Матрица перехода

В линейной алгебре, базис векторного пространства размерности <math> n </math> — это последовательность из <math> n </math> векторов <math>(\alpha_1, ..., \alpha_n)</math> таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Определение

Если вектора <math>\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n}</math> выражаются через вектора <math>\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n}</math> как

<math>\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n </math>.

<math>\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n </math>.

<math>\ldots</math>.

<math>\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n </math>.

то матрица перехода от базиса <math>(\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n})</math> к базису <math>(\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n}</math>) будет

<math> \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{21}&... & \alpha_{n1} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22}&... & \alpha_{n2} \\ ...&...&...&... \\\alpha_{1n} & \alpha_{2n}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}</math>

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис <math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math>.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

<math>

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math>

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	<math> \begin{bmatrix} a&0 \\ 0&b\end{bmatrix} </math>	<math> \begin{bmatrix} a&0&0 \\ 0&b&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} </math>	<math> \begin{bmatrix} a&0&0&0 \\ 0&b&0&0 \\ 0&0&c&0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} </math>
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке <math> \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix} </math>	<math> \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>	Относительно OX на угол φ <math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi&\sin\phi& 0 \\ 0 &-\sin\phi&\cos\phi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>	Относительно OY на угол ψ <math> \begin{bmatrix} \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
	Против часовой стрелки <math> \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix} </math>		Относительно OZ на угол χ <math> \begin{bmatrix} \cos \chi &\sin \chi & 0 & 0 \\ -\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>	<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• <math>P_{e \rightarrow e'}^{-1} = P_{e' \rightarrow e}</math>

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса <math>a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> к единичному базису <math>b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> путём элементарных преобразований

<math> \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 5 & 1&0 &0 \\ 2 & -4 & 1& 0&1&0 \\ -1 & 2 & 0 & 0&0&1 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2&-10 &-19 \\ 0 & 1 & 0& 1&-5&-9 \\ 0 & 0 & 1 & 0&1&2\end{array}\right)</math> следовательно <math>P_{a \rightarrow b}=\begin{pmatrix}2&-10 &-19 \\ 1&-5&-9 \\ 0&1&2 \end{pmatrix}</math>

См. также

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

Ссылки

• [www.exponenta.ru/educat/class/test/showitem/?item=62 Матрицы перехода от базиса к базису]

Отрывок, характеризующий Матрица перехода

– Allez donc, il y voit assez, [Э, вздор, он достаточно видит, поверьте.] – сказал князь Василий своим басистым, быстрым голосом с покашливанием, тем голосом и с покашливанием, которым он разрешал все трудности. – Allez, il y voit assez, – повторил он. – И чему я рад, – продолжал он, – это то, что государь дал ему полную власть над всеми армиями, над всем краем, – власть, которой никогда не было ни у какого главнокомандующего. Это другой самодержец, – заключил он с победоносной улыбкой.
– Дай бог, дай бог, – сказала Анна Павловна. L'homme de beaucoup de merite, еще новичок в придворном обществе, желая польстить Анне Павловне, выгораживая ее прежнее мнение из этого суждения, сказал.
– Говорят, что государь неохотно передал эту власть Кутузову. On dit qu'il rougit comme une demoiselle a laquelle on lirait Joconde, en lui disant: «Le souverain et la patrie vous decernent cet honneur». [Говорят, что он покраснел, как барышня, которой бы прочли Жоконду, в то время как говорил ему: «Государь и отечество награждают вас этой честью».]
– Peut etre que la c?ur n'etait pas de la partie, [Может быть, сердце не вполне участвовало,] – сказала Анна Павловна.
– О нет, нет, – горячо заступился князь Василий. Теперь уже он не мог никому уступить Кутузова. По мнению князя Василья, не только Кутузов был сам хорош, но и все обожали его. – Нет, это не может быть, потому что государь так умел прежде ценить его, – сказал он.
– Дай бог только, чтобы князь Кутузов, – сказала Анпа Павловна, – взял действительную власть и не позволял бы никому вставлять себе палки в колеса – des batons dans les roues.
Князь Василий тотчас понял, кто был этот никому. Он шепотом сказал:
– Я верно знаю, что Кутузов, как непременное условие, выговорил, чтобы наследник цесаревич не был при армии: Vous savez ce qu'il a dit a l'Empereur? [Вы знаете, что он сказал государю?] – И князь Василий повторил слова, будто бы сказанные Кутузовым государю: «Я не могу наказать его, ежели он сделает дурно, и наградить, ежели он сделает хорошо». О! это умнейший человек, князь Кутузов, et quel caractere. Oh je le connais de longue date. [и какой характер. О, я его давно знаю.]
– Говорят даже, – сказал l'homme de beaucoup de merite, не имевший еще придворного такта, – что светлейший непременным условием поставил, чтобы сам государь не приезжал к армии.
Как только он сказал это, в одно мгновение князь Василий и Анна Павловна отвернулись от него и грустно, со вздохом о его наивности, посмотрели друг на друга.


В то время как это происходило в Петербурге, французы уже прошли Смоленск и все ближе и ближе подвигались к Москве. Историк Наполеона Тьер, так же, как и другие историки Наполеона, говорит, стараясь оправдать своего героя, что Наполеон был привлечен к стенам Москвы невольно. Он прав, как и правы все историки, ищущие объяснения событий исторических в воле одного человека; он прав так же, как и русские историки, утверждающие, что Наполеон был привлечен к Москве искусством русских полководцев. Здесь, кроме закона ретроспективности (возвратности), представляющего все прошедшее приготовлением к совершившемуся факту, есть еще взаимность, путающая все дело. Хороший игрок, проигравший в шахматы, искренно убежден, что его проигрыш произошел от его ошибки, и он отыскивает эту ошибку в начале своей игры, но забывает, что в каждом его шаге, в продолжение всей игры, были такие же ошибки, что ни один его ход не был совершенен. Ошибка, на которую он обращает внимание, заметна ему только потому, что противник воспользовался ею. Насколько же сложнее этого игра войны, происходящая в известных условиях времени, и где не одна воля руководит безжизненными машинами, а где все вытекает из бесчисленного столкновения различных произволов?