ростов остановил лошадь денщика или берейтора важного лица и стал расспрашивать его. Денщик объявил Ростову, что государя с час тому назад провезли во весь дух в карете по этой самой дороге, и что государь опасно ранен.
– Не может быть, – сказал Ростов, – верно, другой кто.
– Сам я видел, – сказал денщик с самоуверенной усмешкой. – Уж мне то пора знать государя: кажется, сколько раз в Петербурге вот так то видал. Бледный, пребледный в карете сидит. Четверню вороных как припустит, батюшки мои, мимо нас прогремел: пора, кажется, и царских лошадей и Илью Иваныча знать; кажется, с другим как с царем Илья кучер не ездит.
Ростов пустил его лошадь и хотел ехать дальше. Шедший мимо раненый офицер обратился к нему.
– Да вам кого нужно? – спросил офицер. – Главнокомандующего? Так убит ядром, в грудь убит при нашем полку.
– Не убит, ранен, – поправил другой офицер.
– Да кто? Кутузов? – спросил Ростов.
– Не Кутузов, а как бишь его, – ну, да всё одно, живых не много осталось. Вон туда ступайте, вон к той деревне, там всё начальство собралось, – сказал этот офицер, указывая на деревню Гостиерадек, и прошел мимо.
Ростов ехал шагом, не зная, зачем и к кому он теперь поедет. Государь ранен, сражение проиграно. Нельзя было не верить этому теперь. Ростов ехал по тому направлению, которое ему указали и по которому виднелись вдалеке башня и церковь. Куда ему было торопиться? Что ему было теперь говорить государю или Кутузову, ежели бы даже они и были живы и не ранены?
– Этой дорогой, ваше благородие, поезжайте, а тут прямо убьют, – закричал ему солдат. – Тут убьют!
– О! что говоришь! сказал другой. – Куда он поедет? Тут ближе.
Ростов задумался и поехал именно по тому направлению, где ему говорили, что убьют.
«Теперь всё равно: уж ежели государь ранен, неужели мне беречь себя?» думал он. Он въехал в то пространство, на котором более всего погибло людей, бегущих с Працена. Французы еще не занимали этого места, а русские, те, которые были живы или ранены, давно оставили его. На поле, как копны на хорошей пашне, лежало человек десять, пятнадцать убитых, раненых на каждой десятине места. Раненые сползались по два, по три вместе, и слышались неприятные, иногда притворные, как казалось Ростову, их крики и стоны. Ростов пустил лошадь рысью, чтобы не видать всех этих страдающих людей, и ему стало страшно. Он боялся не за свою жизнь, а за то мужество, которое ему нужно было и которое, он знал, не выдержит вида этих несчастных.
Французы, переставшие стрелять по этому, усеянному мертвыми и ранеными, полю, потому что уже никого на нем живого не было, увидав едущего по нем адъютанта, навели на него орудие и бросили несколько ядер. Чувство этих свистящих, страшных звуков и окружающие мертвецы слились для Ростова в одно впечатление ужаса и сожаления к себе. Ему вспомнилось последнее письмо матери. «Что бы она почувствовала, – подумал он, – коль бы она видела меня теперь здесь, на этом поле и с направленными на меня орудиями».
В деревне Гостиерадеке были хотя и спутанные, но в большем порядке русские войска, шедшие прочь с поля сражения. Сюда уже не доставали французские ядра, и звуки стрельбы казались далекими. Здесь все уже ясно видели и говорили, что сражение проиграно. К кому ни обращался Ростов, никто не мог сказать ему, ни где был государь, ни где был Кутузов. Одни говорили, что слух о ране государя справедлив, другие говорили, что нет, и объясняли этот ложный распространившийся слух тем, что, действительно, в карете государя проскакал назад с поля сражения бледный и испуганный обер гофмаршал граф Толстой, выехавший с другими в свите императора на поле сражения. Один офицер сказал Ростову, что за деревней, налево, он видел кого то из высшего начальства, и Ростов поехал туда, уже не надеясь найти кого нибудь, но для того только, чтобы перед самим собою очистить свою совесть. Проехав версты три и миновав последние русские войска, около огорода, окопанного канавой, Ростов увидал двух стоявших против канавы всадников. Один, с белым султаном на шляпе, показался почему то знакомым Ростову; другой, незнакомый всадник, на прекрасной рыжей лошади (лошадь эта показалась знакомою Ростову) подъехал к канаве, толкнул лошадь шпорами и, выпустив поводья, легко перепрыгнул через канаву огорода. Только земля осыпалась с насыпи от задних копыт лошади. Круто повернув лошадь, он опять назад перепрыгнул канаву и почтительно обратился к всаднику с белым султаном, очевидно, предлагая ему сделать то же. Всадник, которого фигура показалась знакома Ростову и почему то невольно приковала к себе его внимание, сделал отрицательный жест головой и рукой, и по этому жесту Ростов мгновенно узнал своего оплакиваемого, обожаемого государя.
«Но это не мог быть он, один посреди этого пустого поля», подумал Ростов. В это время Александр повернул голову, и Ростов увидал так живо врезавшиеся в его памяти любимые черты. Государь был бледен, щеки его впали и глаза ввалились; но тем больше прелести, кротости было в его чертах. Ростов был счастлив, убедившись в том, что слух о ране государя был несправедлив. Он был счастлив, что видел его. Он знал, что мог, даже должен был прямо обратиться к нему и передать то, что приказано было ему передать от Долгорукова.
Но как влюбленный юноша дрожит и млеет, не смея сказать того, о чем он мечтает ночи, и испуганно оглядывается, ища помощи или возможности отсрочки и бегства, когда наступила желанная минута, и он стоит наедине с ней, так и Ростов теперь, достигнув того, чего он желал больше всего на свете, не знал, как подступить к государю, и ему представлялись тысячи соображений, почему это было неудобно, неприлично и невозможно.
«Как! Я как будто рад случаю воспользоваться тем, что он один и в унынии. Ему неприятно и тяжело может показаться неизвестное лицо в эту минуту печали; потом, что я могу сказать ему теперь, когда при одном взгляде на него у меня замирает сердце и пересыхает во рту?» Ни одна из тех бесчисленных речей, которые он, обращая к государю, слагал в своем воображении, не приходила ему теперь в голову. Те речи большею частию держались совсем при других условиях, те говорились большею частию в минуту побед и торжеств и преимущественно на смертном одре от полученных ран, в то время как государь благодарил его за геройские поступки, и он, умирая, высказывал ему подтвержденную на деле любовь свою.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Математические_основы_квантовой_механики&oldid=79267911»