Матрица (математика)

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую <math>n</math> столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую <math>n</math> строк);
• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);
• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Введение

Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а также при рассмотрении линейных преобразований.

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

<math>

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}</math>. Эта система состоит из <math>m</math> линейных уравнений относительно <math>n</math> неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

<math>Ax = b</math>,

где

<math>A =

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;

\quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\

x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;

\quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\

b_{2} \\
\vdots \\
b_{m} \end{pmatrix}</math>

Матрица <math>A</math> — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец <math>x</math> — вектор неизвестных, а вектор-столбец <math>b</math> — некоторый заданный вектор.

Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор <math>b</math> был линейной комбинацией столбцов <math>A</math>, и тогда вектор <math>x</math> — это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора <math>b</math> по столбцам матрицы<math>A</math>.

На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли:

ранг матрицы <math>A</math> равен рангу расширенной матрицы <math>[A|b]</math>,

составленной из столбцов <math>A</math> и столбца <math>b</math>.

Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (<math>m = n</math>, т.е. матрица <math>A</math> - квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы <math>A</math>.

(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример: <math>0x=0</math>.)

В частности, если матрица <math>A</math> является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена <math>A^{-1}</math>, то и найдено) в виде

<math>x = A^{-1}b</math>.

Этот приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.

Линейные преобразования

Рассмотрим линейное преобразование <math>\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, действующее из <math>n</math>-мерного векторного пространства <math>\mathbb{R}^n</math> в <math>m</math>-мерное векторное пространство <math>\mathbb{R}^m</math>, имеющее следующий вид:

<math>

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\right.</math>. В матричной форме это преобразование уравнения вида:

<math>y=Ax</math>.

Матрица <math>A</math> — это матрица коэффициентов линейного преобразования.

Если рассмотреть действие линейного преобразования <math>\mathcal{A}</math> на векторы вида

<math>e_j=(0,\dots,0,1_j,0,\dots,0)^T,\quad j=\overline{1,n}</math>,

составляюще базис пространства <math>\mathbb{R}^n</math>, то <math>\mathcal{A}\mathbf{e}_j</math> — это есть j-ый столбец матрицы <math>A</math>.

Таким образом, матрица <math>A</math> полностью описывает линейное преобразование <math>\mathcal{A}</math>, и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.

Определения

Прямоугольная матрица

Пусть есть два конечных множества:

• номера строк: <math>M=\{1,2,\dots,m\}</math>;

• номера столбцов: <math>N=\{1,2,\dots,n\}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — натуральные числа.

Назовём матрицей <math>A</math> размера <math>m\times n</math> (читается <math>m</math> на <math>n</math>) (<math>m</math> - строк, <math>n</math> - столбцов) с элементами из некоторого кольца или поля <math>\mathcal{K}</math> отображение вида <math>A\colon M\times N\to\mathcal{K}</math>. Матрица записывается как

<math display="inline">A =

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & a_{ij} & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},</math> где элемент матрицы <math>a_{ij}=a(i,j)</math> находится на пересечении <math>i</math>-й строки и <math>j</math>-го столбца.

• <math>i</math>-я строка матрицы <math display="inline">A(i,) =

\begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{pmatrix} ;</math>

• <math>j</math>-й столбец матрицы <math display="inline">A(,j) =

\begin{pmatrix}

 a_{1j} 

\\a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}.</math>

При этом количество элементов матрицы равно <math>m \cdot n</math>.

В соответствии с этим

• каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в <math>n</math>-мерном координатном пространстве <math>\mathcal{K}^{n}</math>;
• каждый столбец матрицы — как вектор в <math>m</math>-мерном координатном пространстве <math>\mathcal{K}^{m}</math>.

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве <math>\mathcal{K}^{mn}</math>, имеющем размерность <math>mn</math>. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Квадратная матрица

Если у матрицы количество строк <math>m</math> совпадает с количеством столбцов <math>n</math>, то такая матрица называется квадратной, а число <math>m=n</math> называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера <math>m\times 1</math> и <math>1\times n</math> являются элементами пространств <math>\mathcal{K}^{m}</math> и <math>\mathcal{K}^{n}</math> соответственно:

• матрица размера <math>m\times 1</math> называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

<math>\mathrm{colon}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m)

=\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{array} \right) =(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m)^{T};</math>

• матрица размера <math>1\times n</math> называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

<math>\mathrm{row}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)=(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n);</math>

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля,
2. Прибавление одной строки к другой строке,
3. Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.

Ранг матрицы

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

• столбцы матрицы <math>A</math> составляют элементы пространства размерности <math>m</math>;
• строки матрицы <math>A</math> составляют элементы пространства размерности <math>n</math>.

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

<math>A\colon M\times N\to\mathcal{K}</math>,

тогда <math>A</math> — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля <math>\mathcal{K}</math> вида <math>a_{ij}=A(i,j)</math>, где

• первый индекс означает индекс строки: <math>i=\overline{1,m}</math>;
• второй индекс означает индекс столбца: <math>j=\overline{1,n}</math>;

таким образом, <math>a_{ij}</math> — элемент матрицы <math>A</math>, находящийся на пересечении <math>i</math>-й строки и <math>j</math>-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера <math>m\times n</math>:

<math>A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n}</math>

или просто:

<math>A=(a_{ij}),</math>

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо <math>a_{ij}</math>, пишут <math>a_{i,j}</math>, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

<math>\begin{pmatrix}

a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|</math>

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||").

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

<math>a_{i\cdot}=A_i=[

\begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]</math> — это <math>i</math>-тая строка матрицы <math>A</math>, а

<math>a_{\cdot j}=A^j=\left[

\begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end{array}\right]</math> — это <math>j</math>-тый столбец матрицы <math>A</math>.

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по столбцам:

<math>A=[

\begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]</math> и по строкам:

<math>A=\left[

\begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]</math>. Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица

Для каждой матрицы <math>A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix} i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}</math> размера <math>m\times n</math>

можно построить матрицу <math>B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix} j=\overline{1,n} \\ i=\overline{1,m} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,m} \end{pmatrix}</math> размера <math>n\times m</math>,

у которой <math>b_{j,i}=a_{i,j}</math> для всех <math>i=\overline{1,m}</math> и <math>j=\overline{1,n}</math>.

Такая матрица называется транспонированной матрицей для <math>A</math> и обозначается <math>A^{T}</math>,

иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается <math>A'</math>,

иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается <math>A^{*}</math>.

При транспонировании строки (столбцы) матрицы <math>A</math> становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы <math>A^{T} </math>.

Очевидно, <math>(A^{T})^{T}=A </math>.

Для матриц над кольцом <math>\mathcal{K}</math> транспонирование является изоморфизмом <math>\mathcal{K}</math> - модулей матриц, поскольку

<math> (A+B)^T=A^T+B^T </math>,

<math> (\lambda \cdot A)^T=\lambda \cdot (A^T) </math>, для любых <math>\lambda \in \mathcal{K}</math>.

Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые <math>(i \neq j: a_{ij} = 0)</math>, иногда записывается как:

<math>\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).</math>

Единичная матрица

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

<math>\mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1).</math>

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера <math>\delta_{ij}</math>, определяемый как:

<math>\delta_{ii} = 1</math>

<math>\delta_{ij} = 0</math> при <math>i \neq j.</math>

Нулевая матрица

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например <math>\Theta</math>.

Операции над матрицами

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц <math>A + B</math> есть операция нахождения матрицы <math>C</math>, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц <math>A</math> и <math>B</math>, то есть каждый элемент матрицы <math>C</math> равен

<math>\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}</math>

Свойства сложения матриц:

• коммутативность: A+B = B+A;
• ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
• сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;
• существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы <math>A</math> на число <math> \lambda \in \mathcal{K}</math> заключается в построении матрицы <math>\lambda A = ( \lambda a_{ij} )</math>.

Свойства умножения матриц на число:

• умножение на единицу: 1A = A;
• ассоциативность: (λβ)A = λ(βA);
• дистрибутивность: (λ+β)A = λA + βA;
• дистрибутивность: λ(A+B) = λA + λB;

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: <math>A B</math>, реже со знаком умножения <math>A\times B</math>) — есть операция вычисления матрицы <math>C</math>, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

<math>c_{ij} = \sum^n_{k=1} a_{ik} b_{kj}</math>

Количество столбцов в матрице <math>A</math> должно совпадать с количеством строк в матрице <math>B</math>, иными словами, матрица <math>A</math> обязана быть согласованной с матрицей <math>B</math>. Если матрица <math>A</math> имеет размерность <math>m \times n</math>, <math>B</math> — <math>n \times k</math>, то размерность их произведения <math>A B = C</math> есть <math>m \times k</math>.

Свойства умножения матриц:

• ассоциативность: (AB)C = A(BC);
• некоммутативность (в общем случае): AB <math>\neq</math> BA;
• произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
• дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
• ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Умножение вектора на матрицу

По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):

<math> (Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},</math>

для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):

<math> (sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.</math>

Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):

<math> sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.</math>

(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).

Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм.

• При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (то есть один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка — в базисе, дуальном основному (Иногда о пространстве векторов-строк говорят также как об особом, дуальном пространству векторов-столбцов, пространстве ковекторов).

Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения.

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы <math>A = (a_{ij})</math> являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна <math>\bar A = (\bar a_{i,j} )</math>. Здесь <math>\bar a</math> — число, комплексно сопряжённое к <math>a</math>.

Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если <math>A = (a_{ij})</math>, то <math>A^T = (a_{ji})</math>. Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: <math>A^* = \bar A^T</math>. С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

След

Для квадратной матрицы <math>A</math> сумма диагональных элементов (т.е. главных миноров первого порядка) называется следом:

<math>\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}</math>

(другие обозначения <math>\mathrm{Trace}</math>, <math>\mathrm{Sp}</math>, <math>\mathrm{Spur}</math>).

Свойства. 1. Если определены <math>AB</math> и <math>BA</math>, то

<math>\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)</math>.

2. След является инвариантом преобразований подобия матрицы, т.е. если <math>S</math> невырождена, то <math>\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)</math>.
3. След равен сумме (всех, с учётом кратности) собственных значений матрицы:

<math>\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}</math>.

Более того, для любого целого (положительного) числа <math>k</math> выполняется

<math>\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{k}</math>.

Определитель (детерминант)

Пусть матрица <math>A</math> - квадратная, тогда обозначение определителя: <math>\Delta = \det A</math>. Если матрица <math>2\times2</math>, то <math>\Delta = \det A=a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}</math>

Связанные понятия

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов <math>\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n</math> называется вектор

<math>\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,</math>

где <math>a_1,\dots,a_n</math> — коэффициенты разложения:

• если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
• если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение <math>C=AB</math> матриц <math>A</math> и <math>B</math> терминах линейных комбинаций:

• столбцы матрицы <math>C</math> — это линейные комбинации столбцов матрицы <math>A</math> с коэффициентами, взятыми из матрицы <math>B</math>;
• строки матрицы <math>C</math> — это линейные комбинации строк матрицы <math>B</math> с коэффициентами, взятыми из матрицы <math>A</math>.

Линейная зависимость

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

<math>\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\dots+a_n\mathbf{x_n},</math>

где не все числа <math>a_1,\dots,a_n</math> равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

• если строки матрицы <math>C</math> линейно зависят от строк матрицы <math>B</math>, то <math>C=AB</math> для некоторой матрицы <math>A</math>;
• если столбцы матрицы <math>C</math> линейно зависят от столбцов другой матрицы <math>A</math>, то <math>C=AB</math> для некоторой матрицы <math>B</math>.

Свойства

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица <math>\Theta</math> такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

<math>A + \Theta = A</math>

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

• Ассоциативность сложения: <math>A + (B + C) = (A + B) + C.</math>
• Коммутативность сложения: <math>A + B = B + A.</math>
• Ассоциативность умножения: <math>A(BC) = (AB)C.</math>
• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: <math>AB \ne BA</math>. Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

  <math>A(B + C) = AB + AC;</math>

  <math>(B + C)A = BA + CA.</math>

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
• Свойства операции транспонирования матриц:

  <math>(A^T)^T=A</math>

  <math>(AB)^T=B^T A^T</math>

  <math>(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}</math>, если обратная матрица <math>A^{-1}</math> существует.

  <math> (A+B)^T=A^T+B^T </math>

  <math> \text{det}\; A=\text{det}\; A^T </math>

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица <math>E</math> (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

<math>EA = AE = A</math>

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

<math>E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}</math>

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица <math>A^{-1}</math> такова, что если матрицу умножить на обратную ей матрицу, то получится единичная матрица:

<math>A A^{- 1} = E</math>

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная матрица существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все её строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности <math>(p;\;0)</math> на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.

Кольцо матриц

Из указанных выше свойств сложения и умножения матриц (ассоциативность и коммутативность сложения, дистрибутивность умножения, существование нулевой и противоположной по сложению матрицы) следует, что квадратные матрицы n на n с элементами из любого кольца R образуют кольцо, изоморфное кольцу эндоморфизмов свободного модуля Rⁿ. Это кольцо обозначается <math>M(n,R)</math> или <math>M_n(R)</math>. Если же R — коммутативное кольцо, <math>M(n,R)</math> является также ассоциативной алгеброй над R. Определитель матрицы с элементами из коммутативного кольца можно вычислять по обычной формуле, при этом матрица будет обратима тогда и только тогда, когда её определитель обратим в R. Это обобщает ситуацию с матрицами с элементами из поля, так как в поле обратим любой элемент, кроме нуля.

Матрицы в теории групп

Матрицы играют важную роль в теории групп. Они используются при построении общих линейных групп, специальных линейных групп, диагональных групп, треугольных групп, унитреугольных групп.

Конечную группу (в частности, симметрическую) можно (изоморфно) промоделировать матрицами перестановок (содержащими только «0» и «1»),

например, для <math>S_3</math> : <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> , <math> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> , <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}</math> , <math> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> , <math> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> , <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}</math> .

Поле <math> \mathbb{C} </math> комплексных чисел может быть (изоморфно) промоделировано над полем <math> \mathbb{R} </math> вещественных чисел:

для <math>z = x + i y , \quad c = a + i b \in \mathbb{C} </math> матричные аналоги <math> Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix} </math> , <math> C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix} </math> , где <math>x , y , a , b \in \mathbb{R} </math> ;

<math>z + c = (x + a)+ i(y + b)</math> соответствует <math> Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix} </math> ;

<math>z c = (x a - y b)+ i(x b + y a)</math> соответствует <math> Z C = \begin{pmatrix} x a - y b & x b + y a\\- y a - x b & - y b + x a\end{pmatrix} </math> ;

<math>\bar{z} = x - i y </math> соответствует <math> Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix} </math> ;

<math>|z|^2 = z \bar{z}= x^2 + y^2=det(Z) \in \mathbb{R} </math> ;

<math>\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - i y}{x^2 + y^2} </math> при <math> z \ne 0 </math> соответствует <math> Z^{-1} = \frac{Z^T}{det(Z)} </math> при <math>det(Z) \ne 0 </math> ;

<math>e^z = e^{x + i y} = e^x (cos(y) + i\, sin(y)) </math> соответствует <math> e^x \begin{pmatrix} cos(y) & sin(y)\\-sin(y) & cos(y) \end{pmatrix} </math> .

В частности, для <math> E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix} </math> , <math> I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix} </math>

<math>z = x + i y \in \mathbb{C} </math> соответствует <math> Z = x E + y I</math> ,

где <math> I^2=-E </math> .

Замечание. Модель имеет автоморфизм <math> (I \to -I) </math>, то есть <math> Z \to Z^T </math>

Тело кватернионов <math> \mathbb{H} </math> может быть (изоморфно) промоделировано над полем <math> \mathbb{R} </math> вещественных чисел:

для <math> q = t + i x + j y + k z \in \mathbb{H}</math> матричный аналог <math> Q = \begin{pmatrix}

t & x & y & -z\\

-x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{pmatrix} </math> , где <math>t , x , y , z \in \mathbb{R} </math> .

Для того, чтобы кватерниону <math> q = t + i x + j y + k z </math> соответствовала матрица <math> Q = t E + x I + y J + z K </math> ,

где <math> I^2=J^2=K^2=-E </math> , <math> IJ=-JI=K </math> , <math> JK=-KJ=I </math> , <math> KI=-IK=J </math> ,

можно ввести базисные элементы

<math> E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} </math> , <math> I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix} </math> , <math> J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix} </math> , <math> K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> .

Параметры должны удовлетворять условиям: <math> a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \} </math> и <math> abcd = -1 </math> .

Существует 8 решений (8 представлений).

См. также

• Норма матрицы
• Определитель матрицы
• Собственные векторы, значения и пространства
• Массив — тип данных в программировании, соответствующий матрице (многомерность достигается вложенными массивами).
• Разрежённый массив — одна из компьютерных форм представления разреженных матриц.
• Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления.
• Лямбда-матрица
• Жорданова нормальная форма
• Список матриц

Литература

• Беллман Р. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Bellman1969ru.djvu Введение в теорию матриц]. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Биркгоф Г. (Garrett Birkhoff), Барти Т. (Thomas C. Bartee) Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976, 400 стр. с илл.
• Ван дер Варден Б. Л. (B. L. van der Waerden) Алгебра. (2-е изд.) — М.: Наука, 1979, 624 стр. с илл.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- 5-е изд.— М.: ФизМатЛит, 2004.- 560 с.- ISBN 5-9221-0524-8.; [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gantmaxer_matric_1966ru.djvu (2-е изд.).- М.: Наука, 1966 (djvu)].
• Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999, 548с., ил. (ISBN 5-03-002406-9)
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. (9-е изд.) — М.: Наука, 1968, 432 стр. с илл.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. (2-е изд.) — М.: Наука, 1973, 400 стр. с илл.
• Ланкастер П. (P. Lankaster) Теория матриц: Пер. с англ.- 2-е изд.- М.: Наука, 1982.- 272с.; [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lankaster1973ru.djvu (1-е изд.).- М.: Наука, 1973 (djvu)].
• Ленг С. (Serge Lang) Алгебра. — М.: Мир, 1968, 564с., ил.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976, 560 стр. с илл.
• Соколов Н. П. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sokolov1960ru.djvu Пространственные матрицы и их приложения]. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu).
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655с., ил. (ISBN 5-03-001042-4)
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.

Отрывок, характеризующий Матрица (математика)

Денисов скинул обе подушки на пол. Кошелька не было.
– Вот чудо то!
– Постой, ты не уронил ли? – сказал Ростов, по одной поднимая подушки и вытрясая их.
Он скинул и отряхнул одеяло. Кошелька не было.
– Уж не забыл ли я? Нет, я еще подумал, что ты точно клад под голову кладешь, – сказал Ростов. – Я тут положил кошелек. Где он? – обратился он к Лаврушке.
– Я не входил. Где положили, там и должен быть.
– Да нет…
– Вы всё так, бросите куда, да и забудете. В карманах то посмотрите.
– Нет, коли бы я не подумал про клад, – сказал Ростов, – а то я помню, что положил.
Лаврушка перерыл всю постель, заглянул под нее, под стол, перерыл всю комнату и остановился посреди комнаты. Денисов молча следил за движениями Лаврушки и, когда Лаврушка удивленно развел руками, говоря, что нигде нет, он оглянулся на Ростова.
– Г'остов, ты не школьнич…
Ростов почувствовал на себе взгляд Денисова, поднял глаза и в то же мгновение опустил их. Вся кровь его, бывшая запертою где то ниже горла, хлынула ему в лицо и глаза. Он не мог перевести дыхание.
– И в комнате то никого не было, окромя поручика да вас самих. Тут где нибудь, – сказал Лаврушка.
– Ну, ты, чог'това кукла, повог`ачивайся, ищи, – вдруг закричал Денисов, побагровев и с угрожающим жестом бросаясь на лакея. – Чтоб был кошелек, а то запог'ю. Всех запог'ю!
Ростов, обходя взглядом Денисова, стал застегивать куртку, подстегнул саблю и надел фуражку.
– Я тебе говог'ю, чтоб был кошелек, – кричал Денисов, тряся за плечи денщика и толкая его об стену.
– Денисов, оставь его; я знаю кто взял, – сказал Ростов, подходя к двери и не поднимая глаз.
Денисов остановился, подумал и, видимо поняв то, на что намекал Ростов, схватил его за руку.
– Вздог'! – закричал он так, что жилы, как веревки, надулись у него на шее и лбу. – Я тебе говог'ю, ты с ума сошел, я этого не позволю. Кошелек здесь; спущу шкуг`у с этого мег`завца, и будет здесь.
– Я знаю, кто взял, – повторил Ростов дрожащим голосом и пошел к двери.
– А я тебе говог'ю, не смей этого делать, – закричал Денисов, бросаясь к юнкеру, чтоб удержать его.
Но Ростов вырвал свою руку и с такою злобой, как будто Денисов был величайший враг его, прямо и твердо устремил на него глаза.
– Ты понимаешь ли, что говоришь? – сказал он дрожащим голосом, – кроме меня никого не было в комнате. Стало быть, ежели не то, так…
Он не мог договорить и выбежал из комнаты.
– Ах, чог'т с тобой и со всеми, – были последние слова, которые слышал Ростов.
Ростов пришел на квартиру Телянина.
– Барина дома нет, в штаб уехали, – сказал ему денщик Телянина. – Или что случилось? – прибавил денщик, удивляясь на расстроенное лицо юнкера.
– Нет, ничего.
– Немного не застали, – сказал денщик.
Штаб находился в трех верстах от Зальценека. Ростов, не заходя домой, взял лошадь и поехал в штаб. В деревне, занимаемой штабом, был трактир, посещаемый офицерами. Ростов приехал в трактир; у крыльца он увидал лошадь Телянина.
Во второй комнате трактира сидел поручик за блюдом сосисок и бутылкою вина.
– А, и вы заехали, юноша, – сказал он, улыбаясь и высоко поднимая брови.
– Да, – сказал Ростов, как будто выговорить это слово стоило большого труда, и сел за соседний стол.
Оба молчали; в комнате сидели два немца и один русский офицер. Все молчали, и слышались звуки ножей о тарелки и чавканье поручика. Когда Телянин кончил завтрак, он вынул из кармана двойной кошелек, изогнутыми кверху маленькими белыми пальцами раздвинул кольца, достал золотой и, приподняв брови, отдал деньги слуге.
– Пожалуйста, поскорее, – сказал он.
Золотой был новый. Ростов встал и подошел к Телянину.
– Позвольте посмотреть мне кошелек, – сказал он тихим, чуть слышным голосом.
С бегающими глазами, но всё поднятыми бровями Телянин подал кошелек.
– Да, хорошенький кошелек… Да… да… – сказал он и вдруг побледнел. – Посмотрите, юноша, – прибавил он.
Ростов взял в руки кошелек и посмотрел и на него, и на деньги, которые были в нем, и на Телянина. Поручик оглядывался кругом, по своей привычке и, казалось, вдруг стал очень весел.
– Коли будем в Вене, всё там оставлю, а теперь и девать некуда в этих дрянных городишках, – сказал он. – Ну, давайте, юноша, я пойду.
Ростов молчал.
– А вы что ж? тоже позавтракать? Порядочно кормят, – продолжал Телянин. – Давайте же.
Он протянул руку и взялся за кошелек. Ростов выпустил его. Телянин взял кошелек и стал опускать его в карман рейтуз, и брови его небрежно поднялись, а рот слегка раскрылся, как будто он говорил: «да, да, кладу в карман свой кошелек, и это очень просто, и никому до этого дела нет».
– Ну, что, юноша? – сказал он, вздохнув и из под приподнятых бровей взглянув в глаза Ростова. Какой то свет глаз с быстротою электрической искры перебежал из глаз Телянина в глаза Ростова и обратно, обратно и обратно, всё в одно мгновение.
– Подите сюда, – проговорил Ростов, хватая Телянина за руку. Он почти притащил его к окну. – Это деньги Денисова, вы их взяли… – прошептал он ему над ухом.
– Что?… Что?… Как вы смеете? Что?… – проговорил Телянин.
Но эти слова звучали жалобным, отчаянным криком и мольбой о прощении. Как только Ростов услыхал этот звук голоса, с души его свалился огромный камень сомнения. Он почувствовал радость и в то же мгновение ему стало жалко несчастного, стоявшего перед ним человека; но надо было до конца довести начатое дело.
– Здесь люди Бог знает что могут подумать, – бормотал Телянин, схватывая фуражку и направляясь в небольшую пустую комнату, – надо объясниться…
– Я это знаю, и я это докажу, – сказал Ростов.
– Я…
Испуганное, бледное лицо Телянина начало дрожать всеми мускулами; глаза всё так же бегали, но где то внизу, не поднимаясь до лица Ростова, и послышались всхлипыванья.
– Граф!… не губите молодого человека… вот эти несчастные деньги, возьмите их… – Он бросил их на стол. – У меня отец старик, мать!…
Ростов взял деньги, избегая взгляда Телянина, и, не говоря ни слова, пошел из комнаты. Но у двери он остановился и вернулся назад. – Боже мой, – сказал он со слезами на глазах, – как вы могли это сделать?
– Граф, – сказал Телянин, приближаясь к юнкеру.
– Не трогайте меня, – проговорил Ростов, отстраняясь. – Ежели вам нужда, возьмите эти деньги. – Он швырнул ему кошелек и выбежал из трактира.


Вечером того же дня на квартире Денисова шел оживленный разговор офицеров эскадрона.
– А я говорю вам, Ростов, что вам надо извиниться перед полковым командиром, – говорил, обращаясь к пунцово красному, взволнованному Ростову, высокий штаб ротмистр, с седеющими волосами, огромными усами и крупными чертами морщинистого лица.
Штаб ротмистр Кирстен был два раза разжалован в солдаты зa дела чести и два раза выслуживался.
– Я никому не позволю себе говорить, что я лгу! – вскрикнул Ростов. – Он сказал мне, что я лгу, а я сказал ему, что он лжет. Так с тем и останется. На дежурство может меня назначать хоть каждый день и под арест сажать, а извиняться меня никто не заставит, потому что ежели он, как полковой командир, считает недостойным себя дать мне удовлетворение, так…
– Да вы постойте, батюшка; вы послушайте меня, – перебил штаб ротмистр своим басистым голосом, спокойно разглаживая свои длинные усы. – Вы при других офицерах говорите полковому командиру, что офицер украл…
– Я не виноват, что разговор зашел при других офицерах. Может быть, не надо было говорить при них, да я не дипломат. Я затем в гусары и пошел, думал, что здесь не нужно тонкостей, а он мне говорит, что я лгу… так пусть даст мне удовлетворение…
– Это всё хорошо, никто не думает, что вы трус, да не в том дело. Спросите у Денисова, похоже это на что нибудь, чтобы юнкер требовал удовлетворения у полкового командира?
Денисов, закусив ус, с мрачным видом слушал разговор, видимо не желая вступаться в него. На вопрос штаб ротмистра он отрицательно покачал головой.
– Вы при офицерах говорите полковому командиру про эту пакость, – продолжал штаб ротмистр. – Богданыч (Богданычем называли полкового командира) вас осадил.
– Не осадил, а сказал, что я неправду говорю.
– Ну да, и вы наговорили ему глупостей, и надо извиниться.
– Ни за что! – крикнул Ростов.
– Не думал я этого от вас, – серьезно и строго сказал штаб ротмистр. – Вы не хотите извиниться, а вы, батюшка, не только перед ним, а перед всем полком, перед всеми нами, вы кругом виноваты. А вот как: кабы вы подумали да посоветовались, как обойтись с этим делом, а то вы прямо, да при офицерах, и бухнули. Что теперь делать полковому командиру? Надо отдать под суд офицера и замарать весь полк? Из за одного негодяя весь полк осрамить? Так, что ли, по вашему? А по нашему, не так. И Богданыч молодец, он вам сказал, что вы неправду говорите. Неприятно, да что делать, батюшка, сами наскочили. А теперь, как дело хотят замять, так вы из за фанаберии какой то не хотите извиниться, а хотите всё рассказать. Вам обидно, что вы подежурите, да что вам извиниться перед старым и честным офицером! Какой бы там ни был Богданыч, а всё честный и храбрый, старый полковник, так вам обидно; а замарать полк вам ничего? – Голос штаб ротмистра начинал дрожать. – Вы, батюшка, в полку без году неделя; нынче здесь, завтра перешли куда в адъютантики; вам наплевать, что говорить будут: «между павлоградскими офицерами воры!» А нам не всё равно. Так, что ли, Денисов? Не всё равно?
Денисов всё молчал и не шевелился, изредка взглядывая своими блестящими, черными глазами на Ростова.
– Вам своя фанаберия дорога, извиниться не хочется, – продолжал штаб ротмистр, – а нам, старикам, как мы выросли, да и умереть, Бог даст, приведется в полку, так нам честь полка дорога, и Богданыч это знает. Ох, как дорога, батюшка! А это нехорошо, нехорошо! Там обижайтесь или нет, а я всегда правду матку скажу. Нехорошо!
И штаб ротмистр встал и отвернулся от Ростова.
– Пг'авда, чог'т возьми! – закричал, вскакивая, Денисов. – Ну, Г'остов! Ну!
Ростов, краснея и бледнея, смотрел то на одного, то на другого офицера.
– Нет, господа, нет… вы не думайте… я очень понимаю, вы напрасно обо мне думаете так… я… для меня… я за честь полка.да что? это на деле я покажу, и для меня честь знамени…ну, всё равно, правда, я виноват!.. – Слезы стояли у него в глазах. – Я виноват, кругом виноват!… Ну, что вам еще?…
– Вот это так, граф, – поворачиваясь, крикнул штаб ротмистр, ударяя его большою рукою по плечу.
– Я тебе говог'ю, – закричал Денисов, – он малый славный.
– Так то лучше, граф, – повторил штаб ротмистр, как будто за его признание начиная величать его титулом. – Подите и извинитесь, ваше сиятельство, да с.
– Господа, всё сделаю, никто от меня слова не услышит, – умоляющим голосом проговорил Ростов, – но извиняться не могу, ей Богу, не могу, как хотите! Как я буду извиняться, точно маленький, прощенья просить?
Денисов засмеялся.
– Вам же хуже. Богданыч злопамятен, поплатитесь за упрямство, – сказал Кирстен.
– Ей Богу, не упрямство! Я не могу вам описать, какое чувство, не могу…
– Ну, ваша воля, – сказал штаб ротмистр. – Что ж, мерзавец то этот куда делся? – спросил он у Денисова.
– Сказался больным, завтг'а велено пг'иказом исключить, – проговорил Денисов.
– Это болезнь, иначе нельзя объяснить, – сказал штаб ротмистр.
– Уж там болезнь не болезнь, а не попадайся он мне на глаза – убью! – кровожадно прокричал Денисов.
В комнату вошел Жерков.
– Ты как? – обратились вдруг офицеры к вошедшему.
– Поход, господа. Мак в плен сдался и с армией, совсем.
– Врешь!
– Сам видел.
– Как? Мака живого видел? с руками, с ногами?
– Поход! Поход! Дать ему бутылку за такую новость. Ты как же сюда попал?
– Опять в полк выслали, за чорта, за Мака. Австрийской генерал пожаловался. Я его поздравил с приездом Мака…Ты что, Ростов, точно из бани?
– Тут, брат, у нас, такая каша второй день.
Вошел полковой адъютант и подтвердил известие, привезенное Жерковым. На завтра велено было выступать.
– Поход, господа!
– Ну, и слава Богу, засиделись.


Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября .русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.
День был теплый, осенний и дождливый. Пространная перспектива, раскрывавшаяся с возвышения, где стояли русские батареи, защищавшие мост, то вдруг затягивалась кисейным занавесом косого дождя, то вдруг расширялась, и при свете солнца далеко и ясно становились видны предметы, точно покрытые лаком. Виднелся городок под ногами с своими белыми домами и красными крышами, собором и мостом, по обеим сторонам которого, толпясь, лилися массы русских войск. Виднелись на повороте Дуная суда, и остров, и замок с парком, окруженный водами впадения Энса в Дунай, виднелся левый скалистый и покрытый сосновым лесом берег Дуная с таинственною далью зеленых вершин и голубеющими ущельями. Виднелись башни монастыря, выдававшегося из за соснового, казавшегося нетронутым, дикого леса; далеко впереди на горе, по ту сторону Энса, виднелись разъезды неприятеля.
Между орудиями, на высоте, стояли спереди начальник ариергарда генерал с свитским офицером, рассматривая в трубу местность. Несколько позади сидел на хоботе орудия Несвицкий, посланный от главнокомандующего к ариергарду.
Казак, сопутствовавший Несвицкому, подал сумочку и фляжку, и Несвицкий угощал офицеров пирожками и настоящим доппелькюмелем. Офицеры радостно окружали его, кто на коленах, кто сидя по турецки на мокрой траве.
– Да, не дурак был этот австрийский князь, что тут замок выстроил. Славное место. Что же вы не едите, господа? – говорил Несвицкий.
– Покорно благодарю, князь, – отвечал один из офицеров, с удовольствием разговаривая с таким важным штабным чиновником. – Прекрасное место. Мы мимо самого парка проходили, двух оленей видели, и дом какой чудесный!
– Посмотрите, князь, – сказал другой, которому очень хотелось взять еще пирожок, но совестно было, и который поэтому притворялся, что он оглядывает местность, – посмотрите ка, уж забрались туда наши пехотные. Вон там, на лужку, за деревней, трое тащут что то. .Они проберут этот дворец, – сказал он с видимым одобрением.
– И то, и то, – сказал Несвицкий. – Нет, а чего бы я желал, – прибавил он, прожевывая пирожок в своем красивом влажном рте, – так это вон туда забраться.
Он указывал на монастырь с башнями, видневшийся на горе. Он улыбнулся, глаза его сузились и засветились.
– А ведь хорошо бы, господа!
Офицеры засмеялись.
– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.
– Прислуга к орудиям! – скомандовал офицер.
И через минуту весело выбежали от костров артиллеристы и зарядили.
– Первое! – послышалась команда.
Бойко отскочил 1 й номер. Металлически, оглушая, зазвенело орудие, и через головы всех наших под горой, свистя, пролетела граната и, далеко не долетев до неприятеля, дымком показала место своего падения и лопнула.
Лица солдат и офицеров повеселели при этом звуке; все поднялись и занялись наблюдениями над видными, как на ладони, движениями внизу наших войск и впереди – движениями приближавшегося неприятеля. Солнце в ту же минуту совсем вышло из за туч, и этот красивый звук одинокого выстрела и блеск яркого солнца слились в одно бодрое и веселое впечатление.


Над мостом уже пролетели два неприятельские ядра, и на мосту была давка. В средине моста, слезши с лошади, прижатый своим толстым телом к перилам, стоял князь Несвицкий.
Он, смеючись, оглядывался назад на своего казака, который с двумя лошадьми в поводу стоял несколько шагов позади его.
Только что князь Несвицкий хотел двинуться вперед, как опять солдаты и повозки напирали на него и опять прижимали его к перилам, и ему ничего не оставалось, как улыбаться.
– Экой ты, братец, мой! – говорил казак фурштатскому солдату с повозкой, напиравшему на толпившуюся v самых колес и лошадей пехоту, – экой ты! Нет, чтобы подождать: видишь, генералу проехать.
Но фурштат, не обращая внимания на наименование генерала, кричал на солдат, запружавших ему дорогу: – Эй! землячки! держись влево, постой! – Но землячки, теснясь плечо с плечом, цепляясь штыками и не прерываясь, двигались по мосту одною сплошною массой. Поглядев за перила вниз, князь Несвицкий видел быстрые, шумные, невысокие волны Энса, которые, сливаясь, рябея и загибаясь около свай моста, перегоняли одна другую. Поглядев на мост, он видел столь же однообразные живые волны солдат, кутасы, кивера с чехлами, ранцы, штыки, длинные ружья и из под киверов лица с широкими скулами, ввалившимися щеками и беззаботно усталыми выражениями и движущиеся ноги по натасканной на доски моста липкой грязи. Иногда между однообразными волнами солдат, как взбрызг белой пены в волнах Энса, протискивался между солдатами офицер в плаще, с своею отличною от солдат физиономией; иногда, как щепка, вьющаяся по реке, уносился по мосту волнами пехоты пеший гусар, денщик или житель; иногда, как бревно, плывущее по реке, окруженная со всех сторон, проплывала по мосту ротная или офицерская, наложенная доверху и прикрытая кожами, повозка.
– Вишь, их, как плотину, прорвало, – безнадежно останавливаясь, говорил казак. – Много ль вас еще там?
– Мелион без одного! – подмигивая говорил близко проходивший в прорванной шинели веселый солдат и скрывался; за ним проходил другой, старый солдат.
– Как он (он – неприятель) таперича по мосту примется зажаривать, – говорил мрачно старый солдат, обращаясь к товарищу, – забудешь чесаться.
И солдат проходил. За ним другой солдат ехал на повозке.
– Куда, чорт, подвертки запихал? – говорил денщик, бегом следуя за повозкой и шаря в задке.
И этот проходил с повозкой. За этим шли веселые и, видимо, выпившие солдаты.
– Как он его, милый человек, полыхнет прикладом то в самые зубы… – радостно говорил один солдат в высоко подоткнутой шинели, широко размахивая рукой.
– То то оно, сладкая ветчина то. – отвечал другой с хохотом.
И они прошли, так что Несвицкий не узнал, кого ударили в зубы и к чему относилась ветчина.
– Эк торопятся, что он холодную пустил, так и думаешь, всех перебьют. – говорил унтер офицер сердито и укоризненно.
– Как оно пролетит мимо меня, дяденька, ядро то, – говорил, едва удерживаясь от смеха, с огромным ртом молодой солдат, – я так и обмер. Право, ей Богу, так испужался, беда! – говорил этот солдат, как будто хвастаясь тем, что он испугался. И этот проходил. За ним следовала повозка, непохожая на все проезжавшие до сих пор. Это был немецкий форшпан на паре, нагруженный, казалось, целым домом; за форшпаном, который вез немец, привязана была красивая, пестрая, с огромным вымем, корова. На перинах сидела женщина с грудным ребенком, старуха и молодая, багроворумяная, здоровая девушка немка. Видно, по особому разрешению были пропущены эти выселявшиеся жители. Глаза всех солдат обратились на женщин, и, пока проезжала повозка, двигаясь шаг за шагом, и, все замечания солдат относились только к двум женщинам. На всех лицах была почти одна и та же улыбка непристойных мыслей об этой женщине.
– Ишь, колбаса то, тоже убирается!
– Продай матушку, – ударяя на последнем слоге, говорил другой солдат, обращаясь к немцу, который, опустив глаза, сердито и испуганно шел широким шагом.
– Эк убралась как! То то черти!
– Вот бы тебе к ним стоять, Федотов.
– Видали, брат!
– Куда вы? – спрашивал пехотный офицер, евший яблоко, тоже полуулыбаясь и глядя на красивую девушку.
Немец, закрыв глаза, показывал, что не понимает.
– Хочешь, возьми себе, – говорил офицер, подавая девушке яблоко. Девушка улыбнулась и взяла. Несвицкий, как и все, бывшие на мосту, не спускал глаз с женщин, пока они не проехали. Когда они проехали, опять шли такие же солдаты, с такими же разговорами, и, наконец, все остановились. Как это часто бывает, на выезде моста замялись лошади в ротной повозке, и вся толпа должна была ждать.
– И что становятся? Порядку то нет! – говорили солдаты. – Куда прешь? Чорт! Нет того, чтобы подождать. Хуже того будет, как он мост подожжет. Вишь, и офицера то приперли, – говорили с разных сторон остановившиеся толпы, оглядывая друг друга, и всё жались вперед к выходу.
Оглянувшись под мост на воды Энса, Несвицкий вдруг услышал еще новый для него звук, быстро приближающегося… чего то большого и чего то шлепнувшегося в воду.
– Ишь ты, куда фатает! – строго сказал близко стоявший солдат, оглядываясь на звук.
– Подбадривает, чтобы скорей проходили, – сказал другой неспокойно.
Толпа опять тронулась. Несвицкий понял, что это было ядро.
– Эй, казак, подавай лошадь! – сказал он. – Ну, вы! сторонись! посторонись! дорогу!
Он с большим усилием добрался до лошади. Не переставая кричать, он тронулся вперед. Солдаты пожались, чтобы дать ему дорогу, но снова опять нажали на него так, что отдавили ему ногу, и ближайшие не были виноваты, потому что их давили еще сильнее.
– Несвицкий! Несвицкий! Ты, г'ожа! – послышался в это время сзади хриплый голос.
Несвицкий оглянулся и увидал в пятнадцати шагах отделенного от него живою массой двигающейся пехоты красного, черного, лохматого, в фуражке на затылке и в молодецки накинутом на плече ментике Ваську Денисова.
– Вели ты им, чег'тям, дьяволам, дать дог'огу, – кричал. Денисов, видимо находясь в припадке горячности, блестя и поводя своими черными, как уголь, глазами в воспаленных белках и махая невынутою из ножен саблей, которую он держал такою же красною, как и лицо, голою маленькою рукой.
– Э! Вася! – отвечал радостно Несвицкий. – Да ты что?
– Эскадг'ону пг'ойти нельзя, – кричал Васька Денисов, злобно открывая белые зубы, шпоря своего красивого вороного, кровного Бедуина, который, мигая ушами от штыков, на которые он натыкался, фыркая, брызгая вокруг себя пеной с мундштука, звеня, бил копытами по доскам моста и, казалось, готов был перепрыгнуть через перила моста, ежели бы ему позволил седок. – Что это? как баг'аны! точь в точь баг'аны! Пг'очь… дай дог'огу!… Стой там! ты повозка, чог'т! Саблей изг'ублю! – кричал он, действительно вынимая наголо саблю и начиная махать ею.
Солдаты с испуганными лицами нажались друг на друга, и Денисов присоединился к Несвицкому.
– Что же ты не пьян нынче? – сказал Несвицкий Денисову, когда он подъехал к нему.
– И напиться то вг'емени не дадут! – отвечал Васька Денисов. – Целый день то туда, то сюда таскают полк. Дг'аться – так дг'аться. А то чог'т знает что такое!
– Каким ты щеголем нынче! – оглядывая его новый ментик и вальтрап, сказал Несвицкий.
Денисов улыбнулся, достал из ташки платок, распространявший запах духов, и сунул в нос Несвицкому.
– Нельзя, в дело иду! выбг'ился, зубы вычистил и надушился.
Осанистая фигура Несвицкого, сопровождаемая казаком, и решительность Денисова, махавшего саблей и отчаянно кричавшего, подействовали так, что они протискались на ту сторону моста и остановили пехоту. Несвицкий нашел у выезда полковника, которому ему надо было передать приказание, и, исполнив свое поручение, поехал назад.
Расчистив дорогу, Денисов остановился у входа на мост. Небрежно сдерживая рвавшегося к своим и бившего ногой жеребца, он смотрел на двигавшийся ему навстречу эскадрон.
По доскам моста раздались прозрачные звуки копыт, как будто скакало несколько лошадей, и эскадрон, с офицерами впереди по четыре человека в ряд, растянулся по мосту и стал выходить на ту сторону.
Остановленные пехотные солдаты, толпясь в растоптанной у моста грязи, с тем особенным недоброжелательным чувством отчужденности и насмешки, с каким встречаются обыкновенно различные роды войск, смотрели на чистых, щеголеватых гусар, стройно проходивших мимо их.
– Нарядные ребята! Только бы на Подновинское!
– Что от них проку! Только напоказ и водят! – говорил другой.
– Пехота, не пыли! – шутил гусар, под которым лошадь, заиграв, брызнула грязью в пехотинца.
– Прогонял бы тебя с ранцем перехода два, шнурки то бы повытерлись, – обтирая рукавом грязь с лица, говорил пехотинец; – а то не человек, а птица сидит!
– То то бы тебя, Зикин, на коня посадить, ловок бы ты был, – шутил ефрейтор над худым, скрюченным от тяжести ранца солдатиком.
– Дубинку промеж ног возьми, вот тебе и конь буде, – отозвался гусар.


Остальная пехота поспешно проходила по мосту, спираясь воронкой у входа. Наконец повозки все прошли, давка стала меньше, и последний батальон вступил на мост. Одни гусары эскадрона Денисова оставались по ту сторону моста против неприятеля. Неприятель, вдалеке видный с противоположной горы, снизу, от моста, не был еще виден, так как из лощины, по которой текла река, горизонт оканчивался противоположным возвышением не дальше полуверсты. Впереди была пустыня, по которой кое где шевелились кучки наших разъездных казаков. Вдруг на противоположном возвышении дороги показались войска в синих капотах и артиллерия. Это были французы. Разъезд казаков рысью отошел под гору. Все офицеры и люди эскадрона Денисова, хотя и старались говорить о постороннем и смотреть по сторонам, не переставали думать только о том, что было там, на горе, и беспрестанно всё вглядывались в выходившие на горизонт пятна, которые они признавали за неприятельские войска. Погода после полудня опять прояснилась, солнце ярко спускалось над Дунаем и окружающими его темными горами. Было тихо, и с той горы изредка долетали звуки рожков и криков неприятеля. Между эскадроном и неприятелями уже никого не было, кроме мелких разъездов. Пустое пространство, саженей в триста, отделяло их от него. Неприятель перестал стрелять, и тем яснее чувствовалась та строгая, грозная, неприступная и неуловимая черта, которая разделяет два неприятельские войска.
«Один шаг за эту черту, напоминающую черту, отделяющую живых от мертвых, и – неизвестность страдания и смерть. И что там? кто там? там, за этим полем, и деревом, и крышей, освещенной солнцем? Никто не знает, и хочется знать; и страшно перейти эту черту, и хочется перейти ее; и знаешь, что рано или поздно придется перейти ее и узнать, что там, по той стороне черты, как и неизбежно узнать, что там, по ту сторону смерти. А сам силен, здоров, весел и раздражен и окружен такими здоровыми и раздраженно оживленными людьми». Так ежели и не думает, то чувствует всякий человек, находящийся в виду неприятеля, и чувство это придает особенный блеск и радостную резкость впечатлений всему происходящему в эти минуты.
На бугре у неприятеля показался дымок выстрела, и ядро, свистя, пролетело над головами гусарского эскадрона. Офицеры, стоявшие вместе, разъехались по местам. Гусары старательно стали выравнивать лошадей. В эскадроне всё замолкло. Все поглядывали вперед на неприятеля и на эскадронного командира, ожидая команды. Пролетело другое, третье ядро. Очевидно, что стреляли по гусарам; но ядро, равномерно быстро свистя, пролетало над головами гусар и ударялось где то сзади. Гусары не оглядывались, но при каждом звуке пролетающего ядра, будто по команде, весь эскадрон с своими однообразно разнообразными лицами, сдерживая дыханье, пока летело ядро, приподнимался на стременах и снова опускался. Солдаты, не поворачивая головы, косились друг на друга, с любопытством высматривая впечатление товарища. На каждом лице, от Денисова до горниста, показалась около губ и подбородка одна общая черта борьбы, раздраженности и волнения. Вахмистр хмурился, оглядывая солдат, как будто угрожая наказанием. Юнкер Миронов нагибался при каждом пролете ядра. Ростов, стоя на левом фланге на своем тронутом ногами, но видном Грачике, имел счастливый вид ученика, вызванного перед большою публикой к экзамену, в котором он уверен, что отличится. Он ясно и светло оглядывался на всех, как бы прося обратить внимание на то, как он спокойно стоит под ядрами. Но и в его лице та же черта чего то нового и строгого, против его воли, показывалась около рта.
– Кто там кланяется? Юнкег' Миг'онов! Hexoг'oшo, на меня смотг'ите! – закричал Денисов, которому не стоялось на месте и который вертелся на лошади перед эскадроном.
Курносое и черноволосатое лицо Васьки Денисова и вся его маленькая сбитая фигурка с его жилистою (с короткими пальцами, покрытыми волосами) кистью руки, в которой он держал ефес вынутой наголо сабли, было точно такое же, как и всегда, особенно к вечеру, после выпитых двух бутылок. Он был только более обыкновенного красен и, задрав свою мохнатую голову кверху, как птицы, когда они пьют, безжалостно вдавив своими маленькими ногами шпоры в бока доброго Бедуина, он, будто падая назад, поскакал к другому флангу эскадрона и хриплым голосом закричал, чтоб осмотрели пистолеты. Он подъехал к Кирстену. Штаб ротмистр, на широкой и степенной кобыле, шагом ехал навстречу Денисову. Штаб ротмистр, с своими длинными усами, был серьезен, как и всегда, только глаза его блестели больше обыкновенного.
– Да что? – сказал он Денисову, – не дойдет дело до драки. Вот увидишь, назад уйдем.
– Чог'т их знает, что делают – проворчал Денисов. – А! Г'остов! – крикнул он юнкеру, заметив его веселое лицо. – Ну, дождался.
И он улыбнулся одобрительно, видимо радуясь на юнкера.
Ростов почувствовал себя совершенно счастливым. В это время начальник показался на мосту. Денисов поскакал к нему.
– Ваше пг'евосходительство! позвольте атаковать! я их опг'окину.
– Какие тут атаки, – сказал начальник скучливым голосом, морщась, как от докучливой мухи. – И зачем вы тут стоите? Видите, фланкеры отступают. Ведите назад эскадрон.
Эскадрон перешел мост и вышел из под выстрелов, не потеряв ни одного человека. Вслед за ним перешел и второй эскадрон, бывший в цепи, и последние казаки очистили ту сторону.
Два эскадрона павлоградцев, перейдя мост, один за другим, пошли назад на гору. Полковой командир Карл Богданович Шуберт подъехал к эскадрону Денисова и ехал шагом недалеко от Ростова, не обращая на него никакого внимания, несмотря на то, что после бывшего столкновения за Телянина, они виделись теперь в первый раз. Ростов, чувствуя себя во фронте во власти человека, перед которым он теперь считал себя виноватым, не спускал глаз с атлетической спины, белокурого затылка и красной шеи полкового командира. Ростову то казалось, что Богданыч только притворяется невнимательным, и что вся цель его теперь состоит в том, чтоб испытать храбрость юнкера, и он выпрямлялся и весело оглядывался; то ему казалось, что Богданыч нарочно едет близко, чтобы показать Ростову свою храбрость. То ему думалось, что враг его теперь нарочно пошлет эскадрон в отчаянную атаку, чтобы наказать его, Ростова. То думалось, что после атаки он подойдет к нему и великодушно протянет ему, раненому, руку примирения.