Минор (линейная алгебра)

Минор <math>A \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \dots \alpha_k \\ \beta_1 & \beta_2 \dots \beta_k \end{bmatrix}</math> матрицы <math>A</math> ― определитель такой квадратной матрицы <math>B</math> порядка <math>k</math> (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице <math>A</math> на пересечении строк с номерами <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k</math> и столбцов с номерами <math>\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_k</math>.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые <math>k</math> строк и первые <math>k</math> столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы <math>n</math>-го порядка есть определитель порядка <math>n-1</math>, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путём вычеркивания <math>i</math>-й строки и <math>j</math>-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Дана матрица:

<math>\begin{pmatrix}

\,\,\,1 & 4 & 7 \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & \!11 \\ \end{pmatrix}</math>

Предположим, необходимо найти дополнительный минор второго порядка <math>M_{23}</math>. Этот минор получается путём вычеркивания второй строки и третьего столбца:

<math> \begin{vmatrix}

\,\,1 & 4 & \Box\, \\ \,\Box & \Box & \Box\, \\ -1 & 9 & \Box\, \\ \end{vmatrix}</math> <math>\longrightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} \,\,\,1 & 4\, \\ -1 & 9\, \\ \end{vmatrix} = 1\cdot 9-4\cdot(-1) = 13</math>

Получаем <math>M_{23} = 13</math>

См. также

• Дополнительный минор

Отрывок, характеризующий Минор (линейная алгебра)

Пьер смотрел на дверь, в которую она вышла, и не понимал, отчего он вдруг один остался во всем мире.
Княжна Марья вызвала его из рассеянности, обратив его внимание на племянника, который вошел в комнату.
Лицо Николушки, похожее на отца, в минуту душевного размягчения, в котором Пьер теперь находился, так на него подействовало, что он, поцеловав Николушку, поспешно встал и, достав платок, отошел к окну. Он хотел проститься с княжной Марьей, но она удержала его.
– Нет, мы с Наташей не спим иногда до третьего часа; пожалуйста, посидите. Я велю дать ужинать. Подите вниз; мы сейчас придем.
Прежде чем Пьер вышел, княжна сказала ему:
– Это в первый раз она так говорила о нем.


Пьера провели в освещенную большую столовую; через несколько минут послышались шаги, и княжна с Наташей вошли в комнату. Наташа была спокойна, хотя строгое, без улыбки, выражение теперь опять установилось на ее лице. Княжна Марья, Наташа и Пьер одинаково испытывали то чувство неловкости, которое следует обыкновенно за оконченным серьезным и задушевным разговором. Продолжать прежний разговор невозможно; говорить о пустяках – совестно, а молчать неприятно, потому что хочется говорить, а этим молчанием как будто притворяешься. Они молча подошли к столу. Официанты отодвинули и пододвинули стулья. Пьер развернул холодную салфетку и, решившись прервать молчание, взглянул на Наташу и княжну Марью. Обе, очевидно, в то же время решились на то же: у обеих в глазах светилось довольство жизнью и признание того, что, кроме горя, есть и радости.
– Вы пьете водку, граф? – сказала княжна Марья, и эти слова вдруг разогнали тени прошедшего.