Метрический тензор

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческий те́нзор или ме́трика — это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

  • (Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу).




Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах <math>x^1,x^2,\dots,x^n</math>, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле <math>g_{ij}\ </math>. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей <math>\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}</math>:

<math>\left\langle\partial_i,\partial_j\right\rangle=g_{ij}.</math>

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

<math>\left\langle v,w\right\rangle=g_{ij}v^iw^j</math>,

где <math>v=v^i\partial_i\ , w=w^i\partial_i</math> — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора <math>g^{ij}</math>.

В случае невырожденных метрик

<math>g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k,</math>

где <math>\delta^i_k</math> — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор <math>g^{ij}</math>, но тензор <math>g_{ij}</math> для неё неопределён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля <math>\{e_i(p)\}</math> и матрицы <math>g_{ik}(p) = \langle e_i(p), e_k(p)\rangle</math>.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением <math>r</math> многообразия <math>M</math> в евклидово пространство <math>E</math>, может быть посчитана по формуле:

<math>g = J_r^T J_r,</math>

где <math>J_r</math> означает матрицу Якоби вложения <math>r</math> и <math>J^T_r</math> — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства <math>\frac{\partial}{\partial x_i}</math>, которые в этом случае можно отождествить с <math>\frac{\partial r}{\partial x_i}</math>, определяются как

<math>g_{ij}=g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)=

\left\langle\frac{\partial r}{\partial x_i},\frac{\partial r}{\partial x_j}\right\rangle,</math> где <math>\langle*,*\rangle</math> обозначает скалярное произведение в <math>E</math>.

Более обобщенно

Пусть <math>(N,h)</math> многообразие с метрикой и <math>r:M\to N</math> гладкое вложение. Тогда метрика <math>g</math> на <math>M</math>, определённая равенством

<math>g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))</math>

называется индуцированной метрикой. Здесь <math>dr</math> обозначает дифференциал отображения <math>r</math>.

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров <math>g</math> подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда <math>\ \det(g_{ij}) \neq 0</math> во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  • Вырожденные метрики, когда <math>\ \det(g_{ij}) = 0</math> либо <math>\ \det(g^{ij}) = 0</math> в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

  • Риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии.
  • Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора <math>|\det \{g_{ij}\}|</math> дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина <math>\sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}</math> играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, <math>\sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}</math> входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

<math>S = \int s(x)\,d\Omega = \int s(x) \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}\,dx^1\,dx^2\,\ldots\,dx^n,</math>

где <math>d\Omega</math> — это элемент <math>n</math>-мерного объема, а <math>dx^i</math> — дифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}</math>
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах: <math>(r,\theta)</math>
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \ </math>
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса <math>R</math>, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах <math>(\theta,\varphi)</math> метрика принимает вид:
    <math>g = \begin{bmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.</math>
  • Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij}</math>
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах: <math>(r,\theta,\phi)</math>:
      <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}.</math>
  • Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
  • Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть <math>v \in T_p M</math> — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора <math>g</math> на <math>M</math>, мы получаем, что <math>g(v,\cdot)</math>, то есть отображение, которое переводит другой вектор <math>w \in T_p M</math> в число <math>g(v,w)</math>, является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) <math>T_p^*M</math>. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что <math>g</math> сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

<math>\ g_{ij}v^j = v_i </math> — опускание индекса для вектора,
<math>\ g^{ij}v_j = v^i </math> — поднятие индекса для вектора,
<math>\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} </math> — пример одновременного поднятия индекса <math>j</math> и опускания индекса <math>n</math> для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

Напишите отзыв о статье "Метрический тензор"

Примечания

  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963

Отрывок, характеризующий Метрический тензор

На другой день Ростов проводил княжну Марью в Ярославль и через несколько дней сам уехал в полк.


Письмо Сони к Николаю, бывшее осуществлением его молитвы, было написано из Троицы. Вот чем оно было вызвано. Мысль о женитьбе Николая на богатой невесте все больше и больше занимала старую графиню. Она знала, что Соня была главным препятствием для этого. И жизнь Сони последнее время, в особенности после письма Николая, описывавшего свою встречу в Богучарове с княжной Марьей, становилась тяжелее и тяжелее в доме графини. Графиня не пропускала ни одного случая для оскорбительного или жестокого намека Соне.
Но несколько дней перед выездом из Москвы, растроганная и взволнованная всем тем, что происходило, графиня, призвав к себе Соню, вместо упреков и требований, со слезами обратилась к ней с мольбой о том, чтобы она, пожертвовав собою, отплатила бы за все, что было для нее сделано, тем, чтобы разорвала свои связи с Николаем.
– Я не буду покойна до тех пор, пока ты мне не дашь этого обещания.
Соня разрыдалась истерически, отвечала сквозь рыдания, что она сделает все, что она на все готова, но не дала прямого обещания и в душе своей не могла решиться на то, чего от нее требовали. Надо было жертвовать собой для счастья семьи, которая вскормила и воспитала ее. Жертвовать собой для счастья других было привычкой Сони. Ее положение в доме было таково, что только на пути жертвованья она могла выказывать свои достоинства, и она привыкла и любила жертвовать собой. Но прежде во всех действиях самопожертвованья она с радостью сознавала, что она, жертвуя собой, этим самым возвышает себе цену в глазах себя и других и становится более достойною Nicolas, которого она любила больше всего в жизни; но теперь жертва ее должна была состоять в том, чтобы отказаться от того, что для нее составляло всю награду жертвы, весь смысл жизни. И в первый раз в жизни она почувствовала горечь к тем людям, которые облагодетельствовали ее для того, чтобы больнее замучить; почувствовала зависть к Наташе, никогда не испытывавшей ничего подобного, никогда не нуждавшейся в жертвах и заставлявшей других жертвовать себе и все таки всеми любимой. И в первый раз Соня почувствовала, как из ее тихой, чистой любви к Nicolas вдруг начинало вырастать страстное чувство, которое стояло выше и правил, и добродетели, и религии; и под влиянием этого чувства Соня невольно, выученная своею зависимою жизнью скрытности, в общих неопределенных словах ответив графине, избегала с ней разговоров и решилась ждать свидания с Николаем с тем, чтобы в этом свидании не освободить, но, напротив, навсегда связать себя с ним.
Хлопоты и ужас последних дней пребывания Ростовых в Москве заглушили в Соне тяготившие ее мрачные мысли. Она рада была находить спасение от них в практической деятельности. Но когда она узнала о присутствии в их доме князя Андрея, несмотря на всю искреннюю жалость, которую она испытала к нему и к Наташе, радостное и суеверное чувство того, что бог не хочет того, чтобы она была разлучена с Nicolas, охватило ее. Она знала, что Наташа любила одного князя Андрея и не переставала любить его. Она знала, что теперь, сведенные вместе в таких страшных условиях, они снова полюбят друг друга и что тогда Николаю вследствие родства, которое будет между ними, нельзя будет жениться на княжне Марье. Несмотря на весь ужас всего происходившего в последние дни и во время первых дней путешествия, это чувство, это сознание вмешательства провидения в ее личные дела радовало Соню.
В Троицкой лавре Ростовы сделали первую дневку в своем путешествии.
В гостинице лавры Ростовым были отведены три большие комнаты, из которых одну занимал князь Андрей. Раненому было в этот день гораздо лучше. Наташа сидела с ним. В соседней комнате сидели граф и графиня, почтительно беседуя с настоятелем, посетившим своих давнишних знакомых и вкладчиков. Соня сидела тут же, и ее мучило любопытство о том, о чем говорили князь Андрей с Наташей. Она из за двери слушала звуки их голосов. Дверь комнаты князя Андрея отворилась. Наташа с взволнованным лицом вышла оттуда и, не замечая приподнявшегося ей навстречу и взявшегося за широкий рукав правой руки монаха, подошла к Соне и взяла ее за руку.
– Наташа, что ты? Поди сюда, – сказала графиня.
Наташа подошла под благословенье, и настоятель посоветовал обратиться за помощью к богу и его угоднику.
Тотчас после ухода настоятеля Нашата взяла за руку свою подругу и пошла с ней в пустую комнату.
– Соня, да? он будет жив? – сказала она. – Соня, как я счастлива и как я несчастна! Соня, голубчик, – все по старому. Только бы он был жив. Он не может… потому что, потому… что… – И Наташа расплакалась.
– Так! Я знала это! Слава богу, – проговорила Соня. – Он будет жив!
Соня была взволнована не меньше своей подруги – и ее страхом и горем, и своими личными, никому не высказанными мыслями. Она, рыдая, целовала, утешала Наташу. «Только бы он был жив!» – думала она. Поплакав, поговорив и отерев слезы, обе подруги подошли к двери князя Андрея. Наташа, осторожно отворив двери, заглянула в комнату. Соня рядом с ней стояла у полуотворенной двери.
Князь Андрей лежал высоко на трех подушках. Бледное лицо его было покойно, глаза закрыты, и видно было, как он ровно дышал.
– Ах, Наташа! – вдруг почти вскрикнула Соня, хватаясь за руку своей кузины и отступая от двери.
– Что? что? – спросила Наташа.
– Это то, то, вот… – сказала Соня с бледным лицом и дрожащими губами.
Наташа тихо затворила дверь и отошла с Соней к окну, не понимая еще того, что ей говорили.
– Помнишь ты, – с испуганным и торжественным лицом говорила Соня, – помнишь, когда я за тебя в зеркало смотрела… В Отрадном, на святках… Помнишь, что я видела?..
– Да, да! – широко раскрывая глаза, сказала Наташа, смутно вспоминая, что тогда Соня сказала что то о князе Андрее, которого она видела лежащим.
– Помнишь? – продолжала Соня. – Я видела тогда и сказала всем, и тебе, и Дуняше. Я видела, что он лежит на постели, – говорила она, при каждой подробности делая жест рукою с поднятым пальцем, – и что он закрыл глаза, и что он покрыт именно розовым одеялом, и что он сложил руки, – говорила Соня, убеждаясь, по мере того как она описывала виденные ею сейчас подробности, что эти самые подробности она видела тогда. Тогда она ничего не видела, но рассказала, что видела то, что ей пришло в голову; но то, что она придумала тогда, представлялось ей столь же действительным, как и всякое другое воспоминание. То, что она тогда сказала, что он оглянулся на нее и улыбнулся и был покрыт чем то красным, она не только помнила, но твердо была убеждена, что еще тогда она сказала и видела, что он был покрыт розовым, именно розовым одеялом, и что глаза его были закрыты.
– Да, да, именно розовым, – сказала Наташа, которая тоже теперь, казалось, помнила, что было сказано розовым, и в этом самом видела главную необычайность и таинственность предсказания.
– Но что же это значит? – задумчиво сказала Наташа.
– Ах, я не знаю, как все это необычайно! – сказала Соня, хватаясь за голову.
Через несколько минут князь Андрей позвонил, и Наташа вошла к нему; а Соня, испытывая редко испытанное ею волнение и умиление, осталась у окна, обдумывая всю необычайность случившегося.
В этот день был случай отправить письма в армию, и графиня писала письмо сыну.
– Соня, – сказала графиня, поднимая голову от письма, когда племянница проходила мимо нее. – Соня, ты не напишешь Николеньке? – сказала графиня тихим, дрогнувшим голосом, и во взгляде ее усталых, смотревших через очки глаз Соня прочла все, что разумела графиня этими словами. В этом взгляде выражались и мольба, и страх отказа, и стыд за то, что надо было просить, и готовность на непримиримую ненависть в случае отказа.
Соня подошла к графине и, став на колени, поцеловала ее руку.
– Я напишу, maman, – сказала она.
Соня была размягчена, взволнована и умилена всем тем, что происходило в этот день, в особенности тем таинственным совершением гаданья, которое она сейчас видела. Теперь, когда она знала, что по случаю возобновления отношений Наташи с князем Андреем Николай не мог жениться на княжне Марье, она с радостью почувствовала возвращение того настроения самопожертвования, в котором она любила и привыкла жить. И со слезами на глазах и с радостью сознания совершения великодушного поступка она, несколько раз прерываясь от слез, которые отуманивали ее бархатные черные глаза, написала то трогательное письмо, получение которого так поразило Николая.


На гауптвахте, куда был отведен Пьер, офицер и солдаты, взявшие его, обращались с ним враждебно, но вместе с тем и уважительно. Еще чувствовалось в их отношении к нему и сомнение о том, кто он такой (не очень ли важный человек), и враждебность вследствие еще свежей их личной борьбы с ним.
Но когда, в утро другого дня, пришла смена, то Пьер почувствовал, что для нового караула – для офицеров и солдат – он уже не имел того смысла, который имел для тех, которые его взяли. И действительно, в этом большом, толстом человеке в мужицком кафтане караульные другого дня уже не видели того живого человека, который так отчаянно дрался с мародером и с конвойными солдатами и сказал торжественную фразу о спасении ребенка, а видели только семнадцатого из содержащихся зачем то, по приказанию высшего начальства, взятых русских. Ежели и было что нибудь особенное в Пьере, то только его неробкий, сосредоточенно задумчивый вид и французский язык, на котором он, удивительно для французов, хорошо изъяснялся. Несмотря на то, в тот же день Пьера соединили с другими взятыми подозрительными, так как отдельная комната, которую он занимал, понадобилась офицеру.
Все русские, содержавшиеся с Пьером, были люди самого низкого звания. И все они, узнав в Пьере барина, чуждались его, тем более что он говорил по французски. Пьер с грустью слышал над собою насмешки.
На другой день вечером Пьер узнал, что все эти содержащиеся (и, вероятно, он в том же числе) должны были быть судимы за поджигательство. На третий день Пьера водили с другими в какой то дом, где сидели французский генерал с белыми усами, два полковника и другие французы с шарфами на руках. Пьеру, наравне с другими, делали с той, мнимо превышающею человеческие слабости, точностью и определительностью, с которой обыкновенно обращаются с подсудимыми, вопросы о том, кто он? где он был? с какою целью? и т. п.
Вопросы эти, оставляя в стороне сущность жизненного дела и исключая возможность раскрытия этой сущности, как и все вопросы, делаемые на судах, имели целью только подставление того желобка, по которому судящие желали, чтобы потекли ответы подсудимого и привели его к желаемой цели, то есть к обвинению. Как только он начинал говорить что нибудь такое, что не удовлетворяло цели обвинения, так принимали желобок, и вода могла течь куда ей угодно. Кроме того, Пьер испытал то же, что во всех судах испытывает подсудимый: недоумение, для чего делали ему все эти вопросы. Ему чувствовалось, что только из снисходительности или как бы из учтивости употреблялась эта уловка подставляемого желобка. Он знал, что находился во власти этих людей, что только власть привела его сюда, что только власть давала им право требовать ответы на вопросы, что единственная цель этого собрания состояла в том, чтоб обвинить его. И поэтому, так как была власть и было желание обвинить, то не нужно было и уловки вопросов и суда. Очевидно было, что все ответы должны были привести к виновности. На вопрос, что он делал, когда его взяли, Пьер отвечал с некоторою трагичностью, что он нес к родителям ребенка, qu'il avait sauve des flammes [которого он спас из пламени]. – Для чего он дрался с мародером? Пьер отвечал, что он защищал женщину, что защита оскорбляемой женщины есть обязанность каждого человека, что… Его остановили: это не шло к делу. Для чего он был на дворе загоревшегося дома, на котором его видели свидетели? Он отвечал, что шел посмотреть, что делалось в Москве. Его опять остановили: у него не спрашивали, куда он шел, а для чего он находился подле пожара? Кто он? повторили ему первый вопрос, на который он сказал, что не хочет отвечать. Опять он отвечал, что не может сказать этого.