Метод трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок <math>\left[ a, b \right]</math> является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

<math>\int^b_a f(x)\,dx = \frac{ f(a) + f(b) }{2} (b - a) + E(f), \qquad E(f) = - \frac{f(\xi)}{12} \left( b-a \right)^3.</math>

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

<math>\left| E(f) \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12} \max_{x \in [a, b]} \left| f(x) \right|\,.</math>

Составная формула

Если отрезок <math>\left[ a, b \right]</math> разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

<math>\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{ f(x_i) + f(x_{i+1}) }{2} (x_{i+1} - x_{i}) = </math>

<math>= \frac{f(a)}{2} (x_1 - a) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \frac{ x_{i+1} - x_{i-1} } {2} + \frac{f(b)}{2} (b - x_{n-1}). </math>

<math>x_{j} = a+jh, h = (b-a)/N, N - </math>четное

Формула Котеса

В случае равномерной сетки

<math>\int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f),</math>

<math>E_n(f) = - \frac{f(\xi)}{12} (b - a) h^2. </math>

где <math>h</math> — шаг сетки.

Свойства

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.

Отрывок, характеризующий Метод трапеций

– Вы ведь дружны с Борисом? – сказала ему Вера.
– Да, я его знаю…
– Он верно вам говорил про свою детскую любовь к Наташе?
– А была детская любовь? – вдруг неожиданно покраснев, спросил князь Андрей.
– Да. Vous savez entre cousin et cousine cette intimite mene quelquefois a l'amour: le cousinage est un dangereux voisinage, N'est ce pas? [Знаете, между двоюродным братом и сестрой эта близость приводит иногда к любви. Такое родство – опасное соседство. Не правда ли?]
– О, без сомнения, – сказал князь Андрей, и вдруг, неестественно оживившись, он стал шутить с Пьером о том, как он должен быть осторожным в своем обращении с своими 50 ти летними московскими кузинами, и в середине шутливого разговора встал и, взяв под руку Пьера, отвел его в сторону.
– Ну что? – сказал Пьер, с удивлением смотревший на странное оживление своего друга и заметивший взгляд, который он вставая бросил на Наташу.
– Мне надо, мне надо поговорить с тобой, – сказал князь Андрей. – Ты знаешь наши женские перчатки (он говорил о тех масонских перчатках, которые давались вновь избранному брату для вручения любимой женщине). – Я… Но нет, я после поговорю с тобой… – И с странным блеском в глазах и беспокойством в движениях князь Андрей подошел к Наташе и сел подле нее. Пьер видел, как князь Андрей что то спросил у нее, и она вспыхнув отвечала ему.
Но в это время Берг подошел к Пьеру, настоятельно упрашивая его принять участие в споре между генералом и полковником об испанских делах.
Берг был доволен и счастлив. Улыбка радости не сходила с его лица. Вечер был очень хорош и совершенно такой, как и другие вечера, которые он видел. Всё было похоже. И дамские, тонкие разговоры, и карты, и за картами генерал, возвышающий голос, и самовар, и печенье; но одного еще недоставало, того, что он всегда видел на вечерах, которым он желал подражать.
Недоставало громкого разговора между мужчинами и спора о чем нибудь важном и умном. Генерал начал этот разговор и к нему то Берг привлек Пьера.


На другой день князь Андрей поехал к Ростовым обедать, так как его звал граф Илья Андреич, и провел у них целый день.
Все в доме чувствовали для кого ездил князь Андрей, и он, не скрывая, целый день старался быть с Наташей. Не только в душе Наташи испуганной, но счастливой и восторженной, но во всем доме чувствовался страх перед чем то важным, имеющим совершиться. Графиня печальными и серьезно строгими глазами смотрела на князя Андрея, когда он говорил с Наташей, и робко и притворно начинала какой нибудь ничтожный разговор, как скоро он оглядывался на нее. Соня боялась уйти от Наташи и боялась быть помехой, когда она была с ними. Наташа бледнела от страха ожидания, когда она на минуты оставалась с ним с глазу на глаз. Князь Андрей поражал ее своей робостью. Она чувствовала, что ему нужно было сказать ей что то, но что он не мог на это решиться.