Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — обычно комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская <math>i</math> или <math>j</math>. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение <math>f(x)=0</math> с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение <math>x^2 + 1 = 0</math> не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для <math>i</math> через радикал (как <math>\sqrt{-1}</math>).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. <math>i</math>  — это одно из решений уравнения

<math>x^2 + 1 = 0, </math>   или   <math>x^2 = -1. </math>

И тогда его вторым решением уравнения будет <math>-i</math>, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени <math>i</math> повторяются в цикле:

<math>\ldots</math>

<math>i^{-3} = i</math>

<math>i^{-2} = -1</math>

<math>i^{-1} = -i</math>

<math>i^0 = 1</math>

<math>i^1 = i</math>

<math>i^2 = -1</math>

<math>i^3 = -i</math>

<math>i^4 = 1</math>

<math>\ldots</math>

Что может быть записано для любой степени в виде:

<math>i^{4n} = 1</math>

<math>i^{4n+1} = i</math>

<math>i^{4n+2} = -1</math>

<math>i^{4n+3} = -i.</math>

где n — любое целое число.

Отсюда: <math>i^n = i^{n \bmod 4}</math> где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Число <math>i^i</math> является вещественным:

<math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math>

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>

Также

<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .</math>